CORSO DI METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA MECCANICA

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1 CORSO DI METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA MECCANICA. ALCUNE NOZIONI E STRUMENTI PRELIMINARI -RICHIAMI SUGLI SPAZI VETTORIALI Ricordimo che u vettore i R (o C ) e u -upl ordit di umeri reli (o complessi) che rppreseteremo itulmete i form di vettore colo o, equivletemete, come il trsposto di u vettore rig = = (,,..., ) M T Assegt sui vettori u operzioe di somm e di prodotto per sclri T T + y : = ( + y,..., + e : = (,..., ) R (o C ), y ) u sottoisieme V di vettori di R (o C ) ssume l struttur di Spzio Vettorile (o Spzio Liere) su R (o su C) se soddisf le segueti propriet per ogi,y,z di V e per ogi sclre, di R (o C).. + y V e V, cioe V e chiuso rispetto lle operzioi di somm e prodotto.. +y=y (y+z)=(+y)+z. 4. C e u uico vettore V, tle che +=. 5. Per ogi, c e u uico vettore tle che +=. 6. = ( e l elemeto uitrio di R (o C ) cioe tle che = R (o C) ). 7. ()=(). 8. (+y)=+y. 9. (+)=+.

2 I prticolre, dti d ritrio m vettori {,, m } o ulli, l isieme sp(,..., m ), d essi geerto (cioe l isieme di tutte le loro comizioi lieri, iclus turlmete, l comizioe ull) e uo spzio vettorile. I vettori {,, m } soo liermete idipedeti se essuo di essi puo essere geerto di rimeti o, equivletemete, solo l loro comizioe liere ull produce il vettore ullo. Se, l cotrrio, uo dei vettori di {,, m } puo essere rppresetto d u comizioe liere degli ltri, llor si dice che essi soo liermete dipedeti. Il mssimo umero di vettori liermete idipedeti che geero lo spzio vettorile V e detto dimesioe dello spzio, dim(v), ed ogi isieme di tli vettori e dett se dello spzio stesso. Se, per esempio, V = sp(,..., m ) e {i,, i } soo (<m) vettori liermete idipedeti estrtti dll isieme {,, m }, llor essi costituiscoo u possiile se per V ed ioltre dim(v)=. Lo spzio vettorile V e detto spzio vettorile ormto se e dotto di u orm, cioe di u ppliczioe di V i R, vlori o egtivi, che gode delle segueti proprietà., e = =.. =. 3. +y + y (propriet trigolre) L orm di u vettore ltro o e che l su lughezz. Ioltre, ttrverso l orm, si defiisce l distz tr due vettori e y dist(,y)= -y L orm piu comuemete ust i R e l orm Euclide, idict usulmete co e defiit d... + = +. Metre e le verificre le prime propriet dell orm, l propriet trigolre potr essere fcilmete verifict dopo ver itrodotto il prodotto sclre e l disugugliz di Cuchy-Schwrz che vedremo tr poco. Rispetto ll orm Euclide, si puo defiire l sfer uitri come l isieme { R } S = : = costituito dll isieme di puti di R che disto dll origie (cioe dl vettore ullo). Tle isieme h l form che el liguggio comue si idic, pputo, col termie sfer. Ogi fuzioe i vlori o egtivi defiit sui vettori di R e soddisfcete le 3 propriet sopr idicte puo essere ssut come orm. Cmido l orm, cmi

3 il vlore dell distz tr due vettori e, di coseguez, l form dell sfer defiit S R : = cor come l isieme { } i = i Tr gli ifiiti modi di defiire u orm i R, soo di prticolre iteresse, oltre ll orm Euclide, le segueti due orme: : = e : = m i i Il lettore disegi, i R, le corrispodeti sfere S e S cofrotdole tr loro e co l sfer Euclide S. Per ogi orm, si puo ovvimete defiire l sfer di cetro il puto e di rggio r, come l isieme { R : r} Si (, r) = i = I R tutte le orme soo equivleti, cioe : ssegte due orme I e II esistoo due costti m, M > tli che m I II M I per ogi R. Quest propriet e fodmetle perche cosete di vlutre l covergez di u procedimeto di pprossimzioe idipedetemete dll orm ust. Iftti se u successioe di vettori, per esempio u successioe di errori llor, evidetemete, che l successioe * II tede zero. * I, tede zero, U'ltr clsse importte di spzi vettorli e costituito dll isieme C [,] delle fuzioi defiite sull itervllo rele [,] ed vlori i R, derivili volte co derivt - esim cotiu. L itervllo [,], puo che essere illimitto e l idice di derivzioe puo essere ifiito: C [,]. I tli spzi e defiit l somm ed il prodotto estero (f+g)():=f ()+g() e (f )():=f (). Il lettore verifichi che tle isieme e uo spzio vettorile. I geerle, tli spzi o possoo essere geerti d u sottoisieme fiito di elemeti e quidi l loro dimesioe e ifiit. Ci soo pero dei sottospzi che mmettoo u isieme fiito di geertori e quidi u se fiit. Per esempio, l isieme P dei poliomi

4 lgerici di grdo, co l se coic {,,, } e u sottospzio liere proprio di C [,] vete dimesioe +. Ache gli spzi di fuzioi possoo essere dotti di orme; tr di esse soo di prticolre iteresse le 3 segueti orme (che evoco le 3 orme precedetemete viste i R ) f : = f ( ) d, f : = f ( ) d dett orm di Hilert, f = m f ( ) dett orm di Lgrge, o orm uiforme. L verific che e soddisfio le 3 propriet richieste per le orme, e reltivmete fcile, metre l propriet trigolre e piu complict d verificre per l orm Il cocetto di orm (o di lughezz) i uo spzio di fuzioi e u cocetto ppretemete piu strtto rispetto l cso di R, m poiche iduce u distz tr due fuzioi f e g dello spzio, dist(f,g)= f-g, ess ci cosete di misurre l loro differez, cioe l errore co cui l u pprossim l ltr. Le 3 ome cosiderte rppreseto, rispettivmete, il vlore medio di f moltiplicto per l lughezz dell itervllo -, l rdice qudrt del vlore qudrtico medio per -, ed ifie il vlore mssimo di f i [,]. Rispetto ll errore di pprossimzioe, le prime due foriscoo l errore medio e l errore qudrtico medio metre l ultim forisce l errore uiforme. Per esempio il poliomio p()=+ pprossim l fuzioe e ell itervllo [,] co errore medio e p( ) = ( e ) d = e.5. 7 ed errore uiforme e p ( ) = m e = e.77. Le orme e soo prticolrmete dtte misurre l distz tr fuzioi pprteeti spzi vettorili piu geerli. Per esempio cosiderimo lo spzio delle fuzioi limitte che mmettoo u umero fiito di discotiuit. Nelle segueti figure si vede che l distz tr l fuzioe g() e l fuzioe (discotiu) f() è i orm uiforme metre è molto piccol i orm e..

5 o g() f() - g()-f() g()-f() - o o Si osservi ioltre che, ell'esempio proposto, essu fuzioe cotiu può vere distz uiforme d f() miore di. I prticolre l fuzioe ull pprossim l f() co lo stesso errore uiforme dell g(), il che o è rgioevole. Ciò rede l orm uiforme ipproprit ll'esempio cosiderto, metre le ltre due orme cosetoo delle stime più seste. L propriet di equivlez delle orme o si trsferisce gli spzi di dimesioe ifiit. Come esempio si cosideri l successioe di fuzioi f () defiite i figur f () / ( f ) = 3 ( ) le cui orme soo dte d 3 f = = = f ( ) d ( )d,

6 f = f = ( ) d : 3 ( ) d = 3 f = m f ( ) =. Il lettore dimostri che le 3 orme o possoo essere equivleti. U ltro esempio importte di Spzio Vettorile e costituito dll isieme R m delle mtrici reli, di m righe ed coloe, co l usule operzioe di somm e di prodotto per sclri. E le osservre che tle isieme costituisce uo spzio vettorile. Ache i questo cso e possiile defiire delle orme sullo spzio vettorile. Alcui richimi sulle mtrici, sugli utovlori e sulle possiili orme di cui possoo essere dotte verr ftto, co u mggior grdo di pprofodimeto, i u cpitolo successivo. I molti spzi vettorili V e iteresste cosiderre u prodotto sclre, cioe u ppliczioe <,y> di V V R che god delle segueti propriet (qui ci limitimo l cso che V si uo spzio liere su R):. <,>, e <,>= =.. <,y>=<y,> 3. <,y+z>=<,y>+ <,z> Il prodotto sclre ci cosete di itrodurre il seguete cocetto di ortogolit. Due vettori si dicoo ortogoli ( y) se <,y>=. Ioltre, d ogi prodotto sclre si puo ssocire, i modo coico, l orm = <, > Si vede fcilmete che, i R, l fuzioe,y > : = y < gode delle 3 propriet richieste del prodotto sclre e ioltre l orm ssocit e proprio l orm Euclide. I modo logo, gli spzi lieri di fuzioi che imo cosiderto soo dotti del prodotto sclre

7 < f,g >= f()g()d l qule si ssoci l orm di Hilert f = < f, f > = f ( ) d I ogi spzio liere dotto di prodotto sclre vle l disugugliz di Cuchy- Schwrz: <,y > <, > < y, y > ttrverso l qule si puo or dimostrre, i modo reltivmete semplice, l propriet trigolre dell orm Euclide e dell orm di Hilert. V precisto, scso di equivoci, che o tutte le orme possoo essere dedotte d prodotti sclri. I prticolre, le ltre orme fi qui icotrte o derivo d prodotti sclri e quidi i reltivi spzi lieri ormti o dispogoo di u ozioe di ortogolit. Negli spzi lieri dotti di prodotto sclre, il prolem dell miglior pprossimzioe i sottospzi di dimesioe fiit trov u soluzioe qusi le. Vle iftti il seguete teorem. Si dto uo spzio vettorile V dotto di prodotto sclre ed u sottospzio proprio V m sp( u,...,u m ) =,di dimesioe fiit m. Per ogi elemeto di V \ V m, esiste u elemeto u* V m che miimizz l distz d ell orm dedott dl prodotto sclre, cioe tle che: u* u u V m Il puto u*, detto elemeto di miglior pprossimzioe, e dto dll proiezioe ortogole di su V m otteut impoedo le codizioi di ortogolit dell errore -u* rispetto tutti gli elemeti dell se di V m <-u*, u i >= per i=, m. (Equzioe di Grm-Schmidt). Il teorem e molto potete poiche e eucito i mier strtt, cioe sez precisre quli soo gli spzi i gioco che verro fissti di volt i volt secod del prolem che vorremo risolvere, ed ioltre forisce lo strumeto per trovre l soluzioe. Per esempio, dto u pio ed u puto estero l pio, possimo trovre, sul pio stesso, il puto di miim distz dl puto ssegto. Oppure, dt u fuzioe

8 cotiu, possimo trovre, per ogi fissto, il poliomio di miglior pprossimzioe tr tutti quelli di grdo. Esercizio. Assegto il pio P geerto di vettori (,,) e (,,), trovre il puto del pio P di miim distz euclide dl puto (,,). Esercizio. Si trovi il poliomio di grdo di miglior pprossimzioe, i orm di Hilert, per l fuzioe se() ell itervllo [,π]. L dimostrzioe del teorem ed u pprofodimeto el cso degli spzi R m e C [,] verr forit i u successivo cpitolo. -RICHIAMI DI CALCULUS Teorem di Weierstrss: Ogi fuzioe cotiu f: S R defiit sull isieme chiuso e limitto S, mmette mssimo e miimo. Teorem di coessioe: Si fœ C [,]. Per ogi c: f()<c<f() esiste u puto ξœ (,), tle che f(ξ)=c. Teorem di mootoi itegrle. Sio f e g œ C [,] co f() g() per ogi œ [,]. Allor Corollrio: f()d g( )d. f()d f ( ) d œ [,] si h Teorem fodmetle del clcolo itegrle: Se f œ C [,], llor per ogi f()=f()+ f ' (t)dt

9 Regol di itegrzioe per prti. Sio f e g œ C [,]. Allor f ( )g' ( )d = f ( )g( ) f '( )g( )d Teorem dell medi itegrle. Sio f e g œ C [,] e g(). Allor esiste u puto ξœ (,) tle che f ( ) g( ) d = f ( ξ ) g( ) d. Formul di Tylor. Si f œ C + [,] per qulche e sio c œ [,]. Allor esiste u ξ : <ξ< tle che f()=f(c)+f (c)(-c)+ f (c)(-c) + +! Si osservi che il poliomio p()=f(c)+f (c)(-c)+ f (c)(-c) + +! el puto c h le stesse derivte di f fio ll ordie. f ()(c) (-c) +! f ()(c) (-c)! f (+) (ξ) (-c) + ( + )! Formul d iterpolzioe poliomile. Si f œ C + [,] per qulche e sio (=) < < < (=), + puti distiti di [,]. Allor per ogi œ [,] esiste u ξœ (,) per cui vle l idetit: f()=f( )+f[, ](- )+f[,, ](- )(- )+ +f[,,, ](- )(- ) (- - )+ + f (+) (ξ) (- )..(- ) ( + )! dove i termii f[,,, ], detti: differeze divise di ordie, soo defiiti ricorsivmete d f[,,, ]= essedo f[ i ] = f( i ) f [,, ]- f [,,, - ] l differez di ordie. Le differeze possoo essere costruite fcilmete co lo schem

10 f( ) f( ) f[, ] f( ) f[, ] f[,, ] f( ) f[ -, ] f[,..., ]. Il poliomio di grdo p()=f( )+f[, ](- )+f[,, ](- )(- )+ +f[,,, ](- )(- ) (- - ) e detto poliomio di iterpolzioe dell fuzioe f sui odi,,,,e soddisf le codizioi di iterpolzioe: p ( i )=f ( i ) i=,,, metre il termie f (+) (ξ) (- )..(- ) ( + )! e il resto ( o errore) di iterpolzioe.