Limiti di successioni

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1 Argometo 3s Limiti di successioi Ua successioe {a : N} è ua fuzioe defiita sull isieme N deiumeriaturaliavalori reali: essa verrà el seguito idicata più brevemeteco{a } a èdettotermie geerale della successioe Poiché l uico puto di accumulazioe di N è +, ha seso chiedersi se ua successioe ha ite ed evetualmete calcolarlo solo per + Particolarizzado la defiizioe vista i Argometo 3sidiceche: I la successioe {a } coverge al ite fiito a se per ogi umero reale ε > 0esisteuidice m N tale che per ogi >msi abbia a a < ε; I la successioe {a } diverge a+ se per ogi umero reale k>0 esiste u idice m N tale che per ogi >msi abbia a >k; I la successioe {a } diverge a se per ogi umero reale k<0 esiste u idice m N tale che per ogi >msi abbia a <k Nel primo caso si scriverà a = a oache{a } a; otazioi aaloghe vegoo adottate el caso della divergeza Esistoo ache successioi che o ammettoo ite (é fiito, éifiito): esse verrao dette irregolari Esempio 3s1 ½ 1 ¾ ½ ( 1) : N coverge al ite fiito e ¾ : N coverge al ite fiito 0; { : N} diverge a + e { : N} diverge a ; {( 1) : N} e {( ) : N} soo irregolari Rimadiamo a quato esposto ell Argometo 3 (o ai testi i uso ei sigoli corsi) per quel che riguarda cosiderazioi sull esisteza del ite,i teoremi sui iti(vedi teoremi 35 e 345 e successivi), le regole di calcolo e le corrispodeti forme idetermiate Circa i iti di successioi otteute applicado fuzioi elemetari, coviee ricordare i segueti iti, utili ache per operare cofroti di ifiiti e di ifiitesimi: + se α > 0 α = 1 se α =0 0 se α < 0 Se e deduce i particolare che + se a>1 a = 1 se a =1 0 se 0<a<1 ½ + se a>1 log a = se 0<a<1 α < β = α = 0 (tra due poteze di prevale quella di espoete maggiore), β 1

2 a a<b= =0 a, b (0, + ) (tra due espoeziali co espoete prevale quella b di base maggiore), metre log a log b =log a b a, b (0, 1) (1, + ) (due logaritmi di argometo vao all ifiito ello stesso modo ) Esempio 3s Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a = 5/ / 5/ / = = =1 5/ 5/ 1/ 1/ a I Due successioi {a } e {b } tali che = 1 soo dette asitotiche (e si scrive a b ): b ell esempio si è mostrato che 5/ /, e che l ifiito di 1000 risulta trascurabile rispetto a quello di 5/ Cofrotidiifiiti forma idetermiata Se gli ifiiti da cofrotare o soo dello stesso tipo, si tega presete che valgoo i segueti iti otevoli (1) l =0 seγ > 0 γ γ c =0 sec>1 cioè la successioe logaritmo (aturale) {l } e, se γ > 0ec>1, le successioi poteza { γ } ed espoeziale {c } divergoo tutte, ma il logaritmo l èuifiito di ordie iferiore rispetto alla poteza γ, la poteza γ èuifiito di ordie iferiore rispetto all espoeziale c Più i geerale, comuque si predao i umeri reali positivi α, β, γ, siha a =+ = (l (a ) α ) β (a ) γ =0 (a ) γ c a =0 sec>1 51 Esempio 3s3 Si ha ad esempio = 0 e quidi si può calcolare il ite della successioe di termie geerale a = come segue: = = =0 Più brevemete: vistoche 51 èuifiito di ordie iferiore rispetto a, el calcolo del ite trascuriamo l addedo 51 1) Si può verificare il secodo ite mediate il Criterio del rapporto Sia {a } uasuccessioeatermiipositivi Seesiste o egativo o + ) e 0 l<1 allora a +1 a = l (umero reale a =0 l>1 allora a =+ Tale criterio o può iveceessereapplicatoperverificare il primo ite, poiché iquestocasositrova l = 1

3 Esempio 3s4 Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a Teuto coto che (e 5 1) e 5 e 5 1 e( +1), si ha: +1 = e 5 =+ Esempio 3s5 Calcoliamo i iti delle successioi di termie geerale rispettivamete a = l (1 + ) e b = l ( 1) Osserviamo che a = l(1+) 1+ l (1 + ) l ( 1) 1 Osserviamo che b = 1 l ( 1) 1 : quidi : quidi a =0 b =0 Più semplicemete: osservare che l (1 + ) l = a l e applicare il ite otevole (aalogamete el secodo caso) Attezioe: perché il ite sia 0 o basta che al umeratore compaia u logaritmo e al deomiatore ua poteza positiva Ad esempio, il ite della successioe di termie geerale a = l (1 + e ) è,poiché(1+e ) e e quidi a l (e ) Cofrotidiifiitesimi forma idetermiata 0 0 Se gli ifiitesimi da cofrotare o soo dello stesso tipo (ad esempio o soo etrambi delle poteze), teere presete quato visto a proposito del cofroto di ifiiti, oché iseguetiiti otevoli: b =0 = si b b =1 = ta b b =1 1 cos b b = 1 Esempio 3s6 (05) rispetto a 4 15 = Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a = (05) / = 4 =0,vistoche3/ èuifiito di ordie iferiore Esempio 3s7 Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a = ta ( 5 ) 5 ta( 5 ) = ta( 5 ) = 5 5 Esempio 3s8 Calcoliamo il ite della successioe di termie geerale a = si( 1/ + 1/3 ) (3) 1/3 1/ Osserviamo che = 0 e quidi l ifiitesimo 1/3 1/ è trascurabile rispetto a 1/3 ; si( 1/ + 1/3 ) si( 1/3 ) quidi = (3) 1/3 3 1/3 = 3 3 1/3 Altri iti otevoli, utili el cofroto di ifiitesimi, soo i iti 3), 4), 5) della lista che segue 3

4 Limite di Nepero e sue cosegueze Il ite di Nepero 1+ 1 asce da ua successioe che preseta la forma idetermiata [1 ]esiutilizzapertrovareiitidi successioi che presetio la stessa forma idetermiata o forme a questa collegate I particolare qualuque sia il umero reale γ, 1) a =+ (o ) = 1+ γ a γ a ) b =0 = (1 + b ) 1 b 3) b l (1 + b ) =0 = =1 b 4) b e b 1 =0 = =1 b 5) b (1 + b ) γ 1 =0 = = γ b Esempio 3s9 Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a = +1 = 1+ = Si vede che si può, più semplicemete, teer coto del fatto che ( 1) e quidi risolvere come +1 segue: = 1+ = Esempio 3s10 + l + Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a = l l 1+ = = Esempio 3s11 Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a = 1 e 1 1 e 3 1 = 1 e =

5 Forma idetermiata [ ] Se è possibile si cerca di evideziare quale dei due ifiiti ha ordie superiore Esempio 3s1 Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a = 3 + Osserviamo che = 3/ èifiito di ordie superiore rispetto a Quidi a = 3 + =+ Se l ordie di ifiito è lo stesso, si cerca di ricodurre questa forma idetermiata ad altre (ad esempio a ) Illustriamo come comportarsi i tre casi particolari: el primo si utilizza il prodotto otevole (a b)(a + b) =a b, egli altri ua proprietà dei logaritmi Esempio 3s13 Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a = + Osserviamo che a = + = ( + )( + + ) + + a = + = =1 = Quidi Esempio 3s14 Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a =l(3 ) l (3 +1) Osserviamo che a =[l(3 ) l (3 +1)] = l Quidi a = ³ l 1 = 3 l =l 3 +1 =0 =l Esempio 3s15 Calcoliamo il ite della successioe avete termie geerale a =l(e 1) e Osserviamo che a = l(e 1) = l(e 1) l e 1 = l Quidi a = l ( e )=l e = l( e ) 5