Anno 1. Numeri reali: proprietà e applicazioni di uso comune

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1 Anno Numeri reli: proprietà e ppliczioni di uso comune

2 Introduzione L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi. Tle rpporto, o frzione, è sempre ssociile un numero decimle con virgol. I numeri decimli con virgol equivlenti d un frzione si suddividono in numeri decimli limitti e in numeri decimli illimitti periodici. Nelle prossime pgine, impreri : utilizzre le percentuli e le proporzioni trsformre numeri con virgol in frzioni utilizzre le operzioni con i numeri rzionli L insieme dei numeri rzionli è composto d numeri che si ottengono dl rpporto tr due numeri interi, il secondo dei quli deve essere diverso d 0. Tle rpporto, detto frzione, è sempre ssociile un numero decimle con virgol. I numeri decimli con virgol che sono equivlenti d un frzione si suddividono in numeri decimli limitti e in numeri decimli illimitti periodici. In quest lezione vedremo qulche ppliczione prtic dei numeri rzionli: le percentuli e le proporzioni. Impreremo inoltre trsformre i numeri con virgol nelle reltive frzioni equivlenti, operre con i numeri rzionli e risolvere le espressioni con i numeri rzionli.

3 Le proporzioni Un proporzione è un'uguglinz di due rpporti. Ess si scrive: /=c/d oppure :=c:d, con, d 0, d sono gli estremi ;, c sono i medi. Proprietà delle proporzioni Considerimo l proporzione :=c:d Proprietà fondmentle: d= c Proprietà del comporre: +):=c+d):d Proprietà dello scomporre: -):=c-d):d Proprietà del permutre: :c=:d e d:=c: Proprietà dell'invertire: :=d:c Definimo or le proporzioni. Un proporzione è un'uguglinz di due rpporti. Ess si scrive: /=c/d oppure :=c:d, con, d 0, e si legge st come c st d. e d sono i termini estremi, e c sono i termini medi. Enuncimo or lcune proprietà delle proporzioni, considerndo l proporzione :=c:d: L proprietà fondmentle: il prodotto dei medi è ugule l prodotto degli estremi d= c; L proprietà del comporre: l somm tr il primo e il secondo termine st l secondo come l somm tr il terzo e il qurto termine st l qurto +):=c+d):d; L proprietà dello scomporre: l differenz tr il primo e il secondo termine st l secondo come l differenz tr il terzo e il qurto termine st l qurto -):=c-d):d; L proprietà del permutre: scmindo tr loro i medi o tr loro gli estremi si ottiene ncor un proporzione :c=:d e d:=c:; L proprietà dell'invertire: scmindo il termine ntecedente con il termine conseguente si ottiene ncor un proporzione :=d:c.

4 Risolvere un proporzione Elemento incognito un medio moltiplicre gli estremi e dividere per l ltro medio. un estremo moltiplicre i medi e dividere per l ltro estremo. Esempio ) Clcolo del qurto proporzionle c : c : x x ) Clcolo del terzo proporzionle d : x : d x Come fre per risolvere un proporzione? Se voglimo clcolre l elemento incognito di un proporzione, possimo trovrci di fronte due csi: se l elemento incognito è un medio isogn moltiplicre gli estremi e dividere per l ltro medio; se l elemento incognito è un estremo isogn moltiplicre i medi e dividere per l ltro estremo. Fccimo un esempio. Indichimo con x, l elemento incognito di un proporzione. Eseguimo il clcolo del qurto proporzionle, cioè dell ultimo termine dell proporzione: Se :=c:x, ne consegue che x= c/. Eseguimo or il clcolo del terzo proporzionle, cioè del terzo termine di un proporzione: Se :=x:d, ne consegue che x= d/

5 Le Percentuli Un percentule è un prticolre rpporto tr due grndezze e, espresso in centesimi. L percentule è espress dl numero rele: 00% Esempio ) Su 50 impiegti, 5 sono donne. Qul è l percentule degli impiegti donne rispetto l totle? % 0% ) Se impiegti donne costituiscono il 60% degli impiegti totle, clcolre il numero degli impiegti Vedimo or l definizione di percentule. Un percentule è un prticolre rpporto tr due grndezze e, espresso in centesimi. L percentule è espress dl numero rele: / 00%. Fccimo qulche esempio. Su 50 impiegti, 5 sono donne. Qul è l percentule degli impiegti donne rispetto l totle? Per clcolre l percentule isogn eseguire i seguenti clcoli: 5/50 00%. Vedimo l esempio successivo. Se impiegti donne costituiscono il 60% degli impiegti totle, clcolre il numero degli impiegti totli. Gli impiegti totli si ottengono clcolndo: 00/60, cioè 5. 5

6 D numeri con virgol numeri rzionli Numero decimle limitto 0, Al numertore scrivo il numero senz virgol. Al denomintore un seguito d tnti 0 qunte sono le cifre dopo l virgol Numero decimle illimitto periodico 5,5 9 9, Al numertore scrivo il numero senz virgol e sottrggo le cifre prim del periodo. Al denomintore scrivo tnti 9 qunte sono le cifre del periodo e tnti 0 qunte sono le cifre dell ntiperiodo Descrivimo or come trsformre i numeri con virgol nelle rispettive frzioni equivlenti, introducendo le semplici regole ttrverso lcuni esempi. Ogni numero decimle limitto è equivlente un frzione vente per numertore il numero riportto senz virgol e per denomintore il numero seguito d tnti zeri qunte sono le cifre dopo l virgol. Ogni numero decimle illimitto periodico è equivlente un frzione vente per numertore il numero riportto senz virgol e cui deve essere sottrtto il numero composto dlle cifre precedono il periodo. Al denomintore, invece, scrivono tnti 9 qunte sono le cifre del periodo e tnti 0 qunte sono le cifre dell ntiperiodo ricordndo che queste sono le eventuli cifre dopo l virgol che precedono il periodo. Ricord infine che i numeri decimli illimitti non periodici come rdice di due, pi-greco, il numero e, ) non sono equivlenti nessun numero rzionle e, perciò vengono chimti numeri irrzionli. 6

7 Operzioni tr numeri rzionli Addizione c d d c d Moltipliczione c d c d ) Divisione c d d c d c : Potenz n n n ) ) Descrivimo or le operzioni tr numeri rzionli e illustrimo i pssggi risolutivi di un espressione contenente numeri rzionli. L ddizione tr numeri rzionli, come puoi vedere dll esempio, è un numero rzionle vente: come segno quello del numero che h vlore ssoluto mggiore, come denomintore il minimo comune multiplo dei denomintori e come numertore l somm lgeric dei prodotti e cd, considerndo negtivi i numertori o c) se l reltiv frzione è precedut dl segno - L sottrzione tr numeri rzionli si esegue come l somm, m dopo ver cmito il segno del sottrendo. L moltipliczione tr numeri rzionli h segno positivo se i numeri sono concordi, segno negtivo se i numeri sono discordi, come puoi vedere dll esempio. Il vlore ssoluto del risultto dell moltipliczione h come numertore il prodotto dei numertori e come denomintore il prodotto dei denomintori. L divisione tr numeri rzionli si esegue come l moltipliczione, m dopo ver invertito il secondo fttore, come presentto nell esempio. L potenz di un numero rzionle h segno negtivo se l se è negtiv e l'esponente è dispri, positivo in tutti gli ltri csi. Ess vrà inoltre come vlore ssoluto il numero 7

8 rzionle vente come numertore l potenz del numertore e come denomintore l potenz del denomintore. 8

9 Fccimo un esempio Esempio di svolgimento: Clcolre il vlore dell seguente espressione ) Eseguo l'operzione tr prentesi tonde e cpovolgo l frzione nel denomintore 8 ) Svolgo l potenz, l ddizione ed infine l moltipliczione Il risultto è: Svolgimo or un espressione con i numeri rzionli per pplicre lcune delle regole che imo visto fino qui. L espressione d risolvere è: [-/)+/]// Eseguendo l operzione tr prentesi tonde e cpovolgendo l frzione nel denomintore si h: [8/)+/]. Svolgendo l potenz, l operzione di somm ed infine l moltipliczione si ottiene: [6/9+/] =7/8). Il risultto é dunque: 7/9. 9

10 0 Espressioni con numeri rzionli Esempio ) : ) ) 5 ) : ) 6 ) Moltiplichimo: : ) Eseguimo le potenze: ) Eseguimo l sottrzione, l ddizione e l divisione: Risolvimo or un espressione contenente numeri rzionli. Eseguimo prim le potenze: [+/ +/6) -)]:[+/)-/ -)]. Poi svolgimo le moltipliczioni: [-/]:[/+]. Infine eseguimo l sottrzione, l ddizione e l divisione: 0/ /5=8/.

11 Conclusione Numeri Rzionli Proporzione Risoluzione di espressioni Percentuli Operzioni tr numeri rzionli Numeri con virgol e frzioni equivlenti Riepilogndo, in quest lezione imo esminto i numeri rzionli, con le proprietà e le ppliczioni di uso comune. Aimo illustrto il concetto di proporzione, il legme tr le vriili che l costituiscono e i vri metodi risolutivi. Aimo poi definito le percentuli, fcendo qulche esempio di uso comune. Aimo inoltre illustrto l prssi per scrivere l frzione equivlente di un numero decimle limitto e illimitto periodico. Aimo, infine, illustrto nel dettglio le operzioni tr numeri rzionli. L conoscenz delle operzioni ci h permesso, infine, di risolvere le espressioni con i numeri rzionli.