3. Si determini l area del segmento parabolico di base AB e si verifichi che essa è 3

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1 MINIERO DELL'IRUZIONE,DELL'UNIERIÀ E DELLA RICERCA CUOLE IALIANE ALL EERO EAMI DI AO DI LICEO CIENIFICO essioe Ordiri s 00/005 ECONDA PROA CRIA em di Mtemtic Il cdidto risolv uo dei due problemi e quesiti del questiorio PROBLEMA L fuzioe f è defiit d f ( ) k 6 dove k è u costte rbitrri i trovio, i fuzioe di k, i vlori di miimo e mssimo reltivo di f Per quli vlori di k, f h tre zeri reli distiti? i trovi il vlore di k tle che il vlor medio di f ell itervllo chiuso [-, ] si i determii l re dell regioe fiit delimitt dl grfico di f e dll sse qudo k PROBLEMA io dte l prbol λ e l rett r d equzioi rispettive y e y Qule è l distz miim tr λ e r? E qule e è il vlore? io A e B i puti d itersezioe di λ co l rett s d equzioe y, si determii il puto P pprteete ll rco AB tle che il trigolo ABP bbi re mssim i determii l re del segmeto prbolico di bse AB e si verifichi che ess è dell re del trigolo ABP i determii il volume del solido geerto dll rotzioe complet del segmeto prbolico di bse AB ttoro ll sse

2 QUEIONARIO Idict co l somm di termii i progressioe geometric di primo termie e rgioe si clcoli il lim U pirmide h l bse qudrt e l ltezz ugule cm Quti pii prlleli ll bse dividoo l pirmide i due prti i cui volumi soo el rpporto 7:? Quli soo le distze di tli pii dl vertice dell pirmide? U recipiete cotiee 000 litri di liquido e è u prllelepipedo bse qudrt, quli e soo le dimesioi miime? Qule è il cilidro di volume mssimo iscrivibile i u sfer ssegt? 5 Qudo u fuzioe f è ivertibile? Come si clcol l derivt dell fuzioe ivers f? Fi u esempio 6 piegre come utilizzre il teorem di Crot per trovre l distz tr due puti ccessibili m seprti d u ostcolo 7 rovre il periodo dell fuzioe : y si si Dimostrte che l somm di qulsisi umero rele positivo e del suo reciproco è lmeo Durt mssim dell prov: 6 ore È cosetito soltto l uso di clcoltrici o progrmmbili No è mmesso lscire l ul degli esmi prim che sio trscorse tre ore dll detttur del tem

3 PROBLEMA L fuzioe f è defiit d f ( ) k 6 dove k è u costte rbitrri Puto i trovio, i fuzioe di k, i vlori di miimo e mssimo reltivo di f L fuzioe f ( ) k 6 è u cubic defiit i tutto R le cui derivte prim e secod soo rispettivmete f '( ) e f ''( ) 6 f ' f ' f ' f '' f f I prticolre si h: ( ) > 0 < 0 > cioè l fuzioe è strettmete crescete i (-,0) (, ) ( ) < 0 0 < < cioè l fuzioe è strettmete decrescete i ( 0,) ( ) 0 0 ( ) 6 0 è sciss di flesso tgete obliqu ''( 0) < 0 ( ) 0 sciss di mssimo reltivo proprio '' > 0 sciss di miimo reltivo proprio Dlle cosiderzioi sopr effettute deducimo che l fuzioe f ( ) k mssimo reltivo i M ( 0, k), u miimo reltivo i (, k ) i F (, k 6) Puto Per quli vlori di k, f h tre zeri reli distiti? 6 preset u m e u flesso tgete obliqu y 6 Per rispodere l quesito risolvimo il sistem seguete: L cubic y 6 è y k defiit i tutto R, itersec l sse delle scisse i (0,0) e (6,0), quello delle ordite i (0,0), è positiv o ugule zero per 6, o preset sitoti e preset u miimo i (0,0), u mssimo i (, ) ed u flesso tgete obliqu i (,6) L rett y k è u rett prllel ll sse delle scisse Rppresetimo i u uico sistem di riferimeto l cubic y 6 e le rette di equzioe y 0, y, y, y :

4 Dl grfico soprstte si evidezio le segueti soluzioi: soluzioe per k < 0 k > I prticolre per k < 0 l uic soluzioe è positiv metre per k > è egtiv; soluzioi di cui due coicideti per k 0 k I prticolre per k 0 le tre soluzioi soo 0 doppi e 6, metre per k le tre soluzioi soo doppi e ; soluzioi distite per 0 < k < di cui due positive ed u egtiv Quidi per 0 < < k l fuzioe f ( ) k 6 h zeri reli distiti Puto i trovi il vlore di k tle che il vlor medio di f ell itervllo chiuso [-, ] si Il vlor medio di u fuzioe f ( ) ell itervllo chiuso [,b] è defiito come b f ( )d b Per il cso i esme i h: ( 6 k) d k 57 ( 6 k) k k Impoedo si h k k k Puto i determii l re dell regioe fiit delimitt dl grfico di f e dll sse qudo k

5 e k l fuzioe f ( ) 6 k preset u mssimo reltivo i M ( 0,) reltivo i m (,0) e u flesso tgete obliqu i F (,6) L re d clcolre è rppresett i verde ell figur sottostte:, u miimo L re vle: ( 6 ) d ( 6 ) ( 6 6) 0

6 PROBLEMA io dte l prbol λ e l rett r d equzioi rispettive y e y Puto Qule è l distz miim tr λ e r? E qule e è il vlore? U geerico puto dell prbol λ è P (, ) L distz di (, ) equzioe 0 fuzioe distz ( ) > 0 Δ -7< 0 y è d( ) d( ) P dll rett di i quto L d è u prbol co cocvità verso l lto per cui rggiuge il suo miimo ell sciss del vercice, ergo d( ) mi mi 7 L rett perpedicolre ll rett y e psste per P, h equzioe s : y Nel grfico sottostte vegoo mostrte ello stesso riferimeto crtesio l prbol λ, l rett r e l rett s: 7 y Puto io A e B i puti d itersezioe di λ co l rett s d equzioe y, si determii il puto P pprteete ll rco AB tle che il trigolo ABP bbi re mssim I puti A e B di itersezioe soo:

7 y A, B : y ( )( ) A 0 B U geerico puto dell prbol λ è (, ) P (, ) (,5) L bse AB del trigolo APB misur AB metre l ltezz è l distz di ( )( ) P (, ) dll rett y L ltezz misur h ( ) e poiché geometricmete deve versi < < deducimo che h ( ) ( )( ) ( ) mssim l ltezz ( ) ( ) h ; l ltezz ( ) ( ) L re del trigolo APB è mssim qudo è h o è ltro che u prbol co cocvità verso il bsso che rggiuge il suo mssimo ell sciss del vertice, per cui l re 9 mssim si h per h( ) d cui ( ) Puto m m 9 7 m i determii l re del segmeto prbolico di bse AB e si verifichi che ess è dell re del trigolo ABP L re del segmeto prbolico di bse AB è dt dll itegrle seguete:

8 ( ) [ ] [ ] d d AB Pr ett Il rpporto tr l re del settore prbolico e quell del trigolo APB è 7 9 APB AB Pr ett Puto i determii il volume del solido geerto dll rotzioe complet del segmeto prbolico di bse AB ttoro ll sse Il volume del solido geerto dll rotzioe complet del segmeto prbolico di bse AB ttoro ll sse è dto dll itegrle seguete: [ ] ( ) [ ] ( ) d d AB Pr ett

9 QUEIONARIO Quesito Idict co l somm di termii i progressioe geometric di primo termie e rgioe si clcoli il lim L somm di termii i progressioe geometric di primo termie e rgioe q è q Or lim lim lim 0 q Quesito U pirmide h l bse qudrt e l ltezz ugule cm Quti pii prlleli ll bse dividoo l pirmide i due prti i cui volumi soo el rpporto 7:? Quli soo le distze di tli pii dl vertice dell pirmide? Cosiderimo l figur sottostte rffigurte u pirmide, suppost rett, bse qudrt di lto AB ed ltezz H cm : Il poligoo A ' B' C' D', otteuto seziodo l pirmide rett ABCD co u pio prllelo ll bse, è simile l qudrto di bse ABCD ed è quidi ch esso u qudrto di lto idic co H ' il puto i cui l ltezz H icotr l sezioe A ' B' b < i A ' B' C' D' Per u teorem di geometri euclide ello spzio è oto che, se si sezio u pirmide co u pio prllelo ll bse, l sezioe e l bse soo poligoi simili e i lti di questi poligoi soo proporzioli lle distze del loro pio dl vertice Dl prllelismo delle due bsi discede che H ' h co 0 < h < è ltezz dell pirmide A ' B' C' D' e che l ltezz del troco di pirmide è ( ) HH ' h

10 Quidi si h: h : b : Il volume dell pirmide A B' C' D' b h ' ' ' ' ' è ( A B C D ) b h metre il volume del troco di pirmide di bse ABCD ed ltezz HH ( h) troco R ( h)( b b) troco ( A' B' C' D' ) h R h h h h b h ' è, per cui il rpporto tr i volumi è b h b ( h)( h h 6) le rpporto può essere o R 7 o 5 h 7 h 5 h h h 6 h [ cm] 5 h h R Impoedo R 7 ricvimo 7 metre impoedo R ricvimo 7 5 h h 7 5 h 7 6 h 7 [ cm] I coclusioe i pii prlleli ll h 7 bse che dividoo l pirmide i due prti i cui volumi soo el rpporto 7: soo due e il vertice dell pirmide dist d essi h [ cm] oppure 7 [ cm] h Quesito U recipiete cotiee 000 litri di liquido e è u prllelepipedo bse qudrt, quli e soo le dimesioi miime? i il lto dell bse qudrt del prllelepipedo ed h l su ltezz Il volume del prllelepipedo è ABse h h e dovedo essere 000 litri m si ricv (esprimedo le dimesioi i metri) h L superficie totle del prllelepipedo è h (, h) ( h) ( ) effettuimo trmite clcolo delle derivte: ' '' ( ) i h: ( ) L miimizzzioe dell superficie totle l

11 ' ' ( ) > 0 > strettmete crescete i (, ) ( ) < 0 0 < < strettmete decrescete i ( 0,) Ioltre '' () > 0, per cui il lto di bse che miimizz l superficie totle è [ m] ed i corrispodez l ltezz vle h [ m] I coclusioe il prllelepipedo bse qudrt di volume 000 litri di dimesioi miime è u cubo di lto metro Quesito Qule è il cilidro di volume mssimo iscrivibile i u sfer ssegt? i cosideri l figur sottostte i cui bbimo idicto l ltezz del cilidro pri co 0 r co r rggio dell sfer Il rggio di bse del cilidro, per il teorem di Pitgor, vle cilidro è ( ) ( r ) ( r ) C volume soo rispettivmete: ' C '' C R r per cui il volume del Le derivte prim e secod dell fuzioe ( ) ( r ) ( ) Quidi l fuzioe volume, teedo presete l limitzioe 0 r, è strettmete crescete ell itervllo 0, r r e strettmete decrescete i,r Ioltre '' r r r C r < 0 per cui il volume mssimo lo si h per e vle r r r,m C r r 9

12 Quesito 5 Qudo u fuzioe f è ivertibile? Come si clcol l derivt dell fuzioe ivers f? Fi u esempio U fuzioe f ( ) è ivertibile i u itervllo [,b] se è biiettiv, cioè iiettiv e suriettiv Iiettiv sigific che per ogi (, y) del domiio vle f ( ) f ( y) y (detto i prole povere l fuzioe mpp distiti elemeti del domiio i distiti elemeti del codomiio) uriettiv sigific che per ogi elemeto y del codomiio esiste (lmeo) u elemeto del domiio tle che f ( ) y (cioè ogi elemeto del codomiio è immgie di lmeo u elemeto del domiio) Prticmete u fuzioe f ( ) è ivertibile i u itervllo [,b] se strettmete mooto i [,b] I geerle dett g ( y) l ivers di f ( ), l derivt di g, per u oto teorem che recit L derivt di u fuzioe ivers è ugule l reciproco dell derivt dell fuzioe dirett (purché quest ultim derivt o si ull) è g' ( y) i f otre che le due derivte che f '( ) compioo ell formul si itedoo clcolte i due puti che si corrispodoo L fuzioe ( ) f 0 è ivertibile i quto strettmete crescete i tutto R Riscrivedo l fuzioe f ( ) 0 come ( ) l ( 0 ) ( ) l0 f e e si ricv che l su derivt è ( ) l0 ( ) e l0 l0 0 f ' che risult essere strettmete positiv i tutto R f 0 i Clcolimo l derivt dell fuzioe ivers di ( ) y 0 L ivers di f ( ) 0 g y log 0 y e è ( ) ( ) y 0 corrispode 0 per cui g ' ( 0 ) f ' ( 0) l derivt di g ( y) ( y) è g ( y) Quesito 6 log 0 l0 Cotrollimo se il vlore clcolto è corretto L ' e g '( 0 ) come già trovto l0 y l0 0 piegre come utilizzre il teorem di Crot per trovre l distz tr due puti ccessibili m seprti d u ostcolo Cosiderimo l figur seguete rffigurte l geometri del problem:

13 Essedo A e B ccessibili d u geerico puto C, è possibile misurrli sperimetlmete e idichimo co BC, AC b le reltive distze di B ed A d C; ioltre co u goiometro è possibile misurre l golo γ Cooscedo due lti e l golo compreso, trmite il teorem di Crot si misur c b bcos( γ ) Quesito 7 rovre il periodo dell fuzioe : y si si e si ho due fuzioi periodiche co diverso periodo e, e se esistoo multipli iteri comui dei due periodi, llor le fuzioi somm, prodotto, quoziete, ho periodo ugule l miimo comue multiplo dei periodi I questo cso l fuzioe y si si l riscrivimo come y si si e i periodi soo e per cui il periodo dell fuzioe somm è m c m, [ ] Quesito Dimostrte che l somm di qulsisi umero rele positivo e del suo reciproco è lmeo i s u umero rele positivo, dimostrimo che s Provimo che l disequzioe s s è soddisftt s > 0 L disequzioe s può essere scritt come s s s s s ( s ) s 0, ed essedo > 0 s s > deducimo che ( ) 0 s 0 s ed ( ) 0 come volevmo dimostrre s i quto qudrto di u umero,