Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

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1 Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 > /3, ovvero > /9. Questa codizioe comprede ache la codizioe > 0 che defiisce il domiio di log3). Duque il domiio è /9, + ).. Determiare il domiio della fuzioe f) = e log ) +. La fuzioe e è defiita per ogi valore di, quidi basta esamiare il domiio di log ) +, che è defita quado log ) + 0, ovvero /, ovvero Duque il domiio è + 0, ovvero +. [, + ]. 3. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 4) log9 ). Devoo essere soddisfatte cotemporaeamete le codizioi 4 > 0 9 > 0 log9 ) 0 ovvero 9, che si scrivoo equivaletemete > 4 ovvero < oppure > < 9 ovvero 3 < < 3 8 ovvero oppure. Duque, deve essere 3 < < oppure < < 3 e cotemporaeamete ±. Come uioe di itervalli, il domiio di f si scrive domf = 3, ), ), ), 3). 4. Determiare il domiio della fuzioe f) = log si ). Deve essere log si ) 0, ovvero si, ovvero si 0. Questo accade per tutti gli itervalli della forma [k )π, kπ] co k itero per esempio per [ π.0] k = 0), [π, π] k = ), etc.). Duque il domiio è l uioe ifiita) di tutti questi isiemi domf = [k )π, kπ] = : k Z : k )π k}. k Z 5. Determiare se esistoo) ma/mi, sup/if della fuzioe f) = 4 sulla semiretta, log 3]. La fuzioe 4 è strettamete crescete e defiita su u itervallo. Dato che l itervallo è chiuso superiormete, esiste il massimo che quidi è ache il sup) ed è uguale al valore della fuzioe i log 3, ovvero 4 log 3 = log 3 = log 9 = 9.

2 Dato che l itervallo è aperto iferiormete, o esiste il miimo di f. È facile covicersi che l if è 0, ricordadosi il grafico di 4 otare che 4 > 0 per ogi e quidi if f 0). Questo ragioameto diveterà parte di ua regola geerale quado si tratterao i iti. 6. Determiare se esistoo) ma/mi, sup/if della fuzioe f) = log + log + sull isieme R : }. Dobbiamo calcolare gli estremi dell isieme log + log + : } = y + y + : y = log, } = z + z + : z 0}. Questo isieme è uguale a [, + ). Questo si può vedere esamiado il grafico oto della parabola y = + +, o otado che su [0, + ) la fuzioe g) = + + è strettamete crescete è somma di fuzioi strettamete cresceti) e o è superiormete itata. Duque mi f =, supf = +. π ) 7. Determiare se esistoo) ma/mi, sup/if della fuzioe f) = cos +. Il domiio della fuzioe è tutto R. Dobbiamo calcolare gli estremi dell isieme π ) } π ) } cos + : R = cos : y R : y = cosz : z R : 0 < z π } y abbiamo cambiato variabili: y = + e quidi y [, + )) e z = π/y e quidi z 0, π/]). Duque bisoga trovare gli estremi della fuzioe coseo su 0, π/]. Ricordado il grafico del coseo si ha quidi sup f = mi f = 0, e o esiste maf. Notare che cos è strettamete crescete i 0, π/], e usado questa iformazioe si ha u altro modo per calcolarsi gli estremi. 8. Determiare il domiio e se esistoo) ma/mi, sup/if della fuzioe f) = Il domiio della fuzioe è R; cos, }} = R : kπ k Z}. Nel domiio si ha cos [0, ), e quidi cos 0, ]. Duque e quidi } } cos) : cos, } = y : y 0, ] = [, + ), mi f =, Notare che si può ache scrivere f) = questa forma. supf = +. cos).. L esercizio o viee semplificato sesibilmete i si )

3 Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare se esistoo) massimo e miimo della fuzioe ell itervallo [, ]. L immagie di f è f) = 3 se Z 3 6 se Z, Imf) = 3 6 :, ) \, 0, }} 3 : 0, ±, ±}. 3 6 :, ) \, 0, }} = 6, 6) \ 3} = 6, 3) 3, 6), 3 : 0, ±, ±} = 0, ±, ±4}, e quidi Imf) = 6, 3) 3, 6). Duque f o ha e miimo e massimo.. Determiare se esistoo) massimo e miimo della fuzioe ell itervallo [, ]. L immagie di f è f) = + se Z se Z, Imf) = :, ) \, 0, }} + : 0, ±, ±}. :, ) \, 0, }} = 0, ) + : 0, ±, ±} =,, 5, 0}, e quidi Imf) = 0, ), 5, 0}. Duque f o ha e miimo e ma f = Determiare se esistoo) massimo e miimo della fuzioe f) = se Z se Z, ell itervallo [, ]. L immagie di f è Imf) = :, ) \, 0, }} : 0, ±, ±}. :, ) \, 0, }} = 0, ) \ } : 0, ±, ±} =, 0, 3, 8}, 3

4 e quidi Imf) = [0, ), ), 3, 8}. Duque mif = e maf = Determiare se esiste) mi e ) } log 5) : N, 6. Notiamo che la successioe è o egativa, e per = 6 il termie della successioe è 0, quidi il miimo è Calcolare log + si ) log + cos). e Dato che il ite è uguale al 6. Calcolare log + si) = log + si )) log + cos) = log log + cos ) + cos )) = log + log + si ) = log + log + cos = log + si ) = log = 0, log log ) = log log) =. + ) arcta si +. ). + ) 5 5 = , quidi, raccogliedo 4 e semplificado si ottiee ) arcta 4 ) 4 = si Calcolare ) ). + 5 Notare che m = /4) e m = /5) + 4 ) 3 = m + ) m = e m + 5 ) = m + 0m = e m) 0, quidi il ite vale e /e 0 = e. 8. Calcolare ) + +. Moltiplicado umeratore e deomiatore per ) il ite diveta = + =

5 Foglio di esercizi N. 3 - soluzioi. Dire quali soo i possibili iti delle sottosuccessioi della successioe Per pari a = iti soo e e e. a = ). + ) + ) che tede a e. Per pari a = ) che tede a e = e. Duque i. Dire quali soo i possibili iti delle sottosuccessioi della successioe π ) a = cos si π ) 4 Esamiado i termii della successioe, per la periodicità di si e cos, si ha che a +8 = a, ovvero i termii si ripetoo uguali dopo 8 idici. Quidi le possibili sottosuccessioi covergeti devoo tedere ad uo dei valori a 0, a,...,a 7, che soo 0,,, ±, ±. 3. Calcolare 0 silog + 4)) ta4 log + )). Usado il fatto che siy = y + oy), log + 4) = 4 + o) tay = y + oy) e log + ) = + o), si ottiee silog + 4)) 4 + o) = ta4 log + )) 4 + o)) = + o), ovvero il ite è. 4. Calcolare 3 + ) ). Ricordado che e y = y + oy) si ha c = 3 o 9) + c) = e logc+) = log c + o) e duque ovvero il ite è / 5. Calcolare 3 + ) log 3 + o) 9 + ) = log 9 + o) = + o), + 3) + +si. Dato che + 3) +si = + 3 ) si = + 3 ) si. + ) 3 e 3, dobbiamo calcolare + si. 5

6 Ma questo ite o esiste perchè quado si = si ha si = / che tede a 0, metre quado si = si ha si = che tede a Calcolare ) /. Scriviamo + + ) / = e log++). quidi il ite è e = e. 7. Dire per quali valori di α il ite è fiito. Scriviamo log + + ) = + + o + ) = + + o) = + o), + + ) 0 α + + ) = e log++) = log + + ) + o ) = + o ). Quidi il ite è uguale al ite che è fiito se e solo se α 0, ovvero α. 8. Dire per quale valori di a la fuzioe 0 α, si 3 se > 0 f) = a a + se 0 è cotiua. Deve essere ovvero f) = f), a = si a = + a) = a. 0 Duque a = 3, ovvero a = 3 o a = 3. Foglio N.4 - Soluzioi.. Il domiio di è, ]; il deomiatore si aulla solo i. Quidi la risposta esatta è A.. Ua successioe covergete è itata, quidi ache iferiormete itata. Quidi la risposta esatta è D. Le altre possoo essere false. 3. Dato che 4 << 3 << 4 il ite è uguale a 4 3 = 4 3 ) =. 6

7 Quidi la risposta esatta è B. 4. Dato che log + 3) = 3 + o) e = + + o), = o) e 3 = o) il ite è uguale a Quidi la risposta esatta è E. 5. Razioalizzado, si ha che il ite è uguale a Quidi la risposta esatta è C = = 5 3 = =. 6. Eiado le fuzioi che soo trascurabili, si ha che il ite è uguale a Quidi la risposta esatta è C. log 4 + log 5 = Il miimo di è per = 0 Z) metre il miimo di vale 0. Quidi il miimo è e la risposta esatta è D. 8. Cambiado variabile y = log l isieme diviee y y : y > 3}. Dato chela fuzioe y y è crescete e cotiua per y > 3, l estremo iferiore è assuto i 3 e vale 3. Quidi la risposta esatta è C. 9. Semplificado, il ite diveta la somma di iti Quidi la risposta esatta è E. + ) + + ) + + = + ) + + ) + = e Dato che siπ/) 0, bisoga solo esamiare la successioe ta + )π/4), che prede alterativamete i valori e. Quidi la risposta esatta è E.. Facedo ua divisioe di poliomi, si ha + + = + +, quidi possimao esamiare la sola fuzioe g) = + si Se l asitoto di g è y = m + q, il calcolo del coefficiete agolare m da + si =. Il termie q è determiato da Razioalizzado si ha il ite + si +. si + si = 7 si + o) = si,

8 che o esiste. Quidi la risposta esatta è E. A. La fuzioe f è decrescete per < /3 e crescete per > /3, quidi la successioe a è crescete per i termii co / < /3, ovvero > 3/, ovvero da = i poi. Per la mootoia, si ha mia : } = a = 4, supa : } = a = f0) = 4. Ioltre a =. Quidi mia } = 4 e o esiste massimo. B. Per esempio ma ci soo altre vie possibili) 0 + e e log + si) = e e 0 + si si log + si) =. Foglio di esercizi N. 5 - Soluzioi. Calcolare derivata destra e siistra della fuzioe f) = arcta ) i = 0. Sostituedo = 0 si ha arcta ) = arcta ) = π/4, quidi, i u itoro di = 0 si ha f) = arcta ). Quidi, per 0 si ha + 3 = + 3 se < 3 o > 0 3 se 3 0. Dato che f) = arcta 3 3 ) = arcta 6 ) = arcta ). D arcta ) = si ha sostituedo = 0) f 0) = 3. Per 0 + si ha f) = arcta ) = π/4 e f +0) = 0.. Calcolare derivata destra e siistra della fuzioe ), ) f) = 3 si π 4 cos i = π/. Per = π/ si ha 3 si π 4 cos = 3 siπ/) 4 cosπ/) = 3, quidi i u itoro di π/ si ha f) = 3 si π 4 cos e ioltre pi = π ; duque la fuzioe è uguale a f) = 3 siπ ) 4 cos, 8

9 che è derivabile e Sostituedo = π/ si ha f π/) = 4. f ) = 3 cosπ ) + 4 si. 3. Calcolare la retta tagete al grafico della fuzioe i = 6. f6) = 0 e f) = log arcta 6) f ) = log arcta 6) + arcta 6) + log + 6). Duque f 6) = 6 log 6. L equazioe della retta tagete è y = f6) + f 6) 6) = 6 log 6 log 6 6) = log Descrivere i puti di o-derivabilità di f) = La fuzioe si può scrivere come 0 se < 5 f) = + 0 se se 0 < 5 0 se > 5. Duque, si ha f 5) = f + 5) = 0, f + 5) = +, f 0) = / 0, f + 0) = / 0, f 5) =. Duque 5, 0 e 5 soo puti agolosi. 5. Calcolare se possibile) tramite la regola dell Hôpital ) cos )e + ). Cambiado variabile y = /, si ottiee il ite cosy + y)e y y 0 + y = H) = y 0 + siy + ye y y = H) = y cosy + y + )e y = Calcolare se possibile) tramite la regola dell Hôpital log + ) + log + 3 3) 9

10 log + ) + log + 3 = H) = 3) + Raccogliedo gli ifiiti di ordie maggiore il ite diviee =. / ) Calcolare se possibile) tramite la regola dell Hôpital log + + ) ta si I questo caso il calcolo è possibile ma risulta molto complicato. Si scosiglia quidi l uso della regola dell Hôpital. 8. Calcolare se possibile) tramite la regola dell Hôpital + loglog + si ) loglog 3 + cos) Il rapporto delle derivate risulta log +si + cos) log 3 +cos 3log si ) = log 3 + cos log + si il cui ite o esiste, e quidi o si ouò applicare la regola dell Hôpital. + cos 3log si, Foglio di esercizi N. 6 - Soluzioi. Determiare il poliomio di Taylor di ordie 4 e cetro 0 di f) = cos5 ta) cos5 si) e calcolare il ite coscos5 ta) cos5 si)) si 5 ) 6 ; e T 4 cosy = y + 4 y4, T 4 ta = + 3 3, quidi T 4 cos5 ta )) = T ) ) 4) Aalogamete, dato che = ) T 4 si = 6 3, 0

11 si ha T 4 cos5 si )) = T ) ) 4) Duque = ) T 4 cos5 ta) cos5 si)) = )4 = 5 4, e, ricordadosi che si 5 ) = o 4 ), il ite diviee 5 4 cos = 5 4 cos = Calcolare il poliomio di Taylor di cetro 0 e ordie 3 di f) = ; Calcoliamo il poliomio di Taylor T 3 + α) m ) usado la defiizioe. Abbiamo D + α) m = m + α) m α, D ) + α) m = m m ) + α) m α, quidi usado la formula per T 3 f) D 3) + α) m = m m ) m ) + α) m 3 α 3, T 3 + α) α m ) = + m + α I particolare α = 4 e m = 3) e α = 3 e m = 4) Ifie m m ) + α3 6 m m ) m )3. T ) = T 3 + 4) 3 ) = T 3 4 3) = T 3 3) 4 ) = T ) = 7 4 ) ) Calcolare il poliomio di Taylor di cetro 0 e ordie 5 della fuzioe f) = 3cos) + 6 log + 3 ). Dato che log + y) = y y +, si ha T 5 6 log + 3 )) = 6 3, metre Duque, si ha T 5 3cos)) = 3T 4 cos)) = 3 ) + 4 )4) = T 5 f =

12 4. Calcolare il poliomio di Taylor di cetro 0 e ordie di f) = e log + )cos e calcolare e log + )cos si. 0 + si ta Duque T e = + +, T log + ) =, cos =. T e log + )cos ) = T + + ) ) )) = T + + ) ) )) = T + ) )) = + ) = +. Ricordado che si = + o) e ta = + o), il ite diveta e log + )cos si = 0 + =. 5. Determiare gli itervalli dove la fuzioe f) = log è o decrescete. Chiamiamo La fuzioe f si può ache scrivere g) = log. Calcoliamo la derivata di g: f) = g) se < < 0 o > g) se < o 0 < <. g log ) = log. Il sego di g è quello di log, che è o egativo se e, ovvero e/. Dato che f ) = g ) se < < 0 o > g ) se < o 0 < <, si ha che f 0 egli itervalli e, ), 0, ), e/, + ). Gli itervalli i cui è o decrescete soo quelli coteuti i uo sei segueti) [ e, ), 0, ) e [ e, + ). 6. Determiare il più piccolo valore a tale che la fuzioe sia crescete i a, + ). f) = e log 5

13 Dato che la fuzioe o è defiita per = 5 deve essere a 5, per cui possiamo itarci a studiare la fuzioe La derivata di g è g) = e log 5). g ) = e log 5) + e log 5) 5 = e log 5)log 5) 5) + ) 5 I termii e e 5 soo positivi, metre si ha log 5) > 0 se e solo se 5 >, ovvero > 6. Studiamo il sego di h) = 5)log 5) + per > 5. La derivata di h è h ) = log 5) +, Duque h è decrescete i 5, 5+e ) e crescete i 5+e, + ), e il suo miimo vale h5+e ) = e, che è strettamete positivo. Duque h e sempre positiva, per cui g > 0 per > 6 e la risposta è a = Determiare gli itervalli i cui è crescete la fuzioe f) = 4 e /3. Studiamo quidi la fuzioe la cui derivata è f) = 4)e /3 se >, 4 )e /3 se. g) = 4)e /3, g ) = + 4) 3 )e /3 = 3 )e /3. g > 0 egli itervalli, 0) e, + ). Dato che f g ) = ) se >, g ) se, si ha f > 0 egli itervalli, ), 0, ) e, + ), i cui f è quidi crescete. 8. Calcolare la derivata secoda di f) = e 5 + 8) e determiare gli itervalli i cui è strettamete positiva. f ) = e 3 + 3), f ) = e ); duque f > 0 per < 0 e >.

14 Foglio di esercizi N. 7 - soluzioi. Determiare tutti gli estremi locali della fuzioe f) = se Z + se Z. La fuzioe f è defiita modificado la fuzioe g) = ei puti iteri. Esamiiamo prima la fuzioe g. Essa ha u uico puto di miimo relativo e assoluto). Dato che f o modifica g i 0 esso cotiua ad essere u puto di miimo relativo. Esamiiamo i restati puti iteri. Dove + < si avra u puto di miimo relativo. Dove + > si avra u puto di massimo relativo. Esamiado i grafici delle due fuzioi si coclude che 0,, soo puti di miimo relativo, i restati puti iteri soo di massimo relativo.. Determiare tutti gli estremi locali della fuzioe f) = 3 se Z 3 6 se Z. La fuzioe f è defiita modificado la fuzioe g) = 3 ei puti iteri. Esamiiamo prima la fuzioe g. Calcoladoe la derivata g ) = 3 ed esamiado la mootoia, si ha che /3 è u puto di miimo relativo, /3 è u puto di massimo relativo, Dato che f o modifica g i questi puti essi cotiuao ad essere puti di estremo relativo. Esamiiamo i puti iteri. Dove 3 6 < 3 si avra u puto di miimo relativo. Dove 3 6 < 3 si avra u puto di massimo relativo. La prima disequazioe è equivalete a < 0 ovvero ) + 3) < 0, ovvero è verificata per < 3 e per < <. I puti iteri che verificao queste codizioi soo, 0, e tutti i puti iteri miori o uguali a 4. La secoda disequazioe è verificata per 3 < < e per >. I puti iteri che verificao queste codizioi soo e tutti i puti iteri maggiori o uguali a. Duque, l isieme dei puti di miimo relativo di f è l isieme dei puti di massimo relativo di f è, 0, /3,, 4, 5, 6...};, /3,, 3, 4,...}. 3. Determiare tutti gli estremi locali della fuzioe f) = se Z se Z. Dal grafico delle fuzioi si ha che 0 ò puto di miimo relativo, tutti gli altri puti soo di massimo relativo.

15 4. Studiare la fuzioe e i seguito le fuzioi g) = arcta ) +, f) = arcta e h) = )arcta. La fuzioe ha domiio 0. Dato che g è dispari, basta studiarla per > 0. La sua derivata è g ) = + ), e quidi è egativa. Duque g è decrescete. Dato che 0 + g) = π, g) = 0, + si ha che g è positiva per > 0 e egativa per < 0). La fuzioe f è pari e verifica f) = 0, 0 f) =. ± Dato che f = g la fuzioe è strettamete crescete per > 0 e strettamete decrescete per < 0). La sua estesioe per cotiuità i 0 ha u puto agoloso co derivate f ±0) = ±π/. La fuzioe h) = arcta f) per > 0 = f) per < 0 è dispari ed è estedibile ad ua fuzioe derivabile i 0, co asitoti y = ± a ±. La fuzioe h) si ottiee da h) co u cambiameto di variabili che porta 0 i. 5. Determiare gli itervalli i cui è covessa/cocava la fuzioe e gli evetuali puti di flesso. La fuzioe vale f) = f) = log + ) + log 3 log + ) + log 3 se < o 4 log + ) log 3 se < < 3 o 3 < < 4. La derivata prima vale La derivata secoda vale f ) = se < < o > 4 3 se < < 3 o 3 < < f +) ) = 3) se < < o > 4 ) 8+) 3) se < < 3 o 3 < < 4, quidi f ) è egativa se < < o > 4 f ) è positiva se < < 3 o 3 < < 4,

16 e f è cocava i, ] e [4, + ) f è covessa i [, 3) e 3, 4]. La fuzioe o ha puti di flesso perchè o è derivabile ei puti i cui cambia di covessità. 6. Determiare tutti gli itervalli i cui è cocava f) = arcta π. La derivata di f è e la derivata secoda è f ) = f ) = + π) se > π + π) se < π, π) + π) ) π) se > π + π) ) se < π. Duque f è cocava sia i, π] che [π, + ), ma o è cocava egli itervalli che cotegoo π all itero perchè f ±π) = ±). 7. Determiare gli itervalli i cui è covessa/cocava la fuzioe f) = ) e gli evetuali puti di flesso. Cosideriamo g) = ) ). La sua derivata secoda è g ) = 6 4; quidi f ) = 6 4 se > 4 6 se <, f è cocava su, ] e su [/3, ], f è covessa su [, /3] e su [, + ]. L uico puto di flesso è /3. 8. Determiare gli itervalli i cui è covessa/cocava la fuzioe f) = ) ) 3). Per semplificare i calcoli effettuiamo la traslazioe z =, e studiamo gz) = z 3 z. g z) = 6z, e quidi g è cocava/covessa per z > 0/z < 0. Duque f è cocava/covessa per > / <.