DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

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1 DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA IN TERMINI PROBABILISTICI.

2 PROBLEMI INFERENZIALI STIMA E VERIFICA DELLE IPOTESI Il problema di ifereza può essere impostato i modi diversi: Stima sulla base dell evideza empirica si assega al parametro di iteresse: u valore (stima putuale) u isieme di valori (stima per itervallo) Test delle ipotesi si formulao ipotesi alterative sul valore del parametro di iteresse e si valuta quale `e maggiormete supportata dall evideza empirica

3 STIMA PUNTUALE Stima putuale Il parametro icogito viee stimato mediate u opportua fuzioe dei dati campioari, detta stimatore. Solitamete si usa: la media campioaria per stimare la media della popolazioe la variaza campioaria per stimare la variaza della popolazioe la frequeza relativa di successo per stimare la probabilità di successo

4 STIMATORE E STIMA La stima è il valore che lo stimatore assume el campioe osservato. Lo stimatore è ua v.c., la stima è ua costate. Metre siamo i grado di valutare la qualità dello stimatore i base alle sue caratteristiche ell uiverso dei campioi, o possiamo dire ulla della stima otteuta i corrispodeza del sigolo campioe osservato. No siamo i grado, sulla base della sola stima (u umero), di valutare l errore dovuto al campioameto.

5 GLI STIMATORI Def : ua statistica è ua qualuque fuzioe T = f (,, ) della v.c. (,, ) descritta dalla -upla campioaria ( x,,x ) Def : uo stimatore è ua statistica T le cui determiazioi servoo a forire delle stime del parametro igoto della v.c. i cui soo state effettuate le prove. Es.: Sia E u eveto di probabilità scoosciuta. Per stimare questa prob. vegoo effettuate = prove beroulliae che foriscoo i valori x e x. Allora la v.c. ( + ) è ua statistica, metre la v.c. : ( è uo stimatore i quato si pesa che le sue determiazioi diao stime di )

6 Proprietà degli STIMATORI Vediamo ora quali soo le proprietà che u geerico stimatore T = f (,, ) per u parametro icogito della v.c. deve possedere perché le sue stime siao affidabili. ) CORRETTEZZA Si dice che lo stimatore T = f (,, ) è corretto o o distorto per il parametro se la media di T coicide co qualuque sia il suo valore compreso ello spazio parametrico. Cioè: E( T ) =.

7 La stima forita da uo stimatore corretto può dirsi corretta i media. Se o vale la relazioe vista sopra allora lo stimatore è detto distorto, e la sua distorsioe rispetto a viee misurata dalla quatità: [ E(T ) ]. Se però al crescere di il valore di tede a 0, allora T viee detto stimatore asitoticamete corretto

8 Dimostriamo che lo stimatore proposto per la media è corretto : i i, i i i i E E E ) ( ) ( Poiché le margiali,, di (,, ) soo idetiche alla v.c., risulta: i i i E E ) ( ) ( Per cui lo stimatore è corretto per la media

9 Si può dimostrare ivece che lo stimatore proposto per la variaza o è corretto. Lo stimatore corretto è il seguete:, ) ( i i S Siccome si può sempre scrivere:, ) ( S S i i segue che: S E E S quidi lo stimatore è asitoticamete corretto per i quato: per S S E

10 ) CONSISTENZA Questa proprietà idica la capacità di T di forire stime migliori per al crescere della umerosità campioaria. Uo stimatore si dice cosistete per se: lim P T Se lo stimatore è corretto o asitoticamete corretto, u modo per verificare la cosisteza è quello di osservare il valore : E T Se per si verifica che 0 allora lo stimatore T è detto cosistete

11 3) EFFICIENZA Questa proprietà viee itrodotta per poter scegliere tra più stimatori corretti e cosisteti Esistoo diversi criteri per effettuare la scelta; il più usato è quelle che si basa sul criterio della variaza: fra più stimatori corretti e cosisteti per viee preferito quello co la variaza miore (cioè il più efficiete ). Se la v.c. è ormale (cioè ua v.c. simmetrica) (=> media mediaa x 0.5 ) si hao a disposizioe due stimatori idoei: lo stimatore Media campioaria e lo stimatore Mediaa campioaria 0.5. Per tali stimatori si ha: Var( Var( ) 0.5 ).57

12 Stima per itervallo Il parametro viee stimato mediate u itervallo (detto itervallo di cofideza) i cui estremi dipedoo dal campioe estratto (soo casuali). U itervallo di cofideza è quidi u isieme di valori plausibili per il parametro icogito sulla base dell evideza empirica. Se il campioe è rappresetativo (ovviamete è impossibile saperlo), allora l itervallo cotiee il valore del parametro da stimare.

13 Stima per itervallo Gli estremi dell itervallo vegoo idividuati i modo tale che la probabilità di estrarre u campioe che forisce u risultato corretto (leggi l itervallo cotiee il valore del parametro) sia fissata pari a α (livello di cofideza). Attezioe: il livello di cofideza rappreseta il grado di affidabilità della procedura, o il grado di affidabilità del risultato corrispodete al sigolo campioe estratto. Geeralmete si usa come livello di cofideza il 95% (α =5%).

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15 Stima per itervallo Esempio: si cosideri u processo idustriale di riempimeto di scatole di cereali e sia assuma che il peso delle scatole sia ~N(μ;5). Dato u campioe casuale di =5 scatole co peso medio 36.3 grammi si vuole costruire u itervallo di cofideza al 95% per μ. Per la proprietà della distribuzioe ormale e della media campioaria risulta che quidi u itervallo di cofideza all ( α)% per μ e dato da Nel caso specifico si ottiee 354. μ z z P z z

16 Osserviamo che per alcui campioi la stima per itervalli di μ e corretta, metre per altri o lo e. Stima per itervallo Ipotizziamo che μ sia uguale a 368. Per compredere a fodo il sigificato della stima per itervallo e le sue proprietà è utile fare riferimeto all ipotetico isieme di tutti i possibili campioi di ampiezza che è possibile otteere.

17 Stima per itervallo Nella pratica estraiamo u solo campioe e siccome o coosciamo la media della popolazioe o possiamo stabilire se le coclusioi a cui perveiamo soo corrette o meo. Tuttavia possiamo affermare di avere ua fiducia all ( α)% che la media appartega all itervallo stimato. Quidi, l itervallo di cofideza all ( α)% della media co σ oto si ottiee utilizzado l equazioe z z

18 Stima per itervallo I alcui casi risulta desiderabile u grado di certezza maggiore, ad es. del 99%, ed i altri casi possiamo accettare u grado miore di sicurezza, ad es. del 90%. Il valore Z α/ di Z che viee scelto per costruire u itervallo di cofideza e chiamato valore critico. A ciascu livello di cofideza ( α) corrispode u diverso valore critico. U livello di cofideza maggiore si ottiee quidi a prezzo di u ampliameto dell itervallo di cofideza otteuto: esiste u trade-off tra ampiezza e cofideza.

19 Verifica delle ipotesi Test Statistici I test statistici mettoo a disposizioe delle strategie per decidere se accettare o rifiutare u ipotesi (statistica). Il test è ua procedura ifereziale per valutare la coformità probabilistica tra u campioe e la popolazioe da cui si presume che il campioe sia stato estratto. Co u test statistico si vuole verificare se le differeze risultati tra il campioe e la popolazioe siao sigificative oppure siao dovute all errore campioario. Può essere utile sapere se u campioe proviee da ua certa popolazioe oppure se è ettamete diversa da questa. Per fare u test statistico, è ecessario prima defiire l ipotesi che dovrà essere verificata.

20 Verifica delle ipotesi Le IPOTESI predoo il ome di: H 0 : IPOTESI NULLA; quello che ci si aspetta che accada sulla base di quello che già si sa; è quella che riflette la situazioe precedete a quella del test. H : IPOTESI ALTERNATIVA; è quella cotro la quale si verifica l ipotesi ulla, quella che se viee accettata comporta i geere ua modifica dello stato esistete.

21 Verifica delle ipotesi Le ipotesi sul valore del parametro possoo essere: semplici: è specificato u solo valore (per es. μ = μ 0 ) composte: soo specificati più valori uidirezioali (per es. μ > μ 0 ) bidirezioali (per es. μ μ 0 ) L ipotesi ulla è solitamete semplice, metre l ipotesi alterativa è composta.

22 Il test Verifica delle ipotesi Sulla base dell evideza empirica derivate da u campioe di osservazioi si deve decidere se accettare o rifiutare H 0. Il test è ua regola di decisioe defiita a priori, che, per ogi possibile campioe, idica quale decisioe predere (se accettare o rifiutare). Il problema cosiste el costruire ua regola di decisioe ottimale, ossia che ci iduca quato più raramete possibile i errore.

23 La regola di decisioe Verifica delle ipotesi La regola di decisioe cosiste quidi el suddividere lo spazio campioario C i due regioi C 0 regioe di accettazioe C regioe di rifiuto i modo tale che, se il campioe estratto () è i C 0 l ipotesi ulla viee accettata, metre se il campioe cade i C essa viee rifiutata.

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26 Verifica delle ipotesi Gli errori del I tipo soo quelli più gravi da commettere. Ifatti, sapedo H 0 è quella che riflette la situazioe precedete l esecuzioe del test, quella che lascia le cose come stao o acora quella che descrive le cose che sembrao o dovrebbero essere cosiderate ormali, rifiutarla i favore di ua ipotesi alterativa che o è vera, può comportare la messa i pratica di iterveti che poi si possoo rivelare iutili, daosi o costosi. Metre accettare u ipotesi che è falsa (errore del II tipo), i geere lascia le cose come stao o modifica lo stato esistete.

27 COME FARE IL TEST Usualmete Verifica delle ipotesi. si fissa la probabilità dell errore di primo tipo α (livello di sigificatività);. si sceglie la regola di decisioe che, a parità di α, miimizza, la probabilità di commettere u errore del secodo tipo β; 3.Si estrae il campioe casuale e si calcola la statistica test; 4. Si cofrota la statistica test co la distribuzioe teorica e si decide se accettare o meo l ipotesi ulla

28 Verifica delle ipotesi POTENZA DEL TEST La poteza del test β è data da β = P( C H ) ossia è la capacità del test di idividuare l ipotesi alterativa quado è vera. β miimo β massimo Si ricerca quidi quella suddivisioe dello spazio campioario che rede massima la poteza del test.