Integrale di Riemann

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1 Integrle di Riemnn Hynek Kovrik Università di Bresci Anlisi Mtemtic Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic / 50

2 Motivzione: clcolo di re Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 2 / 50

3 Definizione di integrle Definizione Si [, b] ( < b) un intervllo limitto. Si chim suddivisione di [, b], e si indic con D, un insieme finito {x j : j = 0,,..., n} [, b] tle che Chirmente si h = x 0 < x < x 2 < < x n = b. [, b] = n I j, I j = [x j, x j ]. j= Dte due suddivisioni D e D 2 di [, b], diremo che D è più fine di D 2 se D 2 D. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 3 / 50

4 Definizione di integrle Definizione Si f : [, b] R un funzione limitt e si D = {x 0, x,..., x n } un suddivisione di [, b]. Si chim somm inferiore di f reltiv ll suddivisione D l quntità s(d, f ) := n j= inf f (x) (x j x j ) x j x x j e si chim somm superiore di f reltiv ll suddivisione D l quntità S(D, f ) := n j= sup f (x) (x j x j ) x j x x j Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 4 / 50

5 Definizione di integrle Se f 0, llor s(d, f ) e S(D, f ) ssumono un preciso significto geometrico. Per ogni suddivisione D si h s(d, f ) re(s) S(D, f ) Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 5 / 50

6 Definizione di integrle Le proprietà del sup e inf imlicno il seguente Lemm Si f : [, b] R limitt e sino D, D 2 due suddivisioni di [, b]. Allor s(d, f ) S(D 2, f ). 2 se D 2 è più fine di D, cioè se D D 2, llor risult s(d, f ) s(d 2, f ) S(D 2, f ) S(D, f ). Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 6 / 50

7 Definizione Si D [,b] l fmigli di tutte le possibili suddivisioni dell intervllo [, b]. Definizione Dt f : [, b] R limitt, definimo integrle inferiore I (f ) e integrle superiore J(f ) di f su [, b]: I (f ) := J(f ) := sup s(d, f ) = sup { s(d, f ) : D suddivisione di [, b] } D D [,b] inf S(D, f ) = inf { S(D, f ) : D suddivisione di [, b] } D D [,b] Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 7 / 50

8 Dl Lemm precedente risult che per ogni funzione limitt f : [, b] R vle I (f ) J(f ). Definizione (Integrle di Riemnn) Un funzione limitt f : [, b] R si dice integrbile secondo Riemnn nell intervllo [, b] se In tl cso scrivimo e chimimo I (f ) = J(f ). f (x) dx = I (f ) = J(f ) f (x) dx integrle di Riemnn di f in [, b]. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 8 / 50

9 Se f 0, llor f (x) dx coincide con l re dell figur rcchius tr il grfico di f, l sse x e le rette x = e x = b. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 9 / 50

10 Funzioni integrbili Dll definizione precedente segue che ogni funzione integrbile secondo Riemnn deve essere limitt. Esistono però funzioni limitte che non sono integrbili: Esempio Si f : [0, ] R l funzione di Dirichlet definit d se x Q [0, ], f (x) = 0 ltrimenti. Allor per ogni suddivisione D si h s(d, f ) = n 0 (x j x j ) = 0, S(D, f ) = j= n (x j x j ) = Quindi I (f ) = 0 e J(f ) = e f non è integrbile secondo Riemnn. j= Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 0 / 50

11 Funzioni integrbili Definizione Dicimo che f : [, b] R è continu trtti in [, b] se esiste un suddivisione D = {x j, j = 0,,..., n} di [, b] tle che f è continu in (x j, x j ) per ogni j {, 2,..., n}. 2 esistono finiti i limiti lim f (x), x + lim f (x), x b lim f (x) j =,..., n x x j ± Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic / 50

12 Clssi di funzioni integrbili Sono integrbili in [, b] le seguenti funzioni Funzioni continue in [, b] 2 Funzioni continue trtti in [, b]. 3 Funzioni monotone in [, b] Ciscun di queste condizioni è un condizione sufficiente, m non necessri, per l integrbilità dell funzione in questione. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 2 / 50

13 Teorem (Proprietà dell integrle) Sino f, g : [, b] R integrbili. Allor vlgono le seguenti proprietà: Linerità: per ogni α, β R risult (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx. 2 Confronto: se f (x) g(x) per ogni x [, b], si h f (x) dx 3 Suddivisione: per ogni c [, b] si h g(x) dx. c f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. c 4 Confronto con il modulo: b f (x) dx f (x) dx Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 3 / 50

14 L medi integrle Teorem (Primo Teorem dell medi integrle) Si f : [, b] R continu e si g : [, b] R integrbile. Supponimo inoltre che l funzione g non cmbi segno in [, b], cioè che vlg g(x) 0 oppure g(x) 0 per ogni x [, b]. Infine, si Allor esiste c [, b] tle che g(x) dx 0. f (x)g(x) dx = f (c) g(x) dx Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 4 / 50

15 Dimostrzione: Per il Teorem di Weierstrss f ssume in [, b] si il minimo m che il mssimo M. Quindi vle m f (x) M x [, b]. Supponimo prim che g(x) 0 per ogni x [, b]. Allor m g(x) f (x)g(x) M g(x) x [, b] Quindi dll proprietà del confronto e dll disuguglinz sopr m g(x) dx f (x)g(x) dx M g(x) dx Secondo l ipotesi si h g(x) dx > 0. Dunque m f (x)g(x) dx g(x) dx M. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 5 / 50

16 Siccome f è continu, il Teorem dei vlori intermedi implic che esiste c [, b] tle che f (x)g(x) dx f (c) = g(x) dx, d cui l tesi nel cso g 0. Se g 0, llor rgionndo nello stesso modo si ottiene M g(x) dx f (x)g(x) dx m g(x) dx Or però g(x) dx < 0 e quindi dividendo con g(x) dx < 0 si rriv m e l tesi segue come prim f (x)g(x) dx g(x) dx M, Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 6 / 50

17 Definizione Si f : [, b] R integrbile. Chimimo medi integrle di f il vlore M f = b f (x) dx. Teorem (Secondo Teorem dell medi integrle) Si f : [, b] R un funzione continu. Allor esiste c [, b] tle che f (c) = M f, o equivlentemente f (x) dx = (b ) f (c). Dimostrzione: l tesi dl primo Teorem dell medi integrle ponendo g = Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 7 / 50

18 L condizione che f si continu non può essere omess: considerimo d esempio l funzione f : [0, 2] R dt d 0 x < f (x) = 2 x 2 Allor M f = f (x) dx = 2 ( + 2) = 3 2, M non esiste lcun punto c [0, 2] tle che f (c) = 3 2. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 8 / 50

19 Primitive Definizione Si I R un intervllo e sino f : I R e F : I R due funzioni. Dicimo che F è un primitiv di f su I se F è derivbile su I e F (x) = f (x) x I. Esempi: F (x) = x 3 è un primitiv di f (x) = 3x 2 su R. 2 F (x) = cos(x) è un primitiv di f (x) = sin(x) su R. L insieme delle primitive di f (se esistono) si indic con il simbolo f (x) dx Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 9 / 50

20 Primitive determinre l insieme di tutte le primitive dell funzione f : I R. f potrebbe non mmettere primitive; non tutte le funzioni integrbili mmettono un primitiv! Si not che se F è un primitiv di f, llor lo è nche F + c per ogni c R in qunto (F + c) (x) = F (x) = f (x). Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 20 / 50

21 Teorem (Primitive su un intervllo differiscono per un costnte) Sino F e F 2 due primitive di f sull intervllo I. Allor esiste un costnte c R tle che F = F 2 + c. Dimostrzione: siccome (F F 2 ) (x) = 0 per ogni x I, l tesi segue dl Teorem dell derivt null L tesi non vle se f non è definit su un intervllo, m d esempio su un unione di intervlli disgiunti! Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 2 / 50

22 I teoremi fondmentli del clcolo Convenzione sui segni: se f : [, b] R è integrbile e se α, β [, b] con α < β, llor ponimo α α f (x) dx = 0, α β β f (x) dx = α f (x) dx. Teorem (Primo Teorem Fondmentle del Clcolo) Si f : [, b] R un funzione continu. Si F : [, b] R definit d F (x) = Allor F è derivbile in (, b) e vle x f (t) dt. F (x) = f (x) x (, b). Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 22 / 50

23 Dimostrzione: Si x (, b). Clcolimo il limite del rpporto incrementle F (x + h) F (x) lim h 0 h dove x + h (, b) per h sufficientemente piccolo. Si h F (x + h) F (x) = = = x+h x x+h x x f (t) dt f (t) dt + f (t) dt. x+h x f (t) dt x f (t) dt f (t) dt Per h > 0 il secondo teorem dell medi integrle implic che esiste un ξ h [x, x + h] tle che x+h x f (t) dt = h f (ξ h ). Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 23 / 50

24 Per h < 0 pplichimo il secondo teorem dell medi ll integrle x+h x f (t) dt = Quindi esiste un ξ h [x + h, x] tle che x+h Dunque in ogni cso si h x x x+h f (t) dt. f (t) dt = ( h) f (ξ h ) = h f (ξ h ). F (x + h) F (x) = h f (ξ h ), e cioè F (x + h) F (x) = f (ξ h ). h Siccome ξ h x per h 0, per l continuità di f si h F F (x + h) F (x) (x) = lim = lim f (ξ h ) = f (x) h 0 h h 0 Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 24 / 50

25 Anche in questo cso l ipotesi sull continuità di f è fondmentle: l funzione f : [, ] R dt d x < 0 f (x) = 0 x è integrbile in qunto continu trtti, m non mmette lcun primitiv. Cioé non esiste lcun funzione derivbile F : [, ] R tle che x < 0 F (x) = 0 x Inftti si h e quindi F non è derivbile in x = 0. F +(0) =, F (0) =. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 25 / 50

26 Corollrio (del Primo Teorem fondmentle del Clcolo) Le funzioni continue su un intervllo I R chiuso e limitto mmettono sempre un primitiv. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 26 / 50

27 Primitive di lcune funzioni elementri x α dx = α + x α+ + C, x dx = log x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C dx = rctn(x) + C + x 2 e x dx = e x + C α Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 27 / 50

28 Teorem (Secondo Teorem Fondmentle del Clcolo) Si I R un intervllo e si f : I R un funzione continu. Allor per ogni, b I e per qulsisi primitiv G di f si h f (x) dx = G(b) G() =: [G(x)] b. Dimostrzione: Dl primo teorem fondmentle del clcolo segue che un primitiv di f è dt d F (x) = x f (t) dt Siccome due primitive di f differiscono per un costnte, esiste un c R tle che G(x) = F (x) + c, Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 28 / 50

29 e quindi scegliendo x = si ottiene 0 = Dunque Per x = b si h x f (t) dt = G(x) c, f (t) dt = G() c G() = c. x f (t) dt = G(x) G(). f (t) dt = G(b) G() Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 29 / 50

30 Esempio: Clcolimo 2 x 2 dx Siccome ( x 3 3 ) = 3 (x 3 ) = x 2, l funzione F (x) = x3 3 è un primitiv di x 2. Dunque 2 [ x x 2 3 dx = 3 ] 2 = = 7 3. Il Secondo Teorem Fondmentle del Clcolo quindi mette in evidenz l importnz del clcolo delle primitive. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 30 / 50

31 Formule di integrzione Integrzione per prti: si us per l integrzione di funzioni che si presentno sotto form di prodotto. Lemm (Integrzione per prti) Si I R un intervllo e sino f, g : I R due funzioni derivbii con derivt continu. Allor per ogni, b I si h f (x) g (x) dx = [ f (x)g(x) ] b f (x) g(x) dx. Dimostrzione: L formul per l derivzione del prodotto implic che f (x)g (x) = (f (x)g(x)) f (x)g(x). Tutte le funzioni che compiono nell ultim equzione sono continue su [, b] e quindi integrbili. Dunque Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 3 / 50

32 f (x) g (x) dx = (f (x) g(x)) dx f (x) g(x) dx = [ f (x)g(x) ] b f (x) g(x) dx, dove bbimo pplicto il Secondo Teorem Fondmentle del Clcolo. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 32 / 50

33 Esempio : clcolimo 2 x 2 log x dx. Scegliendo f (x) = log x e g (x) = x 2 si h d cui f (x) = x g(x) = x 3 3, 2 [ x x 2 3 log x dx = 3 log x ] 2 2 x 3 3 x dx = 8 3 log x 2 dx = 8 3 log Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 33 / 50

34 Esempio 2: Considerimo 0 x rctn(x) dx Sceglimo f (x) = rctn(x) e g (x) = x. Quindi f (x) = +x 2. Un primitiv di x è l funzione g(x) = 2 ( + x 2 ). Applicndo l formul per l integrzione per prti si h 0 x rctn x dx = [ ] 2 ( + x 2 ) rctn x ( + x 2 ) + x 2 dx = π dx = π 4 2. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 34 / 50

35 Esempio 3: Considerimo l integrle π 0 x 2 sin x dx Sceglimo f (x) = x 2 e g (x) = sin x. Un primitiv di sin x è g(x) = cos x. Quindi π 0 x 2 sin x dx = [ x 2 cos x ] π 0 + π 0 2x cos x dx π = π x cos x dx. 0 Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 35 / 50

36 Adesso pplichimo l formul di integrzione per prti ll integrle π 0 x cos x dx scegliendo f (x) = x e g (x) = cos x. Quindi f (x) =, g(x) = sin x e si h π 0 x cos x dx = [ x sin x ] π 0 π Sommndo i due risultti si ottiene π 0 0 x 2 sin x dx = π 2 4. sin x dx = [ cos x ] π 0 = 2. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 36 / 50

37 Integrzione per sostituzione: pssimo dll vribile x [, b] d un nuov vribile t : [c, d] trmite l relzione dove ϕ è un funzione invertibile. x = ϕ(t), Lemm (Integrzione per sostituzione) Si f : [, b] R continu e si ϕ : [c, d] [, b] un funzione invertibile e derivbile con derivt continu. Allor f (x) dx = ϕ (b) ϕ () f (ϕ(t)) ϕ (t) dt. Occorre cmbire gli estremi di integrzione! Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 37 / 50

38 Dimostrzione: Si F un primitiv di f. Quindi f (x) dx = F (b) F (). Per l ipotesi l funzione F (ϕ(t)) è derivbile e vle (F (ϕ(t))) = F (ϕ(t)) ϕ (t) = f (ϕ(t)) ϕ (t). Dunque ϕ (b) ϕ () f (ϕ(t)) ϕ (t) dt = ϕ (b) ϕ () (F (ϕ(t))) dt = F (ϕ(ϕ (b))) F (ϕ(ϕ ())) = F (b) F () = f (x) dx Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 38 / 50

39 Esempio : Considerimo l integrle 4 e x x dx Ponimo x = ϕ(t) = t 2. Siccome x > 0, si h t = ϕ (x) = x. Quindi ϕ (t) = 2t e dll formul di integrzione per sostituzione si ottiene 4 e x 2 x dx = e t t ϕ (t) dt = 2 2 e t dt = 2 [ e t] 2 = 2(e2 e). Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 39 / 50

40 Esempio 2: Considerimo l integrle π 0 cos 2 x sin x dx Ponimo cos x = t e quindi x = rccos t = ϕ(t), d cui ϕ (t) =. t 2 Siccome sin x 0 su (0, π), si h sin x = cos 2 x = t 2. Dunque l formul di integrzione per sostituzione implic π 0 cos 2 x sin x dx = t t 2 2 t dt = t 2 dt 2 [ t 3 = 3 ] = 2 3. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 40 / 50

41 Esempio 3: Considerimo l integrle 2 4 x + dx Ponimo x = t e quindi x = t 2 = ϕ(t), ϕ (t) = 2t. Dll formul di integrzione per sostituzione si ottiene 2 4 dx = 2 x + 2 2t 2 t + dt = t 2 t + dt = t + dt t + = 2 2 dt t + dt = [ log(t + ) ] 2 = (log 3 log 2) = log 3 2. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 4 / 50

42 Cmbimento di vribile nel clcolo di primitive Si f > 0. f (x) α f (x) dx = α + f (x)α+ + C, α. f (x) dx = log f (x) + C f (x) sin(f (x)) f (x) dx = cos(f (x)) + C cos(f (x)) f (x) dx = sin(f (x)) + C f (x) dx = rctn(f (x)) + C + f (x) 2 e f (x) f (x) dx = e f (x) + C Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 42 / 50

43 Integrzione di funzioni rzionli frtte Si trtt delle funzioni nell form f (x) = Q n(x) P k (x) dove Q n (x) è un polinomio di grdo n e P k (x) è un polinomio di grdo k. Considerimo il cso in cui n = e k = 2. Quindi f (x) = α x + β x 2 + b x + c con α, β, b, c R. Per trovre l insieme delle primitive α x + β x 2 + b x + c dx distingueremo tre csi. Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 43 / 50

44 Integrzione di funzioni rzionli frtte. b 2 4c > 0. In questo cso l equzione x 2 + b x + c = 0 mmette due soluzioni reli: Quindi e scrivimo = b + b 2 4c 2 α x + β x 2 + b x + c = dove A, B sono due coefficienti reli., 2 = b b 2 4c 2 x 2 + b x + c = (x )(x 2 ) α x + β (x )(x 2 ) = A x B x 2, Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 44 / 50

45 Integrzione di funzioni rzionli 2. In questo cso si h Quindi x 2 + b x + c = b 2 4c = 0. ( x + b ) 2 ( b c = x + b ) 2 2 α x + β x 2 + b x + c = ( α x + β ) x + b 2 = α (x + b 2 ) α b 2 ( ) + β 2 x + b 2 2 = α x + b 2 + β α b 2 ( x + b 2 ) 2 Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 45 / 50

46 Integrzione di funzioni rzionli frtte 3. In questo cso ponimo e scrivimo x 2 + b x + c = b 2 4c < 0. D = c b2 4 ( x + b ) 2 ( b c = x + b ) 2 + D 2 2 Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 46 / 50

47 Integrzione di funzioni rzionli frtte Quindi α x + β x 2 + b x + c = α x + β ) = α (x + b 2 ) α b 2 2 ( ) + β + D 2 x + b D 2 ( x + b 2 Abbimo = α 2 2 ( x + b ) 2 ( ) + β α b 2 x + b 2 ( ) 2 + D 2 x + b D 2 2 ( x + b ) [ ( 2 ( ) dx = log x + b 2 x + b ) ] 2 + D 2 + C. 2 + D 2 2 Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 47 / 50

48 Integrzione di funzioni rzionli frtte ( ) = x + b D 2 D 2 ( + Quindi con l sostituzione t = x+ b 2 D ( x + b 2 ) dx = 2 + D 2 D 2 ottenimo x+ b 2 D ) 2 D + t 2 dt = D rctn(t) + C ( ) = x + b D rctn 2 + C D Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 48 / 50

49 Integrzione di funzioni rzionli Sommndo i due risultti si ottiene [ ( α x + β x 2 + b x + c dx = α 2 log x + b ) ] 2 + D β α b 2 D rctn ( ) x + b 2 + C, D dove D = c b2 4 Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 49 / 50

50 Integrzione di funzioni trigonometriche Integrli di tipo R(sin x, cos x) dx, dove R(t, s) è un funzione rzionle frtt di due vribili si possono ricondurre, trmite opportuni cmbimenti di vribili, in integrli di funzioni rzionli frtte. Le seguenti regole possono essere utili: se R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), llor si pone t = cos x. 2 se R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x), llor si pone t = sin x. 3 se R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), llor si pone t = tn x. 4 in tutti gli ltri csi si pone t = tn(x/2). L sostituzione t = tn(x/2) port spesso dei conti molto lboriosi e quindi si consigli di evitrl ppen possibile... Hynek Kovrik (Università di Bresci) Integrle di Riemnn Anlisi Mtemtic 50 / 50