SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n

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1 SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergez che le segueti serie o covergoo: ) + = b) = c) ) = log + ) d) si =0 3. Utilizzado la serie geometrica, discutere il comportameto delle serie segueti e calcolare la somma. Determiare ioltre per quali valori del parametro α IR la somma delle serie b) e c) risulta =0 b) log α), α ]0, [ c) =0 = + α) 4. Utilizzado i criteri del rapporto, della radice, del cofroto e del cofroto asitotico, dire se le segueti serie a termii positivi) covergoo: c) e) g) i) =0 = = = 3 b) d)!) f) ) ) j) = h) = = =3 = = )!!)! log log ) / si k) = l) = m) = + ) ) =0 +

2 5. Utilizzado il criterio di Leibiz, discutere la covergeza semplice e assoluta delle segueti serie: ) si = b) ) + = + c) ) + 00 ) d) 3 + = ) log =3 e) cosπ) = 3 +3 f) ) + = g) ) si ) = h) ) 3 ) = 6. Utilizzado il criterio di MacLauri discutere il comportameto delle segueti serie: = log b) = log c) = log d) = a,a ]0,+ [ 7. Utilizzado il teorema di MacLauri provare che la seguete serie coverge e trovare u maggiorate e u miorate per la somma: +) = 8. Utilizzado il fatto che e = =0 )!, determiare e co u errore miore di Si cosiderio le serie: + = e b) ) e = Dopo aver dimostrato che covergoo, calcolare u approssimazioe delle rispettive somme a meo di 0 4.

3 SOLUZIONI degli esercizi sulle SERIE NUMERICHE. Applichiamo il metodo di risoluzioe delle serie telescopiche. Scompoiamo a = i fratti semplici): + + = +) = + Duque: come somma di due frazioi usiamo il metodo di decomposizioe S = a = 3 S =a +a = ) + 3 4) =+ 3 4 S 3 =a +a +a 3 = ) + 3 4) + 3 5) =+ 4 5 S 4 =a +a +a 3 +a 4 = ) + 3 4) + 3 5) + 4 6) = S =a +a +...+a =+ + + Poiché S = 3 la serie coverge e la somma è 3. b) a = + + = = + Duque S = a = S =a +a = ) + ) = 3 3 S 3 =a +a +a 3 = ) + )+ 3 ) = S =a +...+a = Poiché S = + la serie coverge e la sua somma è.

4 . Codizioe ecessaria ma o sufficiete) affiché la serie b) =0 a coverga è che a =0. a = ) +. Tale ite o esiste, duque o è zero. Pertato la serie o coverge. Duque c) Poiché = = e log log = ricordiamo che =0). a = 0 e la serie o coverge diverge a +, i quato è a termii positivi). log + ) = log =+ la serie o coverge diverge a +, perché IN, log ) + >0). d) Poiché o esiste si, la serie o coverge. 3. = = [ ) 3 ] + = 5 5) =0 ) ) =0 =0 Si tratta della somma di due serie geometriche etrambe covergeti la ragioe è miore di ). Duque la serie iiziale coverge alla somma delle due. ) S = = 5 =0 = 5 ) 3 3, S = = 5 = = 5. S = +3 =0 5 =S +S = = 5 6 b) Si tratta di ua serie geometrica di ragioe log α. Duque coverge se: log α < < log α< e <α<e. Per tali valori di α la somma della serie è S = log α) = =0 log α. Osserviamo che < log α< 0 < log α< < = S ; duque o log α esistoo valori di α per cui S = 3. c) E ua serie geometrica di ragioe +α +α, che coverge se e solo se : < < < α< α>0. +α Per tali valori di α la somma della serie Pertato la ostra somma vale S = S= 3 3 = α = =0 + α) è S = +α + α) = + α) α = α. =0 α = 3 valore di α accettabile). = +α α =+ α.

5 4. Usiamo il criterio del rapporto. a + a +) 3 = 3 + = +) 3 = 3 <. Duque la serie coverge. b) Usiamo il criterio del rapporto. a + a [ + )]!!) = [ + )!] )! = + )! )! + ) + ))! = )! Duque la serie diverge.!! + )! + )! = +) = ) =4 >. c) Usiamo il criterio della radice. ) ) a = = =0 <. Pertato la serie coverge. d) Usiamo il criterio del rapporto. a + a = = )! +) +! = ) = + +) +) ) = e <. +) = Duque la serie coverge. e) Usiamo il criterio del rapporto. + )!) +)!) = + )! + )!!! Pertato la serie coverge. f) Usiamo il criterio del cofroto. ++ = +) + =0 <. Poiché 3, log >,sihache log >. Duque la ostra serie è ua maggiorate di ua serie divergete, e pertato diverge. g) Usiamo il criterio della radice. a = ) ) Duque la serie coverge. h) Usiamo il criterio della radice. [ ] a = log ) Duque la serie coverge. = = e ) < = log ) = =0 < log

6 i) Usiamo il criterio della radice. ) a = =0<. Ifatti Pertato la serie coverge. = e log = e 0 =). j) Usiamo il criterio del cofroto. Poiché si si. Ricordado che la serie IN),si ha: = serie covergete, e duque coverge. k) Usiamo il criterio del cofroto asitotico. Osserviamo che per, Poiché = 3 l) Usiamo il criterio del cofroto. Poiché >,siha è covergete, la ostra serie risulta essere ua miorate di ua coverge, ache la ostra serie coverge. >. Duque la serie Pertato ache = = è ua maggiorate della serie armoica diverge. =, che diverge. m) Usiamo il criterio del cofroto asitotico. Poiché, per, e poiché = 3 + ) = 3/ coverge, ache la ostra serie coverge. ) Usiamo il criterio del cofroto asitotico. Poiché per, + =,epoiché = diverge, ache = + diverge.

7 5. Posto a = si,siha a =0. La successioe si ) è decrescete. Ifatti, poiché 0 < < π ] ) e ft) = si t è crescete per t 0, π [,siha: <+ = + < = si + <si. Pertato si può applicare il criterio di Leibiz e cocludere che essa coverge semplicemete. No coverge ivece assolutamete, perché la serie si diverge: b) ifatti, per, si e la serie + =0 Poiché + + > +, si ha = ++ < è mootoa decrescete. Per il criterio di Leibiz, la serie ) = + Ivece o coverge assolutamete. Ifatti, essedo + <+, si ha + > i quato maggiorate di ua serie divergete. = diverge. + ; duque la successioe coverge semplicemete. ) + + ; duque la serie diverge, + ) + 00 ) + 00 c) La serie coverge : ifatti = <. = ) + 00 Pertato la serie ) coverge assolutamete e duque semplicemete. 3 + d) log =0 = La fuzioe logaritmo i base e è mootoa crescete. Quidi,, log +)>log, e duque per ), log +) < log. ) Pertato la successioe è strettamete decrescete. log Per il criterio di Leibiz, la serie =3 3 ) log =3 coverge. Ivece o coverge assolutamete; ifatti, 3, log < e duque log > ; pertato la serie diverge i quato maggiorate di ua serie divergete. log =

8 cosπ) e) = 3 = ) +3 = 3 +3 Poiché, per +, semplicemete)., la ostra serie coverge assolutamete e duque ache f) La serie = coverge. Duque la ostra serie coverge assolutamete e ache semplicemete. si ) g) La serie = si + 6 = 6. Poiché 6 = coverge, ache si ) coverge. = Pertato la ostra serie coverge assolutamete e duque ache semplicemete). coverge: ifatti, per, si 6 3 ; pertato h) 3 ) = 3 )=0 La fuzioe f) =3 è decrescete: ifatti f ) =3 ) l 3 < 0, IR. ) Pertato ache la successioe 3 è decrescete; duque per il criterio di Leibiz, ) 3 ) coverge semplicemete. = La serie ivece o coverge assolutamete. Utilizziamo il criterio del cofroto asitotico; per : 3 =e log 3 = log 3 ) + o log 3. log 3 Poiché la serie diverge, ache la ostra serie diverge assolutamete. = U altro modo per vedere che la serie o coverge assolutamete è l utilizzo del criterio del cofroto semplice; ricordado che IN, + ) < 3,siha: + ) < 3 + < 3 3 >. Pertato la serie 3 ) diverge, i quato maggiorate di ua serie divergete. =

9 6. Studiamo il comportameto della fuzioe ϕ) = +), per cui ϕ) =a ), sull itervallo I= [, + [. Tale fuzioe è positiva ed è decrescete su I; ifatti: ϕ ) = + 4l +) 3 ; si può provare che su I, 4 >+ e duque f ) < 0. Pertato si può applicare il teorema di MacLauri: log la serie +) coverge se e solo se coverge l itegrale improprio = Si può facilmete verificare che, IR +, <, e duque L itegrale d coverge perché, per +, +) +) < +) Pertato per il criterio del cofroto) coverge ache l itegrale improprio e quidi ache la ostra serie è covergete. +) d. +). 4 = 4 3/. +) d Ache se o è richiesto, calcoliamo l itegrale improprio; l itegrale idefiito risolto per parti) dà come risultato: l +) d = +) + l + +c Duque: +) d = b + +) d = log log. b) Studiamo sull itervallo I = [ 3, + [) la fuzioe: ϕ) = +)l, i quato ϕ) = + ) log = a. ϕ) è positiva e decrescete. [ ] Ifatti ϕ ) = 4l + + +) l < 0, se I. L itegrale improprio 3 d coverge ; ifatti : +)l I, l = l = +)l +. Poiché 3 d coverge, per il teorema del cofroto coverge ache + +)l d. 3 Duque, per il teorema di MacLauri, coverge ache la serie =3 + ) log.

10 c) Cosidero sull itervallo I=[, + [) la fuzioe ϕ) = Essa è positiva e decrescete; ifatti: ϕ ) = Calcolo ora l itegrale improprio: l d = b + l +) log. < 0 su I. [ ] b d = log =+ b + Duque l itegrale diverge e per il teorema di MacLauri) ache la serie d) ϕ) = ) è positiva e decrescete per. L itegrale improprio b l ) d = b + l ) d = Duque coverge ache la serie e) ϕ) = ) d coverge. Ifatti: [ ] b ) d = [ b + log ] = log b log = log ). è positiva e decrescete per. =+ log log b. L itegrale improprio d diverge. Ifatti: b d = [ ) / d = ] b = log b log b + Duque diverge ache la serie [ d = log b ] log =+ b + = log. = log diverge. f) Se a> = a a diverge perché Se a =, si ha la serie armoica che diverge. Per 0 <a<, cosidero la fuzioe L itegrale improprio improprio a a d coverge. Duque, se 0 <a<, la serie a =+ ). sui=[,+ [, dove è positiva e decrescete. d coverge perché, se >, si ha a <a = a coverge. e l itegrale

11 7. Poiché la fuzioe f) = è positiva e decrescete per > ) possiamo usare il teorema +) di MacLauri; studiamo pertato la covergeza dell itegrale improprio: [ ] b +) d = = b + +) 6 Duque la serie = +) coverge ad u umero fiito S e si ha la seguete diseguagliaza: f) d < S < a + f) d = 6 <S< Per ua serie a termii di sego altero covergete ad S si sa che il resto -esimo R = S S soddisfa la disuguagliaza: R = + ) j a j a + j=+ Vogliamo R < ; questo è sez altro verificato se : 00 + )! < + )! > Duque si commette u errore miore di e +! 3! + 4! = approssimado e co il valore 9. Applichiamo il criterio di MacLauri alla serie e. = La fuzioe ϕ) =e è positiva e decrescete su I= [, + [. Ioltre: [ e d = d = ] b b + e b + e = b + e ) e b = e Duque la serie e coverge ad u umero reale S esiha: 0<R =S S = f) d = e Sicuramete sarà: R < 0 4 e < b) Per la serie a termii di segi alteri R = S S <a +. ) e = covergete al umero reale S esiha: Duque si avrà u approssimazioe di S miore di 0 4 se: +)e +) < 0 4 3