IL CONTRIBUTO DEI GRECI. A = b. h. Parallelogramma h. h b

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1 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 1 IL CONTRIBUTO DEI GRECI h Rettngolo: A =. h h Prllelogrmm A =. h h Tringolo A =!h 2 Poligono come somm di tringoli Cerchio O r A = ". r 2

2 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 2

3 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 3 E' dt f:[1, 4] R, f(x) = x 2-4x + 5. Voglimo clcolre o pprossimre l're A dell figur (trpezoide) compres tr l curv y = f(x), l'sse x e le due rette verticli x = 1 ed x = 4. Considerimo i due rettngoli di se [1, 4] ed ltezze uguli rispettivmente l minimo m = 1 ed l mssimo M = 5 dell funzione sul nostro intervllo. L se è lung 4-1 = 3. Le loro ree s ed S sono rispettivmente: s = 3.1 = 3 (re inferiore) S = 3.5 = 15 (re superiore) Pertnto, 3 < A < 15.

4 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 4 Come migliorre l'pprossimzione? Fissimo un punto entro l'intervllo, per esempio il 3, e ripetimo su ciscuno dei due intervlli [1, 3] e [3, 4] le operzioni precedenti : se lunghezzmo mini- re mssi- re inf. mo sup. [1, 3] [3, 4] totle 4 9 Pertnto, or si h 4 < A < 9.

5 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 5 Per migliorre ncor, introducimo nuovi punti: {1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4} se lunghezz minimo re inf. mssimo re sup. [1, 3/2] 1/2 5/4 5/8 2 1 [3/2, 2] 1/2 1 1/2 5/4 5/8 [2, 5/2] 1/2 1 1/2 5/4 5/8 [5/2, 3] 1/2 5/4 5/8 2 1 [3, 7/2] 1/ /4 13/8 [7/2, 4] 1/2 13/4 13/8 5 5/2 totle 39/8 59/8 Pertnto, 39/8 < A < 59/8. L'pprossimzione è migliort.

6 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 6 Riflettimo or su qunto imo ftto: ) imo suddiviso l'intervllo [1, 4] in intervlli vi vi più piccoli; ) per ciscuno di essi imo clcolto il minimo ed il mssimo dell funzione; c) imo moltiplicto il minimo per l lunghezz dell'intervllo corrispondente; d) imo sommto tutti questi prodotti, ottenendo e) Aimo poi moltiplicto ciscun mssimo per l lunghezz dell'intervllo corrispondente; f) imo sommto tutti questi prodotti, ottenendo l re superiore S. Osservimo or che: ) L're inferiore è sempre minore o ugule ll superiore, perché i minimi sono più piccoli dei mssimi. ) Tglindo ulteriormente gli intervllini precedenti, si ottiene un're inferiore più grnde ed un superiore più piccol. In ltre prole, s ed S si vvicinno. c) Non solo, m indipendentemente dl modo di tglire l'intervllo, ogni re superiore è mggiore o ugule d ogni re inferiore.

7 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 7 Per definire l're A, ll luce di qunto precede considerimo: l'insieme A delle ree inferiori l'insieme B delle ree superiori - sono non vuoti (ne imo clcolto lcuni elementi); - per ogni s A ed S B si h sempre s S, ossi A e B sono seprti. Per l continuità di R, fr di essi ci sono elementi di seprzione, uno solo o infiniti. Nel nostro cso, si può dimostrre che c'è il solo numero rele 6 che sepr i due insiemi A e B, ed è precismente l're A cerct. Ossi, A = 6. NOTA. Poiché rffinndo l prtizione, ossi fcendo striscie più sottili, l re inferiore cresce e l superiore decresce, possimo dire che l tendere zero dell mssim lrghezz delle strisce, le due ree tendono llo stesso limite, che nel nostro cso è 6.

8 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 8 Tutto ciò si può ripetere per un funzione continu f :, [ ] " R. " Suddividimo l intervllo $, in n 1 intervllini # $ medinte l prtizione finit " = { = x 0, x 1,K, x n = }, con x 0 < x 1 < K < x n. Per ciscun intervllino I k = x k"1, x k % ' &' [ ] considerimo il minimo m k di f su I k, che esiste per il teorem di Weierstrss, poi lo moltiplichimo per l lunghezz x k " x k"1 di I k e sommimo questi prodotti: ottenimo l somm inferiore: s f, " n ( ) = % m k # ( x k $ x k$1 ) k=1 Anlogmente, prendendo i mssimi M k, ottenimo l somm superiore: S f, " n ( ) = % M k # ( x k $ x k$1 ) k=1 L sol differenz rispetto ll esempio precedente è che queste non sono necessrimente ree, perché possono esserci vlori negtivi degli m k ed M k. Al tendere zero dell mssim lunghezz degli intervllini, le due somme convergono llo stesso limite, l integrle di f su [,]: " f ( x ) dx

9 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 9 TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE Si f:[, ] R, continu. Allor esiste c [, ] tle che f(c)= 1 " # f(x)dx. Dimostrzione. Per il teorem di Weierstrss esistono il minimo m ed il mssimo M di f. Si σ = {, }: llor s(f,s) = m.(-), S(f,s) = M.(-) e m"(# )$ Ne segue: m" 1 # Allor h = 1 " % f(x)dx $M"(#). $ f(x)dx "M. # f(x)dx è compreso fr m ed M e, per il teorem dei vlori intermedi, esiste c [, ] tle che f(c) = h. Pertnto si h proprio f(c)= 1 " # f(x)dx.

10 Mtemtic per Scienze Nturli, Aree ed integrli 10 Teorem fondmentle del clcolo integrle (Torricelli - Brrow). Si f:[,] R, continu. Allor l funzione integrle F x x ( ) = f(t)dt " è derivile e si h F'(x) = f(x) per ogni x [, ]. Si x 0 [, ]. Esminimo il rpporto incrementle di F reltivo x 0, Per l'dditività dell'integrle ed il teorem dell medi: x x 0 # f(t)dt" # f(t)dt x F(x)"F(x 0 ) x"x = = 1 # 0 x"x x"x f(t)dt = f(c) 0 0 dove c è un opportuno punto dell'intervllo di estremi x ed x 0. Per x x 0 nche c tende d x 0, ed llor, per l continuità di f, si h: F "(x 0 )= lim F(x)$F(x 0 ) x#x 0 x$x 0 x 0 = lim x#x 0 f(c)= f(x 0 ). NOTA. In prticolre, F è un primitiv di f.