CALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA

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1 INTEGRALI Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione

2 CALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA Si f x un funzione positiv e continu definit nell intervllo [, b]. L re dell regione pin delimitt dl grfico dell funzione, dll sse delle x e dlle rette x = e x = b si ottiene come lim n A n = lim n A n + = A dove A n e A n + sono le somme di Riemnn, rispettivmente inferiori e superiori. Definizione: Il vlore A si chim integrle definito dell funzione f(x) nell intervllo [, b] e si indic con A = න f(x) dx e b sono detti estremo inferiore e superiore di integrzione, f è dett funzione integrnd. b

3 PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE Definizione: Dt un funzione f(x), l funzione F(x) è dett primitiv di f(x) se in tutti i punti del suo dominio è soddisftt l uguglinz F x = f x Teorem: Se F(x) è primitiv di f(x), nche F x + c, c R, è primitiv di f(x). Dimostrzione: si h inftti (F(x) + c) = F (x) = f(x) Qunte sono quindi le primitive di f(x)?

4 PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE DI VARIABILE REALE Esempi Un primitiv di f x = x 4 è F x = x5 5 Inftti essendo g x = αx β = d dx αxβ = αβx β 1 si h F x = x5 5 + c = x5 1 = x 4 In generle, un primitiv di Lo si verifichi per esercizio. f x = x α è F x = xα+1 α + 1 Si clcoli poi l primitiv di f x = 4x 8

5 PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE DI VARIABILE REALE Esempi. Ricordndo che: (e x ) = d dx (ex ) = e x (ln x) = d dx (ln x) = 1 x (sin x) = d (sin x) = cos x dx clcolre le primitive delle funzioni: f 1 x = e x f 2 x = 1 x f 3 x = cos x Primitive: F 1 x = e x + c F 2 x = ln x + c F 3 x = sin x + c

6 TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Teorem: Dt un funzione f x definit e continu nell intervllo [, b], l funzione x A x = න f z dz è primitiv di f x nel punto x e si h A x = f(x) Conseguenz Se F(x) è un primitiv di f(x), definit nell intervllo [, b], llor l integrle definito è dto d b න f z dz = F b F()

7 DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA Per dimostrre il teorem considerimo le due seguenti proprietà dell integrle. Dt f(x), definit e continu nell intervllo [, b] 1. se c, b, si h b න f z dz = න c b f z dz + න f z dz c 2. se M e m sono rispettivmente il mssimo e il minimo di f(x) nell intervllo [, b], llor c m b න f z dz M(b )

8 DIMOSTRAZIONE Per dimostrre il teorem dobbimo mostrre che vle l uguglinz A x = f(x) Dobbimo quindi costruire il rpporto incrementle per l F(x) e clcolre il limite. Considerimo un incremento h e scrivimo A(x + h) utilizzndo l proprietà 1 A x + h = න x+h f z dz = න x x+h f z dz + න f z dz x Il rpporto incrementle è A x + h A(x) h A x+h A(x) e voglimo dimostrre che lim h 0 h = f(x)

9 DIMOSTRAZIONE A x + h A(x) lim h 0 h utilizzndo l proprietà 2, nell intervllo [x, x + h] di mpiezz h, si h h x+h x = lim f z dz f z dz h 0 h min z x,x+h f z න x x+h f z dz h x+h = lim x f z dz h 0 h mx f(z) z x,x+h dividendo per h > 0, e clcolndo il limite per h 0, poiché il mssimo e il minimo di f(x) nell intervllo [x, x + h] tendono f(x) per h 0, si h f x = lim h 0 min f(z) z [x,x+h] A x+h A(x) dimostrndo che lim h 0 h x+h lim x f z dz h 0 h lim h 0 x+h = lim x f z dz h 0 h mx f(z) z [x,x+h] = f(x). = f(x)

10 DIMOSTRAZIONE DELLA CONSEGUENZA Essendo A x = න f z dz x un primitiv di f x, llor nche F x = A x + c è un su primitiv. A b = න f z dz b A = න f z dz = 0 Inoltre F b = A b + c e F = A + c = c, quindi න f z dz = A b = F b c = F b F() b

11 ESEMPI Dt l funzione f x = x, si clcoli un primitiv e l re dell regione di pino rcchius tr il grfico dell funzione, l sse delle x e le rette di equzione x = 0 e x = 1. න xdx = 0 1 x 2 อ = = 1 2 Clcolre geometricmente l re del tringolo di vertici (0,0), (1,0), (1,1) e verificre che è ugule ll re clcolt medinte l integrle.

12 INTEGRALE INDEFINITO Dt un funzione f(x) definit e continu su R, l insieme delle primitive indict con F x + c = f x dx prende il nome di integrle indefinito dell funzione f(x). Esercizio: Dte le funzioni considerte nell intervllo ssegnto, clcolrne un primitiv, l integrle indefinito, l integrle definito e determinre l re dell regione chius individut dl grfico dell funzione, dll sse delle x e dlle rette prllele ll sse y pssnti per gli estremi dell intervllo. f x = e x nell intervllo 1 2, 0 g x = x 3 nell intervllo 1, 2

13 INTEGRALI ELEMENTARI Per le seguenti funzioni continue, vlgono le formule, dove c è un costnte rbitrri per න x n dx = xn+1 n c e x dx = e x + c න cos x dx = sin x + c n 1 x 1 dx = ln x + c e αx dx = eαx α + c න sin x dx = cos x + c න 1 cos 2 x dx = tn x + c න 1 x 2 dx = rctn x + c + 1

14 INTEGRALE DEFINITO E AREA CON SEGNO Attenzione! L integrle definito determin l re con segno! Si considerino per esempio: 4 0 π 2 π 2 න x dx න sinx dx න sinx dx න sinx dx 1 π/2 0 π/2

15 PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI (1) Dte due funzioni continue f x e g x e un costnte c, si h g x dx + dx f x = dx f x + g x f x dx c c f(x)dx = Le stesse proprietà vlgono per gli integrli definiti, in prticolre si h b b b g x dx + dx f x = dx f x + g x b b f x dx cf x dx = c b f x dx = dx b f(x) b c b b] c f x dx, con c [, + dx f x = dx f(x)

16 PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI (2) Medi di un funzione: dt f continu in un intervllo [, b] si definisce medi dell funzione il numero f ҧ = 1 b b න f(x) dx Significto geometrico: esiste rettngolo equivlente l trpezoide (b ) f ҧ = න f(x) dx b

17 ESEMPIO L numerosità di un coltur di btteri vri con l legge N t = 10 6 e t/2 con t clcolto in ore. Determinre l numerosità medi nell intervllo di tempo [0,10]. ഥN = න 10 6 e t/2 dt

18 CALCOLO DELL AREA DI UNA REGIONE PIANA RACCHIUSA TRA DUE CURVE E DUE RETTE VERTICALI L re di un regione pin rcchius tr due curve f(x) e g(x) e le rette verticli x = e x = b si determin medinte b f x g x dx dove f(x) e g(x) delimitno, rispettivmente dll lto e dl bsso, l regione di interesse.

19 ESERCIZI Determinre, nel semipino x 0, l re dell regione di pino rcchius tr i grfici delle funzioni f x = 5 2x e g x = x 2 2x + 1. න(f x g(x))dx = න 5 2x (x 2 2x + 1)dx = Clcolre l re dell regione di pino delimitt di grfici delle funzioni f x = x 3 e g x = 8 e dll rett di equzione x = 1. Clcolre l re dell regione di pino delimitt di grfici delle funzioni f x = x 2 4 e g x = x 2 1. Clcolre l re del qudriltero individuto di punti P 0 = 0,0, P 1 = 1,1, P 2 = 1,2, P 0 = 0,3.

20 Integrzione per prti: METODI DI INTEGRAZIONE Dl teorem fondmentle e dll regol di derivzione del prodotto si h l seguente formul di integrzione per prti: f x G x dx = F x G x F x g x dx Si F(x) un primitiv di f(x) e G(x) un primitiv di g(x) Esempio ln x dx = න 1 (ln x ) dx = x ln x x 1 x dx = = x ln x x 1 dx = x ln x x + c x

21 DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE Definimo il differenzile di f(x), indicto con df (vrizione infinitesim di f) df = df x = f x dx Cioè l vrizione infinitesim df è proporzionle ll incremento infinitesimo dx Il coefficiente di proporzionlità è l derivt prim nel punto x. Esempio: f x = e 5x, df = 5e 5x dx

22 METODI DI INTEGRAZIONE Metodo di integrzione per sostituzione Il metodo di pplic se non è immedito clcolre l integrle di f(x) e se si può trovre un vribile usiliri z legt d x dll relzione x = g(z). Si clcol il differenzile dx e si sostituisce nell integrle l nuov vribile z e il dx espresso in termini dell nuov vribile z. Se l integrle ottenuto è più elementre si clcol f x dx = f g z g z dz Clcolt l primitiv ottenimo un funzione di z, che dobbimo ricondurre ll vribile x.

23 ESEMPIO Clcolre න cos 5x 1 dx Posto z = (5x 1), si ottiene x = g z = z+1 ci serve dx = g z dz = 1 5 dz 5 f g z g z dz = නcos z 1 5 dz = 1 5 නcos z dz = 1 sin z + c = 5 = 1 sin(5x 1) + c 5

24 METODI DI INTEGRAZIONE Il metodo di integrzione per sostituzione consente di determinre l integrle di semplici funzioni composte delle funzioni elementri න x n dx = xn+1 n c n 1 න(f x ) n f (x) dx = (f(x))n+1 n c x 1 dx = ln x + c Esempi f x 1 f (x) dx = න f (x) f(x) dx = ln f(x) + c 3x 2 x x 1 dx = 3x2 x c න sin x (sin x) dx = න cos x cos x dx = ln cos x + c

25 INTEGRALI DI FUNZIONI COMPOSTE (f(x))n+1 f ) x ) n f (x) dx = n+1 f (x) = f (x)dx f x 1 f(x) + c, con n 1 dx = ln f(x) + c cos(f x ) f (x) dx = sin(f x ) + c sin(f x )f (x) dx = cos(f x ) + c e f x f (x) dx = e f x + c

26 ESERCIZI Clcolre l re dell regione compres tr l sse delle x, il grfico di f(x) = sin x, e le rette di equzione x = π e x = π න π π sin x dx = 0 L integrle definito è zero. Funzione dispri. Gli estremi di integrzione sono opposti. Qunto vle l re dell regione? Oss: l re si può clcolre nche clcolndo l integrle del vlore ssoluto dell funzione: Are = න π π sin x dx = න 0 π π 0 π sin x dx + න sin x dx = cos x ቚ + cos x ቚ = 4 0 π 0 Clcolre l re dell regione compres tr l sse delle x, il grfico di f(x) = cos x, e le rette di equzione x = π 2 e x = π 2.