Serie numeriche e serie di potenze

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1 Serie umeriche e serie di poteze Sommare u umero fiito di umeri reali è seza dubbio u operazioe che o può riservare molte sorprese Cosa succede però se e sommiamo u umero ifiito? Prima di dare delle defiizioi precise facciamo qualche piccolo esperimeto Se sommiamo i umeri iteri positivi otteiamo Se modifichiamo questa somma el seguete modo la risposta è meo baale Per trovarla abbiamo bisogo di osservare il comportameto delle somme parziali Notiamo che ua parte delle somme cresce verso + metre l altra descresce verso e duque il loro comportameto complessivo è idetermiato Se ivece sommiamo ifiiti zeri I quest ultimo caso il risultato dell operazioe di somma ifiita è u umero fiito C è u esempio più iteressate? È chiaro che se vogliamo avere la speraza di trovare ua dobbiamo almeo fare i modo che il termie che via via viee aggiuto teda a zero Cosideriamo per esempio la somma delle poteze positive di : Esiste il limite di questa somma e se esiste siamo i grado di calcolarlo? Nel corso di questo capitolo ci occuperemo proprio di questo geere di problemi Itato possiamo dare ua risposta i questo caso particolare utilizzado u ragioameto geometrico I u quadrato di lato vegoo via via ritagliati dei triagoli rettagoli le cui aree corrispodoo proprio ai termii della somma che stiamo esamiado

2 34 Roberto Tauraso - Aalisi Questi ifiiti triagoli esauriscoo la superficie del quadrato e duque la somma ifiita delle loro aree è uguale all area totale del quadrato ossia : Defiizioi e prime proprietà Precisiamo meglio il liguaggio che itediamo usare Data ua successioe di umeri reali {a } co 0,,,, la loro somma fio al termie N-esimo è detta somma parziale di ordie N s N a 0 + a + a + + a N Per evitare evetuali fraitedimeti + +? e redere la scrittura più comoda e sitetica, ua somma parziale si può scrivere ache i questo modo s N N dove è il simbolo di sommatoria e rappreseta u ciclo di somme di termii a co l idice itero che varia dal umero scritto i basso, 0, al umero scritto i alto, N La successioe delle somme parziali {s N } co 0,,, costituisce la serie dei termii a Determiare il carattere della serie sigifica studiare il limite della successioe delle somme parziali: I particolare avremo questi tre casi: lim s N N a a Carattere di ua serie L R la serie coverge co somma L a + o la serie diverge o esiste la serie è idetermiata

3 Serie umeriche e serie di poteze 35 Nel caso si debbao fare operazioi tra serie, dato che soo dei limiti, dovremo fare particolare attezioe Per esempio la seguete serie è evidetemete divergete a + : + Ora proviamo a fare la seguete operazioe Quidi sembra di poter cocludere che Questo imbarazzate risultato la somma di ifiiti umeri positivi è egativa! è dovuto al fatto che o ci siamo accorti della preseza di ua forma idetermiata + Le combiazioi lieari di serie si possoo però fare quado le serie i gioco soo covergeti: Siao la serie a e Liearità b due serie covergeti Allora coverge ache α a + β b dove α, β R Ioltre α a + β b α a + β b Cocludiamo questa sezioe co qualche utile osservazioe sul carattere di ua serie Itato è piuttosto semplice covicersi che la covergeza di ua serie dipede solo dalla coda dei termii che sommiamo: a coverge se e solo se a coverge, 0 dove 0 è u qualuque umero itero positivo Quidi al fie di determiare il carattere di ua serie si possoo trascurare i primi termii ache se questo potrebbe cambiare il valore della somma U primo semplice criterio per determiare se ua serie o coverge è quello di verificare se il termie geerico della serie o è ifiitesimo Ifatti, se la serie coverge, la successioe delle somme parziali s N coverge ad u limite fiito S e Quidi possiamo dire che a N s N s N S S 0

4 36 Roberto Tauraso - Aalisi Criterio di o covergeza Se a 0 allora la serie a o è covergete Vedremo elle prossime sezioi che questa codizioe è solo ecessaria e o sufficiete ossia esistoo esempi di serie che o covergoo ma il cui termie geerico è ifiitesimo La serie geometrica La serie geometrica di ragioe x R è la serie delle poteze itere di x: x Per determiare il carattere di questo particolare tipo di serie dobbiamo studiare le somme parziali N s N + x + + x N x Se x allora s N N + e quidi per N la serie diverge a + Se x, otiamo che se moltiplichiamo s N per x otteiamo x + x + + x N x + + x N + x N+ + x + + x N e semplificado i termii opposti si ha che Quidi se x x + x + + x N x N+ s N N x xn+ x A questo puto il calcolo del limite per N diveta più semplice perché basta studiare il comportameto del termie x N+ Dato che lim N xn+ + se x > 0 se x < o esiste se x la risposta completa al problema della determiazioe del carattere di ua serie geometrica è la seguete

5 Serie umeriche e serie di poteze 37 Serie geometrica + se x x se x < x o esiste se x Si oti che se x < e l idice iiziale è 0 0 allora 0 x x 0 0 x 0 x 0 k0 x k x 0 x dove el peultimo passaggio abbiamo sostituito l idice della sommatoria poedo k 0 Esempio La serie di cui abbiamo parlato ell itroduzioe è proprio la serie geometrica di ragioe x co la sola differeza che i questo caso la somma parte dall idice e o da 0: Dato che < la serie coverge e per determiare la somma basta osservare che e ritroviamo così il risultato che avevamo prima dedotto co u ragioameto geometrico Esempio A quale umero razioale corrispode ? Dato che < allora

6 38 Roberto Tauraso - Aalisi Quidi Esempio 3 Calcolare 3 + Cerchiamo di ricodurre questa serie ad ua serie geometrica otado che : Il umero moltiplica ogi termie della serie e duque può essere raccolto fuori dal 3 sego di sommatoria: A questo puto la serie da determiare è la serie geometrica di ragioe 9 modulo è miore di co l idice che parte da : il cui Esempio 4 Cosideriamo u segmeto di lughezza passo 0 e icolliamo al cetro u triagolo equilatero di lato passo Al passo successivo aggiugiamo al 3 cetro di ciascu lato ora soo 4 u triagolo equilatero di lato passo 9 passo 0 passo passo Cotiuado idefiitamete questo procedimeto geeriamo ua figura geometrica dal bordo sempre più frastagliato

7 Serie umeriche e serie di poteze 39 Calcoliamo l area di questa figura Deotiamo co A N l area della figura al passo N così 3 3 A 0 0, A 36, A Ioltre ad ogi passo successivo il umero di triagoli aggiuti aumeta, rispetto al passo precedete, di u fattore 4 metre la loro area dimiuisce di u fattore 9 Ne segue che A N N N 4 9 e al limite A Provate a verificare che il limite del perimetro della figura tede ivece a + 3 Serie a termii o egativi Se i termii a di ua serie soo maggiori o uguali a zero allora lo studio del carattere della serie risulta essere i qualche modo piú semplice Notiamo ifatti che la successioe delle somme parziali i questo caso è crescete i quato s N+ s N + a N+ s N e duque, quado calcoliamo la somma della serie passado al limite, i possibili risultati soo solo due: la serie coverge ad u umero o egativo oppure la serie diverge a + La semplice osservazioe che le serie a termii o egativi o possoo essere idetermiate ci permette di euciare il primo criterio di covergeza Siao a e Criterio del cofroto b due serie tali che 0 a b per 0 Allora Se Se b coverge allora ache a coverge a + allora ache b +

8 40 Roberto Tauraso - Aalisi Cerchiamo di applicare questo criterio per dimostrare che la serie armoica diverge + Per farlo scriviamo i primi termii della somma e raggruppiamoli opportuamete Poi costruiamo ua uova serie che miori la serie armoica sostituedo ogi termie di ciascu gruppo co u umero più piccolo: } {{ 4} } {{ 8} } {{ 6} + < + + Quidi la serie miorate diverge e per il puto del criterio del cofroto ache la serie armoica diverge ache se il suo termie geerico è ifiitesimo! U altro ragioameto per cofroto si può fare per determiare il carattere della serie armoica geeralizzata α dove α R L evetuale covergeza dipede dall espoete: α è il valore critico oltre il quale la serie coverge: Serie armoica geeralizzata { coverge se α > α + se α Per verificare la divergeza el caso α < basta semplicemete osservare che per, α e quidi α Duque, per il criterio del cofroto, la divergeza di questa serie deriva dalla divergeza della serie armoica Per provare la covergeza el caso α > si può acora ricorrere acora al criterio del cofroto, imitado il ragioameto usato per la serie armoica Vediamo per esempio cosa succede per α :

9 Serie umeriche e serie di poteze } {{ } } {{ 4 } } {{ 8 } > Quidi o solo questa serie coverge, ma la sua somma è miore a U problema be più complicato è stabilire la somma esatta della serie di cui euciamo il risultato seza dimostrazioe π 6 Per quato riguarda il caso geerale ci limitiamo a dare solo u idea della dimostrazioe attraverso u immagie geometrica 3 α 3 α 3 α α + α + 4 α + 8 α + 7 α 6 α 5 α 4 α / α I termii della serie armoica geeralizzata corrispodoo alle aree dei rettagoli ombreggiati Tali rettagoli vegoo icasellati a gruppi di poteze di due all itero di u rettagolo di altezza e base uguale alla somma della serie geometrica di ragioe / α Se α > allora / α < e la serie geometrica coverge Possiamo così cocludere che l area del rettagolo coteitore è fiita e duque è fiita ache la somma ifiita dei rettagoli coteuti U risultato di covergeza più geerale del precedete che ci capiterà di utilizzare è il seguete: Serie armoica geeralizzata II α log β { coverge se α > oppure se α e β > + se α < oppure se α e β

10 4 Roberto Tauraso - Aalisi L aalisi che abbiamo compiuto per queste serie è stata piuttosto faticosa, e per cotiuare co esempi più complicati abbiamo bisogo di altri criteri di covergeza che siao più facili da usare Comiciamo co il criterio del cofroto asitotico Siao a e Criterio del cofroto asitotico b due serie tali che a 0, b > 0 per 0 e a lim L [0, + ] b Allora Se L 0 e b coverge allora ache Se L + e b + allora ache 3 Se 0 < L < + allora a coverge a + b coverge se e solo se a coverge Nel caso 3 le due serie si dicoo asitoticamete equivaleti Vediamoe subito qualche applicazioe Esempio 3 Determiare il carattere della serie Dopo aver verificato che la serie è a termii o egativi proviamo a fare u aalisi asitotica del termie geerico ossia a determiare il suo ordie di ifiitesimo /7 Quidi la serie i esame è asitoticamete equivalete alla serie armoica co α 9 7 > che coverge Duque per il criterio del cofroto asitotico ache la serie proposta coverge

11 Serie umeriche e serie di poteze 43 Esempio 3 Determiare il carattere della serie 3 cos La serie è a termii o egativi Ora facciamo l aalisi asitotica del termie geerico: ricordado che cosx x per x che tede a 0, si ha che 3 cos 3 4 Quidi la serie i esame è asitoticamete equivalete alla serie armoica co α che diverge Duque per il criterio del cofroto asitotico ache la serie proposta diverge Esempio 33 Determiare il carattere della serie al variare del parametro reale a log + 3! log! log a + 6 La serie è a termii o egativi e l aalisi asitotica del termie geerico ci da: log + 3! log! log a + 6 log + 3!/! log a + 6 log3 log a 3 log a Quidi la serie i esame è asitoticamete equivalete alla serie armoica geeralizzata co α e β a, duque per il criterio del cofroto asitotico la serie proposta coverge se e solo se β > ossia se a > Esempio 34 Calcoliamo la somma della serie + La serie è sez altro covergete perché equivale asitoticamete alla serie ma i questo caso siamo ache i grado di calcolare la somma Osserviamo che, + +

12 44 Roberto Tauraso - Aalisi e quidi la somma parziale s N è uguale a N N s N + + N N+ N + N N + dove ell ultimo passaggio si soo aullati tutti i termii opposti trae il primo della prima somma e l ultimo della secoda Ora che coosciamo ua formula esplicita per la somma parziale s N possiamo passare al limite per N otteedo così che la somma della serie data vale Vediamo altri due criteri di covergeza la cui dimostrazioe è basata sul cofroto co ua serie geometrica Sia Criterio del rapporto a ua serie tale che a > 0 per 0 e Allora Se L < allora Se L > allora a + lim a a coverge a + L [0, + ] Se L il criterio o dà ua risposta e la serie potrebbe sia covergere che divergere Esempio 35 Determiare il carattere della serie 3! Applichiamo il criterio del rapporto: a + 3+ / +! 3+! a 3 /! 3 +! Quidi il limite è miore di e la serie coverge

13 Serie umeriche e serie di poteze 45 Esempio 36 Determiare il carattere della serie Applichiamo il criterio del rapporto:! a + a +! +! e Dato che e <, la serie coverge Sia Criterio della radice a ua serie tale che a 0 per 0 e Allora Se L < allora Se L > allora lim a coverge a + a L [0, + ] Se L il criterio o dà ua risposta e la serie potrebbe sia covergere che divergere Esempio 37 Determiare il carattere della serie Applichiamo il criterio della radice: / 0 Il limite è miore di e quidi la serie coverge

14 46 Roberto Tauraso - Aalisi Notiamo che l applicazioe del criterio del rapporto o della radice alla serie armoica geeralizzata è iefficace perché i etrambi i casi il limite è qualuque sia il valore dell espoete α: / + α α e / α + α α si ricorda che Cocludiamo co u esempio dove si utilizza ua tecica mista Esempio 38 Determiare il carattere della serie cos Dopo aver osservato che la serie è a termii positivi 3 > cos per facciamo u aalisi asitotica cos 5 3 Quidi studiare la serie data è equivalete a studiare la serie 5 3 Questa diverge perché applicado il criterio della radice troviamo che > 3 4 Serie a termii di sego variabile Qui discuteremo due criteri che possoo aiutare lo studio della covergeza quado i termii della serie o hao sego costate Il primo prevede di studiare la serie a termii o egativi otteuta prededo i valori assoluti dei termii della serie data Criterio della covergeza assoluta Se a coverge allora ache a coverge

15 Serie umeriche e serie di poteze 47 Ache se o e diamo ua dimostrazioe, possiamo dire che se avessimo la libertà di modificare a piacere il sego di ogi termie, la serie dei valori assoluti rappreseterebbe il caso peggiore per avere la covergeza: i questo caso ifatti le somme crescoo adado i u uica direzioe metre se i segi soo variabili le somme si possoo compesare Esempio 4 Determiare il carattere della serie si log + Il sego dei termii è variabile per la preseza di si e la distribuzioe dei segi è piuttosto irregolare La serie dei valori assoluti è ioltre per cofroto 0 si log +, si log + log + log log La serie idividuata dai termii coverge serie armoica geeralizzata II co log α e β, e quidi coverge ache la serie dei valori assoluti Per il criterio appea euciato ache la serie data coverge Se la serie o è assolutamete covergete allora la determiazioe del carattere della serie può essere molto complicato Basti pesare che per queste serie modificare l ordie i cui vegoo sommati i termii può ifluezare la somma della serie stessa Comuque, el caso i cui i segi siao esattamete alterati vale il seguete criterio Criterio di Leibiz Sia a ua serie tale che a 0 per 0 e a tede a zero; a è decrescete ossia a a + per 0 Allora la serie coverge

16 48 Roberto Tauraso - Aalisi Vediamoe la dimostrazioe Dato che i termii a soo decresceti al crescere di e vegoo alterativamete sommati e sottratti, le somme parziali oscillao sull asse reale el seguete modo s 0 a 0, s s 0 a, s s + a, s 3 s a 3, l l 0 s s 3 s s 0 I particolare si può facilmete osservare che le somme parziali di idice pari s N decrescoo metre quelle di idice dispari s N+ crescoo s N s N a N a N s N, s N+ s N + a N+ + a N s N Ioltre siccome s s N+ s N a N+ s N s 0 possiamo dire che la successioe di idice pari s N tede ad u limite l 0 metre la successioe di idice dispari tede ad u limite l : s N+ l l 0 s N Per dimostrare che la serie coverge basta verificare che questi due limiti l e l soo uguali Dalla relazioe s N+ s N + a N+ passado al limite e ricordado che la successioe a è ifiitesima si ottiee proprio che l l e il valore comue è proprio la somma della serie Esempio 4 Determiare il carattere della serie Se prediamo la serie dei valori assoluti la serie diveta la serie armoica che è divergete Quidi il criterio della covergeza assoluta o ci dà alcua iformazioe utile Se applichiamo ivece il criterio di Leibiz otteiamo facilmete la covergeza della serie data perché decresce e tede a 0

17 Serie umeriche e serie di poteze 49 I seguito vedremo che la somma di questa serie è uguale a log : log 6 È sorpredete otare che se i questa serie cambiamo l ordie i cui i termii vegoo sommati possiamo otteere ua serie che coverge ad ua somma diversa! Per esempio, si può dimostrare che questo feomeo accade se si alterao due termii di idice dispari e uo di idice pari: log Esempio 43 Determiare il carattere della serie cosπ + log Itato osserviamo che cosπ e poi verifichiamo se la serie coverge assolutamete + log + log log Per quato detto questa serie diverge e duque la serie data o coverge assolutamete Dato che la serie è a segi alteri, proviamo allora ad applicare il criterio di Leibiz: decresce e tede a 0 + log e quidi la serie data coverge Esempio 44 Determiare il carattere della seguete serie per α > 0 log + I termii della serie soo a segi alteri e covergoo a zero, ma log + o covergoo a zero i modo decrescete Quidi o possiamo utilizzare direttamete il criterio di Leibiz Se lo facessimo dovremmo cocludere erroeamete che la serie coverge per ogi α > 0 Dato che log + α α α α

18 50 Roberto Tauraso - Aalisi arriveremmo alla stessa coclusioe sbagliata se usassimo criterio del cofroto asitotico applicabile alle serie co i termii di sego costate Vediamo come si puó determiare la risposta corretta Dato che il termie / α tede a 0 allora log + + o La serie a segi alteri α α α α α + o coverge per il criterio di Leibiz La serie a sego defiitivamete costate egativo è asitoticamete equivalete alla serie α + o α α α che coverge se e solo se α > / Quidi la serie log + α coverge se e solo se α > / α + α α + o α α 5 Serie di poteze Fio a questo mometo abbiamo cosiderato serie umeriche ossia somme ifiite di umeri reali, qui ivece parleremo di uo degli esempi più importati di serie di fuzioi: le serie di poteze I realtà e abbiamo già icotrato u esempio ossia la serie geometrica di ragioe x: x I particolare abbiamo visto che se viee assegato u certo umero x la serie corrispodete coverge ad u umero fiito solo se x < Questo risultato può essere riletto el seguete modo: la serie i questioe defiisce ua fuzioe della variabile x il cui domiio D è l isieme i cui la serie coverge, ossia l itervallo aperto di cetro 0

19 Serie umeriche e serie di poteze 5 e raggio : D, Le serie di poteze soo u estesioe della serie geometrica: le poteze soo cetrate i u geerico puto x 0 R e la poteza -esima viee moltiplicata per u coefficiete reale a : a x x 0 Ache i questo caso si poe iazi tutto il problema della determiazioe del domiio di questa uova fuzioe Si verifica che il domiio è acora u itervallo cetrato i x 0 di u certo raggio R detto di covergeza Il calcolo di tale raggio si può effettuare el seguete modo Raggio di covergeza Data la serie di poteze a x x 0 Se lim a + a L [0, + ] allora R /L Se lim a L [0, + ] allora R /L La dimostrazioe el primo caso è ua semplice applicazioe del criterio del rapporto alla serie dei valori assoluti a x x 0 Ifatti calcolado il limite per che tede a del rapporto tra due termii successivi si ottiee a + x x 0 + a + x x a x x 0 0 L x x 0 a Quidi si ha la covergeza assoluta se L x x 0 <, ossia se x x 0 < L R se L + si poe R 0, metre se L 0 si poe R + La serie ivece o coverge se L x x 0 >, ossia se x x 0 > L R I modo simile applicado il criterio della radice si ottiee il secodo caso La determiazioe del raggio di covergeza, come suggerisce la dimostrazioe precedete, o dà alcua iformazioe sul carattere della serie agli estremi del domiio quado x x 0 R ossia quado L x x 0 Per dare ua risposta i questi casi basterà studiare le serie umeriche corrispodeti sostituedo a x i valori x 0 + R e x 0 R

20 5 Roberto Tauraso - Aalisi Esempio 5 Cosideriamo la serie x Calcoliamo il raggio di covergeza utilizzado per esempio la formula co il rapporto: a + lim lim a + + quidi il raggio di covergeza è e il domiio di covergeza D cotiee l itervallo aperto di cetro x 0 e raggio R ossia l itervallo, 3 Vediamo che cosa succede egli estremi e 3: Se x allora x e la serie diveta x che coverge per il criterio di Leibiz e quidi D Se x 3 allora x e la serie diveta x, che diverge a + e quidi 3 D Il domiio di covergeza è D [, 3 Esempio 5 Cosideriamo la serie x Calcoliamo il raggio di covergeza utilizzado la formula co la radice -sima: lim, lim lim 9 9 quidi il raggio di covergeza è Il domiio di covergeza D, duque, cotiee 9 l itervallo aperto di cetro x 0 0 e raggio R ossia l itervallo 9, Vediamo 9 9 cosa succede egli estremi e : 9 9 Se x allora la serie diveta che o coverge perché il termie della serie o tede a 0 Allo stesso modo la serie o coverge eache per x 9 Duque il domiio di covergeza è D 9, 9

21 Serie umeriche e serie di poteze 53 I alcui casi è possibile determiare ache la somma della serie Qui riassumiamo gli esempi più importati di serie di poteze per le quali la somma è ua fuzioe esplicita I questi casi le serie corrispodoo proprio agli sviluppi di Taylor della fuzioe rispetto ai loro cetri Ciò sigifica che per queste fuzioi lo sviluppo di Taylor o serve solo ad approssimare i valori della fuzioe vicio al cetro, ma su tutto il domiio della serie Ioltre vale la pea osservare che le cosiderazioi fatte per le serie di poteze reali si estedoo ache el campo complesso: il domiio della serie di poteze a z z 0 è questa volta u disco i C cetrato i z 0 e raggio R Rispetto al caso reale però l aalisi della covergeza ei puti del bordo del domiio è i geerale più complicata perché ci soo ifiiti puti da esamiare Nella seguete tabella soo elecate le pricipali serie di poteze e il loro domiio i C Pricipali serie di poteze z z per z D { z < } e z log + z si z cos z arcta z z! + z z + +! z! z+ + per z D C per z D { z, z } per z D C per z D C per z D { z, z ±i} Abbiamo già detto che le serie di poteze soo fuzioi defiite el loro domiio di covergeza Si può dimostrare che tali soo fuzioi molto regolari Soo ad esempio derivabili all itero del loro domiio e la loro derivata è acora ua serie

22 54 Roberto Tauraso - Aalisi di poteze co lo stesso cetro e raggio di covergeza della serie origiale e si può otteere semplicemete derivado termie a termie d a x x 0 d dx dx a x x 0 a x x 0 Ritorado alla tabella precedete ad esempio possiamo otare che d log + z d +z +z dz dz z z + z che è il risultato che si otterrebbe derivado direttamete la fuzioe log + z Esempio 53 Calcoliamo la somma della serie i 3 Dato che i/3 /3 <, i/3 sta el domiio di covergeza della serie geometrica i questioe La somma vale i 3 i 3 Esempio 54 Calcoliamo la somma della serie + 5! i 3 i 3i 0 Dopo aver verificato la sua covergeza possiamo itato separare la serie i due parti + 5! + 6!! + 6! La prima serie può essere riscritta così!!

23 Serie umeriche e serie di poteze 55 questi due cicli sommao gli stessi umeri! Aalogamete la secoda serie diveta Quidi + 5!!! + 6!!! 7 Ora possiamo utilizzare la serie di poteze relativa a e z per z : 6! + 5! 7e 6 Esempio 55 Calcoliamo il domiio e la somma della serie di poteze reale x Si verifica facilmete che il domiio è l itervallo, Ioltre siccome x d d x x dx x dx possiamo cocludere che la somma della serie data è x x x x x Ovviamete questa formula vale solo all itero del domiio D,

24 56 Roberto Tauraso - Aalisi Esercizi Calcolare la somma della serie + 3 Calcolare la somma della serie Determiare la frazioe corrispodete al umero decimale 4 Calcolare la somma della serie Calcolare la somma della serie 6 Determiare il carattere della serie 3 si 7 Determiare il carattere della serie arctasi 8 Trovare il domiio di covergeza della serie e determiare la somma per x 4 9 Calcolare la somma della serie x x 3 6

25 Serie umeriche e serie di poteze 57 0 Calcolare la somma della serie Discutere la covergeza della serie + log a log + al variare del parametro a R Discutere la covergeza della serie log log a log! + al variare del parametro a R 3 Discutere la covergeza della serie e /5a cos/ a log log + log al variare del parametro a > 0 4 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze x 5 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze!! x 6 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze 3!! x 7 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze x Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze 4 + 5! + 6 +! x + 5! + 4 +!

26 58 Roberto Tauraso - Aalisi 9 Determiare il domiio della serie di poteze + x + 0 Determiare il carattere della serie + Calcolare la somma della serie Calcolare la somma della serie i 3 Determiare il domiio di covergeza della serie e log + x 4 Determiare il domiio di covergeza della serie di poteze + x Quato vale la somma se x appartiee a tale domiio? 5 Determiare il domiio di covergeza della serie 6 Calcolare la somma della serie log + x 7 Calcolare la somma della serie mi /3 + i e, 4e +!

27 Serie umeriche e serie di poteze 59 8 Calcolare la somma della serie 4 +! 9 Calcolare la somma della serie 3! +! 30 Determiare il domiio di covergeza e la somma della serie 3 Calcolare la somma della serie x + x cosπ/4 3 Calcolare la somma della serie + 5 3

28 60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: Si tratta di ua serie geometrica di ragioe 4 co l idice che parte da Dato che 9 4 < la serie è covergete e la somma vale: Calcolare la somma della serie R La serie può essere riscritta el modo seguete: Per la liearità possiamo scomporre la serie i due serie geometriche covergeti: Determiare la frazioe corrispodete al umero decimale R Basta scrivere il umero come somma di ua serie geometrica:

29 Serie umeriche e serie di poteze 6 4 Calcolare la somma della serie R La serie può essere riscritta el modo seguete Per il criterio di Leibiz, o solo possiamo dire che la serie coverge, ma possiamo ache applicare la liearità otteedo la scomposizioe La prima serie ha somma uguale a log La secoda serie può essere ricodotta alla prima aggiustado l idice della sommatoria: log + Quidi la somma della serie data è uguale a log + log + 5 Calcolare la somma della serie R Osserviamo che + + e quidi la somma parziale s N per N 3 diveta s N N N N N N N + N N + Passado al limite per N troviamo che la somma della serie data vale 3/

30 6 Roberto Tauraso - Aalisi 6 Determiare il carattere della serie 3 si R Ricordado che si x x 6 x3 + ox 3 per x che tede a 0 allora x si x x 3 6 Quidi, otado che la serie è a termii o egativi e poedo x / si ha che a 3 si 3 si 6 Dato che <, la serie coverge per il criterio della radice 6 7 Determiare il carattere della serie arctasi R Itato osserviamo che i termii o soo di sego costate il primo termie egativo si ha per 5 Notiamo ache che qualuque sia il valore di arctasi arcta[, ] [ π/4, π/4], e duque π arctasi 4 Questo vuol dire che la serie dei valori assoluti è maggiorata dalla serie geometrica covergete di ragioe 0 < π/4 < π 4 Duque, per il criterio del cofroto, la serie data coverge assolutamete e quidi è covergete

31 Serie umeriche e serie di poteze 63 8 Trovare il domiio di covergeza della serie e determiare la somma per x 4 x x R Se poiamo y x/x allora, ella variabile y, la serie diveta ua serie geometrica di ragioe y Questa coverge se e solo se y < e la somma vale y y y y y Quidi il domiio di covergeza della serie data è determiato dalla disuguagliaza x x < ossia x D, Per x si ha che y e la somma della serie è uguale a 9 Calcolare la somma della serie 3 6 R La serie data può essere riscritta el modo seguete: Quidi, per la liearità, la serie può essere decomposta ella differeza di due serie geometriche covergeti: Calcolare la somma della serie

32 64 Roberto Tauraso - Aalisi R La serie data può essere riscritta el modo seguete: 5 + Per la liearità, la serie può essere così decomposta ella differeza di due serie covergeti: Discutere la covergeza della serie + log a log + al variare del parametro a R log log 4 R I termii della serie soo o egativi e facedo u aalisi asitotica abbiamo che + log a log + a log a log La serie data è quidi asitoticamete equivalete a a log che coverge se e solo se α a > β serie data coverge per a > 4 Possiamo così cocludere che la Discutere la covergeza della serie al variare del parametro a R log log a log! + R Itato osserviamo che log log log log log 4 log +

33 Serie umeriche e serie di poteze 65 La serie data può essere quidi riscritta el modo seguete: log + a log! + I termii della serie soo o egativi e possiamo fare u aalisi asitotica ricordado che log + x x per x che tede a 0: log + a log! + a log a+3 log La serie data è quidi asitoticamete equivalete a a+3 log che coverge se e solo se α a + 3 β > Possiamo così cocludere che la serie data coverge per a 3 Discutere la covergeza della serie al variare del parametro a > 0 R Prima osserviamo che e /5a cos/ a log log + log log + log e log +loglog + e log log e e e /5a cos/ a + / 5a / 4a / 4a I termii della serie soo positivi e facedo l aalisi asitotica otteiamo e /5a cos/ a log log + log /4a log e log 4a log Duque la serie coverge se e solo se α 4a β > ossia per a /4

34 66 Roberto Tauraso - Aalisi 4 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze x R Facciamo l aalisi asitotica del coefficiete a Quidi il raggio di covergeza è uguale a 5/9 perché: a Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze R Aalizziamo il rapporto dei coefficieti a + a!! x +! +!!! Quidi il raggio di covergeza è uguale a 4 6 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze 3!! R Aalizziamo il rapporto dei coefficieti x a !! a +! 3! La prima frazioe tede a 3/4 metre la secoda si riduce a + / e quidi tede ad e Così il raggio di covergeza della serie è uguale a 4/3e

35 Serie umeriche e serie di poteze 67 7 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze x 4 + R Poiamo y x 4 Allora il raggio di covergeza della serie di poteze y + è dato dal reciproco del limite di a e + + ossia e Siccome y x 4, il raggio di covergeza della serie data è 4 e e 8 Calcolare il raggio di covergeza della serie di poteze 4 + 5! + 6 +! x + 5! + 4 +! R Calcoliamo il limite 6 +! + a + 5! 4 +! + + 5! 4 / + 6/ 4 4 / Quidi il raggio di covergeza della serie di poteze è e 4 + 4/ 3 3 e6/ e 4 e 4 9 Determiare il domiio della serie di poteze + x + R Itato osserviamo che perché l itero è pari se e solo è pari il suo quadrato provate a dimostrarlo Se calcoliamo ache la differeza delle radici, allora la serie data può essere riscritta el seguete modo: x +

36 68 Roberto Tauraso - Aalisi Dato che + +, il raggio di covergeza è uguale a e così, D [, ] Vediamo cosa succede agli estremi: per x la serie diveta + e quidi coverge per il criterio di Leibiz Per x la serie diveta + + Siccome il termie geerico di questa serie a termii positivi è asitoticamete equivalete a la serie o coverge Duque D, ] 0 Determiare il carattere della serie + R Si oti che il termie, a meo del fattore, è o egativo e ifiitesimo, ma o è decrescete duque o si può applicare il criterio di Leibiz Se provassimo ad applicare il cofroto asitotico ache a questa serie che ha sego variabile avremmo che + Ora siccome per il criterio di Leibiz la serie coverge allora saremmo tetati di dire che ache la serie data coverge Questa coclusioe è però sbagliata perchè i realtà la serie data diverge: ifatti la prima serie coverge per il criterio di Leibiz metre la secoda diverge

37 Serie umeriche e serie di poteze 69 Calcolare la somma della serie R Riscriviamo opportuamete il termie della serie: Ora dalla tabella delle serie di poteze si ricava facilmete che log + x + x x co x D, ] Quidi la serie i esame si ottiee poedo x log 34 log 4 log 4 Calcolare la somma della serie i R La serie data può essere riscritta el modo seguete: i Per la liearità, la serie può essere così decomposta ella differeza di due serie geometriche covergeti i/ < : i i i 3 Determiare il domiio di covergeza della serie e log + x + i 5

38 70 Roberto Tauraso - Aalisi R Poiamo y loge/ + x e studiamo la serie di poteze y Il raggio di covergeza è perché a Sia all estremo y che y la serie o coverge perché il termie geerico o coverge a zero Quidi la serie coverge se e solo se ossia e quidi < y loge/ + x log + x <, 0 < log + x < 0 < x < e Duque il domiio di covergeza della serie data è D e, e \ {0} 4 Determiare il domiio di covergeza della serie di poteze + x Quato vale la somma se x appartiee a tale domiio? R Si oti che { + se è pari 3 se è dispari Calcoliamo il limite della successioe a : ache se a oscilla tra i valori 3 e /3 la sua radice -sima tede a Ioltre ei puti x e x la serie o coverge perché il termie geerico o è ifiitesimo Quidi D, Se x < allora + x 3 x k + 3 k0 k0 x k+ dove la prima e la secoda serie idividuao la somma di tutti i termii rispettivamete di idice pari k e di idice dispari k + Ioltre queste due serie soo ricoducibili alla serie geometrica di ragioe x : per la prima x k k0 k0 x k x,

39 Serie umeriche e serie di poteze 7 metre per la secoda x k+ x k0 k0 Quidi la somma della serie data per x < è x k x x 3 x + 3 x x + 9x 3 x 5 Determiare il domiio di covergeza della serie log + x R Poiamo y x e studiamo la serie di poteze log + y Se aalizziamo il coefficiete a log + e quidi il raggio di covergeza è perché a All estremo y, la serie è asitoticamete equivalete alla serie armoica e duque diverge All altro estremo y ivece la serie coverge per il criterio di Leibiz perché log + decresce e tede a 0 Quidi la serie coverge se e solo se y x <, ossia 0 < x e il domiio di covergeza della serie data è D [, ] \ {0}

40 7 Roberto Tauraso - Aalisi 6 Calcolare la somma della serie /3 + i R La serie data può essere riscritta el modo seguete: 3 + i Per la liearità, la serie si decompoe ella differeza di due serie geometriche covergeti + i/ < : 3 + i 7 Calcolare la somma della serie 3 mi e, +i 4e +! i R Dato che se e solo se ossia per 0 e allora 4e mi e, +! e 4e e +! 0 e + 4e e 4e +! 3! e 4e! e 4e e 4e +! +! e 4

41 Serie umeriche e serie di poteze 73 8 Calcolare la somma della serie 4 +! R La serie può essere riscritta el modo seguete 4 + +! 4 + +! +! Dato che le serie relative ai due termii covergoo possiamo separarli otteedo 4! 4 +! 4! 5 9 Calcolare la somma della serie 3! +! R La serie si può riscrivere come ovvero 3 3!! 3! 3 +! 4! 4 3e 3 e 3 e Determiare il domiio di covergeza e la somma della serie R Poedo y x/ + x si osserva che x + x y y + y log y

42 74 Roberto Tauraso - Aalisi co domiio di covergeza [, rispetto a y Quidi il domiio rispetto a x è ossia D [ /, + e per x D si ha che x + x < x log x log log + x + x + x + x 3 Calcolare la somma della serie cosπ/4 R Notiamo che 4k per k 0 cosπ/4 / k + per k 0 0 4k + per k 0 Quidi cosπ/4 k0 + / 4k k+ 6 k Calcolare la somma della serie R Per liearità la serie si può spezzare i due parti Per quato riguarda la prima serie ricordiamo che per x < x x x

43 Serie umeriche e serie di poteze 75 e duque 3 La somma della secoda serie vale Ifie