ANALISI MATEMATICA 1

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1 ANALISI MATEMATICA [Apputi per u Igegere] A CURA DI ALESSANDRO PAGHI Riepilogo su: - Vlore Assoluto, Poteze, Logritmi; - Rziolizzzioe; - Grdezze Trigoometriche; - Limiti Notevoli e Forme Idetermite; - Derivte; - Teoremi su Fuzioi e Derivte; - Sviluppi i Serie di Tylor; - Itegrli; - Defiizioi e Teoremi su Itegrli;

2 Proprietà Importti del Vlore Assoluto Disegugliz Trigolre: + + Lipschitziità del v..: Proprietà Importti delle Poteze m m+ ( m ) m ( ) Proprietà Importti dei Logritmi log log ( c) log + log c log c c log log ( c ) log log c log log c log c log log Rziolizzzioe di u Frzioe Cso Rdicle Semplice Deomitore Somm o Differez di Rdicli Qudrtici Deomitore Metodo Q Q Q Q Q m m m m Q + Q + Q Q Q m Q( ) + Q( + ) +

3 Proprietà delle Grdezze Trigoometriche Limitzioi si x cos x Teorem di Pitgor si x + cos x Archi Opposti si( x) si x cos( x) cos x t( x) t x Archi Complemetri si ( π x) cos x cos (π x) si x t (π x) t x Archi Supplemetri si(π x) si x cos(π x) cos x t(π x) t x Formule di Dupliczioe si(x) si x cos x cos(x) cos x si x { si x cos x t(x) Formule Prmetriche si x t t t + t cos x t x + t Formule di Addizioe si(x ± y) si x cos y ± cos x si y cos(x ± y) cos x cos y si x si y t(x + y) si x + si y si x + y x y cos Formule di Prostferesi x + y x y cos x + cos y cos cos Formule di Werer t x t x t co t t x t x + t y t x ± t y t x t y si(x + y) cos x cos y si x si y (cos(x y) cos(x + y)) cos x cos y (cos(x + y) + cos(x y)) si x cos x (si(x + y) + si(x y)) Archi Importti x cos x si x t x 0 ~ π 6 ~ 30 3 π 4 ~ 45 π 3 ~ 60 π ~

4 si x si x x 0 x t x t x x 0 x rct x rct x x 0 x cosh x l( + x) log ( + x) l ( + x x ± x ) e ( + x) x e x 0 ( + x) c ( + x) c c x 0 cx Limiti Notevoli Fuzioi Trigoometriche th x x se x 3 6 Fuzioi Espoezili e Logritmiche cos x cos x 0 rcsi x rcsi x x 0 x (rccos x) sih x x x x rct x 3 3 e x x l ( + x x + x ) e ( + x x + x ) e Soluzioe di Forme Idetermite Limiti Notevoli o Cofroto tr Ifiitesimi Scomposizioe e semplificzioe del cso di u rpporto di poliomi [ 0 0 ] Trucchi lgerici per ricodursi ll uso di u ite otevole (sommre, sottrre, moltiplicre e dividere per l stess qutità; proprietà di poteze, logritmi, espoezili; trigoometri) Teorem di De l Hopitl Limiti co Tylor Limiti Notevoli o Cofroto tr Ifiiti [ ] Scomposizioe e semplificzioe del cso di u rpporto di poliomi Trucchi lgerici per ricodursi ll uso di u ite otevole ( ) Teorem di De l Hopitl Limiti Notevoli (Limite Notevole Neperio) [ ] Trucchi lgerici per ricodursi ll uso di u ite otevole ( ) Uso dell formul y e l y e proprietà dei logritmi Trucco lgerico: Scrivere il termie che geer l ifiito come u reciproco. Se è 0 t_if mi [0 ] [ ] [ 0 ] [0 0 ] ricoduco 0 t_if portdomi ll form idetermit [ 0 0 ]. Limiti Notevoli o Cofroto tr Ifiiti Scomposizioe e semplificzioe del cdo di u rpporto di poliomi Trucchi lgerici per ricodursi ll uso di u ite otevole ( ) Rziolizzzioe e scomposizioe di poliomi l cotrrio Limiti Notevoli o Cofroto tr Ifiiti Scomposizioe e semplificzioe del cso di u rpporto di poliomi Trucchi lgerici per ricodursi ll uso di u ite otevole ( ) Limiti Notevoli o Cofroto tr Ifiiti o Cofroto tr Ifiitesimi Scomposizioe e semplificzioe del cso di u rpporto di poliomi Trucchi lgerici per ricodursi ll uso di u ite otevole ( ) Uso dell formul y e l y e proprietà dei logritmi ricoducedosi ll form [0 ]

5 Derivte Fuzioe Derivt Fuzioe Geeric Derivt Geeric y k y 0 y x y y x y x y {f(x)} y {f(x)} f (x) y f(x) y f (x) y x y x y x m y m x m y {f(x)} m y f(x) mf (x) {f(x)} m y si x y cos x y si f(x) y cos f(x) f (x) y cos x y si x y cos f(x) y si f(x) f (x) y sih x y cosh x y cosh x y sih x y t x y cos y t f(x) y x cos f(x) f (x) y cot x y se y cot f(x) y x si f(x) f (x) y rcsi x y y rcsi f(x) y x {f(x)} f (x) y rccos x y y rccos f(x) y x {f(x)} f (x) y rct x y + x y rct f(x) y + {f(x)} f (x) y rccot x y + x y rccot f(x) y + {f(x)} f (x) y log x y y log f(x) y x l f(x) l f (x) y l x y y l f(x) y x f(x) f (x) y x y x l y f(x) y f(x) l f (x) y e x y e x y e f(x) y e f(x) f (x) y x x y x x ( + l x) y {f(x)} g(x) y x y sg x y {f(x)} g(x) {g (x) l f(x) + g(x) f(x) f (x)} Alger delle Derivte (f )(x) f (x) (f ± g) (x) f (x) ± g (x) (fg) (x) f (x)g(x) + f(x)g (x) ( f g ) (x) f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) (f g)(x) f (g(x))g (x) (f ) (y) dove y f(x) f (x)

6 Importti Teoremi sulle Fuzioi e sulle Derivte Teorem degli Zeri Si f: [, ] R cotiu e si f() f() < 0, llor f mmette lmeo uo zero i [, ]. Teorem dei Vlori Itermedi Si I R u itervllo e si f: I R cotiu i I, llor f ssume i I tutti i vlori compresi tr sup I f e if I f. Cotiuità dell Fuzioe Ivers Si X R, si f: X R cotiu e ivertiile i X e si f : f(x) R l ivers di f i X. Se X è u itervllo o u isieme comptto llor f è cotiu el suo domiio f(x). Teorem di Weierstrss per Itervlli Chiusi e Limitti Si f: [, ] R cotiu i [, ], llor esistoo M mx [,] f e m mi [,] f ed ioltre f([, ]) [m, M]. Derivilità e Cotiuità Sio I u itervllo, x 0 I e f: I R. Se f è derivile i x 0 llor f è cotiu i x 0. Teorem di Fermt Sio f: (, ) R e x 0 (, ). Se f è derivile i x 0 e se f h u estremo locle i x 0, llor f (x 0 ) 0. x 0 si chim Puto Stziorio. Teorem di Lgrge o del Vlor Medio Si f: [, ] R cotiu i [, ] e derivile i (, ), llor c (, ): f (c) f() f(). Teorem di Rolle Si f: [, ] R cotiu i [, ], derivile i (, ) tle che f() f(), llor c (, ): f (c) 0. Teorem di Cuchy Sio f, g: [, ] R cotiue i [, ] e derivili i (, ), llor c (, ): (f() f())g (c) (g() g())f (c). Segi delle Derivte Si f: [, ] R derivile due volte i (, ), llor: - f (x) 0 x (, ) f è crescete i (, ) ; - f (x) 0 x (, ) f è decrescete i (, ) ; - f (x) 0 x (, ) f è covess i (, ) ; - f (x) 0 x (, ) f è cocv i (, ) ;

7 Sviluppi di Tylor-Mc Luri di fuzioi elemetri,

8 Itegrli Itegrli Notevoli f (x)dx f(x) + c Itegrli Notevoli i Form Geerle f (g(x)) g (x)dx f(g(x)) + c dx x + c x dx x+ + c co + [f(x)] dx l x + c x e x dx e x + c e kx dx ekx k + c x dx x l + c si x dx cos x + c cos x dx si x + c sih x dx cosh x + c f (x)dx [f(x)]+ + c co + f (x) dx l( f(x) ) + c f(x) e f(x) f (x)dx e f(x) + c f(x) f (x)dx f(x) l + c si(f(x)) f (x)dx cos(f(x)) + c cos(f(x)) f (x)dx si(f(x)) + c sih(f(x)) f (x)dx cosh(f(x)) + c cosh x dx sih x + c cosh(f(x)) f (x)dx sih(f(x)) + c ( + t x)dx cos dx t x + c x cos f (x)dx t(f(x)) + c (f(x)) ( + cot x)dx si dx cot x + c x si dx cot(f(x)) + c (f(x)) + x dx rct x + c + [f(x)] f (x)dx rct(f(x)) + c dx rcsi x + c x [f(x)] f (x)dx rcsi(f(x)) + c dx rccos x + c x x dx + x l x + c x + dx l (x + + x ) + c x dx l x + x + c l x dx x l x x + c log x dx x log x x log e + c se x dx (x si x cos x) + c cos x dx (x + si x cos x) + c si x dx l t x + c [f(x)] f (x)dx rccos(f(x)) + c

9 cos x dx l t (x + π ) + c 4 t x dx l( cos x ) + c cot x dx l( si x ) + c + cos x dx t x + c cos x dx cot x + c rcsi x dx x rcsi x + x + c rccos x dx x rccos x x + c rct x dx x rct x l( + x ) + c rccot x dx x rccot x + l( + x ) + c (f(x) + g(x))dx Proprietà degli Itegrli f(x)dx + g(x)dx Se f g i [, ] f(x)dx g(x)dx se c [, ] f(x)dx f(x)dx + f(x)dx c f(x)dx f(x) dx Itegrzioe per Prti: f (x)g(x)dx f(x)g(x) f(x)g (x)dx Itegrzioe per Sostituzioe: f(s)ds h () f(h(t))h (t)dt h () c co s h(t) e ds h (t)dt

10 Defiizioi e Teoremi Importti sugli Itegrli Itegrle di Riem Si f: [, ] R u fuzioe itt e D {x 0,, x ) u suddivisioe di [, ]. Somm Iferiore di f reltiv ll suddivisioe D l qutità s(d, f) i if (xi,x i )f (x i x i ). Somm Superiore di f reltiv ll suddivisioe D l qutità S(D, f) i sup (xi,x i )f (x i x i ). f si dice Itegrile Secodo Riem ell itervllo itto [, ] se risult sup D s(d, f) if D S(D, f); tle vlore è detto Itegrle di Riem di f i [, ] e si idic co f(x)dx. Teorem dell Medi Sio fεr(, ), m if [,] f e M sup [,] f. Allor m f(x)dx M e tle qutità si defiisce Medi Itegrle. Fuzioe Itegrle i u Puto Si fεr(, ) itegrile i [, ] e si c [, ]. L fuzioe F c : [, ] R, defiit come x F c (x) f(s)ds x [, ] si chim Fuzioe Itegrle di f reltiv l puto c. c Teorem Fodmetle del Clcolo Itegrle x Si fεr(, ) ed fεc[, ], llor l fuzioe itegrle F c (x) f(s)ds c F c (x) f(x) x [, ]. Primitiv è derivile i [, ] e Si I R u itervllo e si f: I R. U fuzioe F: I R si dice Primitiv di f i I se F è derivile i I e se: F (x) f(x) x I. Costte delle Fuzioi Primitive Sio F e G due fuzioi primitive di f: I R, llor c: G(x) F(x) + c x I.