Analisi Matematica I

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1 Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio Domada La derivata della fuzioe f) log ) si è ) log )si B) log )cos ) log ) si cos loglog ) + si ) log D) ) si + log ) cos ) π Domada La fuzioe f :, + ) R defiita da f) ta + ) ) ha u asitoto obliquo B) ha miimo assoluto ) ha u asitoto orizzotale e uo verticale D) o è itata iferiormete Domada e cos si log + )) ) 6 B) ) D) + B Domada 4 La successioe a + ) ) ) ha sia massimo che miimo B) ha massimo ma o ha miimo ) o ha é massimo é miimo D) ha miimo ma o ha massimo Domada 5 Sia {e + : N, }. llora ) sup) + B) sup) e ) if) D) if)

2 Domada 6 ) diverge positivamete B) coverge + log + ) cos ) d ) diverge egativamete D) o esiste B Domada 7 + ) diverge egativamete B) o esiste ) arcta + d ) coverge D) diverge positivamete Domada 8 ) B) + e e + log log d ) + log D) e Domada 9 La serie ) + ) + cos ) o coverge B) coverge ma o coverge assolutamete ) coverge assolutamete D) diverge egativamete Domada La serie cos + )π)e 5 log ) 7 ) diverge positivamete B) coverge ma o coverge assolutamete ) coverge assolutamete D) diverge egativamete

3 Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio Domada La successioe a + ) ) ) o ha é massimo é miimo B) ha miimo ma o ha massimo ) ha massimo ma o ha miimo D) ha sia massimo che miimo Domada ) + e e + log log d B) e ) + log D) Domada ) B) + e cos si log + )) D ) 6 D) Domada 4 La derivata della fuzioe f) log ) si è ) log ) si cos loglog ) + si ) B) log log )si ) log )cos D) ) si + log ) cos Domada 5 ) o esiste + log + ) cos ) d B) diverge positivamete ) diverge egativamete D) coverge D

4 Domada 6 Sia {e + : N, }. llora ) sup) e B) if) ) if) D) sup) + D Domada 7 ) diverge positivamete + ) arcta + d B) coverge ) diverge egativamete D) o esiste B ) π Domada 8 La fuzioe f :, + ) R defiita da f) ta + ) ) ha u asitoto obliquo B) o è itata iferiormete ) ha u asitoto orizzotale e uo verticale D) ha miimo assoluto Domada 9 La successioe a + e cos ) diverge positivamete B) ha ite fiito ) o ha ite e o è itata D) o ha ite ma è itata Domada log ) si ) B) + ) D)

5 Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio ogome) Nome) Numero di matricola) Esercizio Studiare la fuzioe f) + ) determiadoe isieme di defiizioe, asitoti, estremi superiore e iferiore o massimo e miimo), puti di massimo o di miimo locali e itervalli di covessità. Soluzioe La fuzioe è defiita per ogi. strettamete positivi. Valutiamo i iti. Osserviamo subito che la fuzioe assume solo valori f) f) + f). + La fuzioe preseta quidi u asitoto orizzotale di equazioe y per che tede sia a + che a. Ioltre abbiamo u asitoto verticale di equazioe. Vediamo ora gli itervalli di mootoia calcolado la derivata prima. f ) ) + ) ) ) 4 + ) ). Il umeratore cambia sego per e il deomiatore per. Ne segue che f ) > ), f ) <, ), + ). La fuzioe è quidi decrescete ella semiretta, ], crescete ell itervallo [, ) e di uovo decrescete ella semiretta, + ). Il puto è quidi di miimo locale. No vi soo altri puti di massimo o miimo locali, i quato la fuzioe è derivabile i tutto il suo isieme di defiizioe e la derivata prima o si aulla i altri puti. Dato che la fuzioe è decrescete i, + ) e che f), si ottiee subito che f) per ogi >. Valutado f el puto + di miimo locale si ottiee che f ) <

6 quidi il puto è di miimo assoluto. L estremo superiore di f è + e il miimo è 5. Per valutare la covessità calcoliamo la derivata secoda. Risulta quidi che f ) ) + ) ) ) 6 + ) 4. f ) > >, f ) < <. Ne segue che f è cocava ella semiretta, ], covessa sull itervallo [, ) e sulla semiretta, + ). Il puto è di flesso. Esercizio alcolare l itegrale e log + e + e ) + e d. Soluzioe Eseguedo la sostituzioe t + e, co dt d e e osservado che + e + e + e ), si ottiee e log + e + e ) + e d +e logt ) t dt +e log t t dt [ log t) ] +e log+e )) log ). Esercizio Solo I ao) Studiare la covergeza semplice ed assoluta della serie dove il simbolo idica la parte itera. ) / log + ) Soluzioe Idichiamo co a il termie geerale della serie. Osserviamo che se è pari allora possiamo scrivere k co k N e risulta k k k k quidi a k. La serie quidi è composta solo dai termii di idice dispari cioè co k+, k N. I questo caso abbiamo k + a k+ k + ) k+ k+ logk + + ) ) k k+ logk + ) )k k / k logk + ) ) k logk + ).

7 Quidi dobbiamo valutare la covergeza della serie k ) k logk + ) che è ua serie a segi alterati, essedo > per ogi k N. Ioltre la successioe logk+) b k è decrescete, dato che il logaritmo è ua fuzioe crescete, e ifie b logk+) k. Per k il criterio di Leibiz la serie quidi coverge. Valutiamo ora la covergeza assoluta. e dalla disuguagliaza ) k logk + ) k k logk + ) k + k logk + ) applicado il criterio del cofroto e del cofroto asitotico otteiamo che la serie diverge. La serie data quidi è covergete ma o assolutamete covergete. Esercizio 4 Solo II ao) alcolare il ite )! Soluzioe Il ite si preseta ella forma idetermiata. Dato che la successioe è a termii positivi possiamo applicare il criterio del rapporto. a + a + )+) + ))! )! )! + ) + ) + )! ) + + ) + ) + ) + ) ) e 4 >. + ) + ) + ) Quidi il ite cercato vale +.