ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA E STUDIO DELLE ASSOCIAZIONI

Transcript

1 ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA E STUDIO DELLE ASSOCIAZIONI ES 1 I u collettivo di 40 pazieti osservati, la media dei globuli biachi era pari a.9 ( 1000/ml 3 ) e la variaza era pari a Forire ua stima putuale e ua stima itervallare mediate Itervallo di Cofideza al 90% del valore medio atteso dei globuli biachi ella popolazioe dei pazieti affetti dalla malattia. ES U gruppo di 60 soggetti viee esamiato per la preseza ua certa aomalia geetica, ed essa viee idividuata i 14 persoe. Qual è la stima della prevaleza di questa aomalia geetica? (Forire u itervallo di stima al livello di cofideza del 95%) ES 3 La distribuzioe del Body Mass Idex (BMI peso (kg) / [altezza (m)]^) i ua certa popolazioe è approssimativamete Normale, co deviazioe stadard pari a.. I u gruppo di 6 idividui estratti a caso da quella popolazioe, la media del BMI è risultata pari a 4.. Calcolare u stima putuale e itervallare (IC95%) della media del BMI, e forire la sua iterpretazioe. Poi, assumedo che la media icogita sia proprio uguale a quella stimata (stima putuale), forire u rage di valori del BMI tale che il 95% della popolazioe sia compreso i quel rage. ES 4 Fra gli 80 pazieti trattati co u uovo farmaco per ua certa malattia, si osserva u valore medio dei globuli rossi piuttosto basso (pari a /ml), iferiore al valore medio di riferimeto che per questo tipo di soggetti è pari a /ml. Sapedo che la deviazioe stadard del campioe era pari a /ml, si vuole verificare se è corretto desumere che il trattameto può idurre u abbassameto dei globuli rossi. Impostare quidi il test di ipotesi e svolgerlo sia col metodo del p- value, sia col metodo delle regioi di rifiuto. ES 5 Fra gli stessi 80 pazieti dell esercizio 4, si osserva ache l isorgere di dermatite i 5 di essi. La dermatite è i effetti u disturbo collaterale che si preseta el 10% dei soggetti affetti dalla malattia. Si deve desumere che il trattameto modifica l icideza della dermatite? Effettuare u test di sigificatività a due code sia col metodo del p-value, sia col metodo delle regioi di rifiuto, al livello del 5%. Esprimere poi l effetto del trattameto sulla probabilità di isorgeza della dermatitite tramite il Risk Ratio. ES 6 U medico dietologo iveta u uovo tipo di dieta (A) per facilitare la riduzioe di peso. Decide di cofrotare l efficacia rispetto al tipo di dieta che prescriveva precedetemete (B). Dispoe dei risultati di due gruppi di pazieti, 39 trattati co la vecchia dieta B, che hao perso i media.9 kg (std1.kg), e 34 trattati co la uova dieta A, che hao avuto ua riduzioe di peso media di 3.5 kg (std1.1kg). Ipotizzado la Normalità della perdita di peso e l uguagliaza delle variaze, effettuare u test di ipotesi al livello del 5% bilaterale. E corretto affermare che la dieta A è migliore della dieta B? quali valutazioi sui due campioi bisogerebbe fare per essere maggiormete sicuri della coclusioe? ES 7 U gruppo di 7 soggetti viee sottoposto a u trattameto per l ipertesioe. Si misura la pressioe diastolica (miima) prima e dopo u certo umero di giori di trattameto: i risultati soo i tabella. Si vuole valutare se il trattameto ha effetto: possiamo impostare u test fra quelli che coosciamo? 1

2 Soggetto prima dopo ES pazieti hao fatto ua terapia per ua certa malattia; 1 hao seguito la terapia A, gli altri 64 hao seguito la terapia B. Nel gruppo A, hao risposto 37 soggetti. Nel gruppo B, hao risposto 3 soggetti. I dati soo riportati ache ella sottostate tabella. Calcolare le percetuali di risposta e il Risk Ratio assumedo come gruppo di cofroto (baselie) il trattameto A. Per valutare la sigificatività della differeza dovremmo usare dei test appositi; i alterativa, calcoliamo ua misura dell associazioe fra Trattameto e Risposta sulla tabella doppia ed effettuiamo il test per l ipotesi di asseza di relazioe. Risposta Trattameto o si Tot A B tot ES 9 Data la seguete serie di dati su Peso e Altezza di 8 pazieti, calcolare ua misura dell associazioe, poi, idividuare la retta che descrive la dipedeza del Peso dall Altezza, e dire che Peso è predetto dal modello per u soggetto alto 165 cm. Osservado che il soggetto id1 ha altezza 165 cm e peso osservato 55., commetare la cogrueza fra modello e dati. id Altezza, cm Peso, kg ES 10 La seguete tabella riporta i risultati di u modello di regressioe logistica (per outcome dicotomici), ossia l effetto stimato di ua serie di fattori sul rischio di progressioe di malattia a breve termie. L effetto è valutato i termii di odds ratio, co itervallo di cofideza al livello 95%, e l ultima coloa riporta il p-value per la sigificatività dell effetto. Per ciascua delle segueti domade, dire se la risposta forita è Vera o Falsa, e se Falsa correggerla opportuamete. Fattore OR 95% CI p-value Trattameto B vs. A Precedete trattameto Microglob. Beta alte Aomalia DEL a) Il trattameto ha effetto sul rischio di progressioe? - Sì, ha u effetto fortemete sigificativo (p<0.001), B dà più rischio di progressioe del trattameto A

3 b) Qual è l effetto di u precedete trattameto? - L aumeto medio dell odds di progressioe è stimato pari a 44%, ma la stima è molto variabile, secodo questo modello potrebbe ache essere u fattore protettivo; questo fattore o è statisticamete sigificativo c) Qual è il fattore di rischio più importate? - E la preseza dell aomalia DEL13 (p0.0005) d) Qual è l effetto delle microglobulie Beta alte? - L oods di progressioe aumeta circa del 36% (l effetto è molto sigificativo) 3

4 SOLUZIONI ES 1 La stima putuale della media della popolazioe è semplicemete la media aritmetica del campioe, qui.9; ifatti, la media aritmetica campioaria e è uo stimatore o distorto e co altre proprietà (efficieza, cosisteza e altre). La stima itervallare co IC90% si ottiee applicado la formula forita ifatti, il campioe è grade (40), quidi possiamo utilizzare la formula, stimado la variaza della popolazioe dal campioe, qui s (e quidi s ). x z σ, x + z σ , (.75,3.05) (otare che utilizziamo il quatile 1.64, che lascia ella coda estera ua probabilità pari a 5%, e quidi el complesso delle code il 10%; solitamete si costruiscoo IC al livello 5%, e quidi si utilizza il quatile 1.96, che lascia apputo ella coda estera u area pari a.5%, e ella somma delle due code ua probabilità del 5%) Quidi per u paziete di questo tipo ci aspettiamo i media u valore dei WBC compreso fra.75 e 3.05 (iterpretazioe cliica). Attezioe: questo o è il rage dei valori dei WBC che ci possiamo attedere per qualsiasi soggetto! Si veda l esercizio 3 e si riproduca per esso il ragioameto per questo esercizio. ES La stima putuale della prevaleza ella popolazioe o è altro che la proporzioe, o percetuale, osservata el campioe, che è 14/603%. Siccome il campioe è grade, per l ifereza possiamo assimilare il comportameto della proporzioe a quello della media aritmetica per u campioe di osservazioi di u carattere quatitativo cotiuo. Quidi: ) π z ) ) π (1 π ) ), π + z ) ) π (1 π ) , Duque la prevaleza dell aomalia ella popolazioe è compresa fra il 13% e il 34% ( 0.13,0.34) ES 3 Il testo dell esercizio ci permette di assumere la Normalità e la coosceza della variaza (ci dà la deviazioe stadard, che e è la radice quadrata). Quidi sebbee il campioe sia piccolo, possiamo usare la ostra formula dell IC - la stima putuale di µ è semplicemete 4.. x z σ, x + z σ , ( 3.35,4.05) Duque per u soggetto estratto a caso dalla stessa popolazioe da cui proviee il campioe, ci aspettiamo u BMI pari a 4., ovvero compreso fra 3.35 e Diciamo che questa è la previsioe per l idividuo medio, ma poi sappiamo che attoro all idividuo medio ve e soo altri diversi, poichè il carattere (BMI) preseta ua certa variabilità espressa dalla deviazioe stadard della popolazioe,.. Per avere dei rage di valori possibili per il BMI, facciamo quidi riferimeto alle proprietà della Normale, di cui ora assumiamo di cooscere ache la media (avedola stimata el campioe). 4

5 Essedo la distribuzioe del BMI Normale di media stimata 4. e di deviazioe stadard., per le proprietà della Normale sappiamo che il 95% dei valori del BMI soo compresi fra µ 1. 96σ e µ σ, ossia fra e Quest ultimo è il rage che ci aspettiamo per il 95% dei soggetti proveieti da quella popolazioe. (U rage acora più ampio, di raggio 3σ attoro alla media, forisce la quasi totalità 99.7% - dei valori che possiamo attederci: (17.6,30.8)) ES 4 Il test per rispodere a questo quesito va impostato i questo modo: l ipotesi di base è la codizioe eutra, di riferimeto, e quidi che il valore µ della media dei globuli rossi della popolazioe è 5 (tralasciamo l uità di misura); l ipotesi alterativa è che µ sia iferiore a 5. Nota: il quesito focalizza sull iferiorità, e quidi suggerisce di fare u test a ua coda; tuttavia, o è opportuo fare test a ua coda co l usuale livello di sigificatività 5%: è preferibile fare il test a due code al livello 5%, ovvero, equivaletemete, fare il test a ua coda co il livello alfa dimezzato al.5%: etrambe gli approcci portao a predere come limite della regioe di rifiuto il valore H 0 : µ5 vs H 1 : µ<5 Si osservi che ella formulazioe delle ipotesi o si utilizzao i valori calcolati el campioe!! Il test sulla media è il t-test, possiamo usare la ostra formula che vale i casi limitati, poiché abbiamo u campioe molto grade (80); la statistica è: X µ t σ Osserviamo che il valore della statistica test è molto lotao dal valore che ci attederemmo el caso valga l ipotesi ulla, che è zero (asseza di differeza fra la media della ostra popolazioe e il valore di riferimeto 5). Esso è al di sotto della soglia -1.96, quidi il test rifiuta l ipotesi ulla al livello del.5% (test uilaterale; ovvero al livello del 5% per il test bilaterale). Per il calcolo del p-value, impostado il test come uilaterale, dobbiamo calcolare il valore ella coda iferiore al di sotto di Siccome la tavola o ci permette di leggere le aree per i valori egativi, calcoliamo l area che ci iteressa come: p 1-Φ(3.18) (Se avessimo impostato il test a due code, questo valore adrebbe moltiplicato per : p0.00) ES 5 Co questo esercizio ripetiamo praticamete il precedete, ifatti co questo grade campioe l ifereza sulla percetuale π di casi che soffroo di dermatite (carattere dicotomico) è svolta co gli stessi metodi usati per ua media di u carattere cotiuo. H 0 : π 0.10 vs H 1 : π 0.10 (Rimarchiamo che el formulare le ipotesi o utilizziamo i valori osservati sui campioi; qui il test ha ua ipotesi alterativa bilaterale perché così ci prescrive l esercizio; i test dovrebbero comuque sempre essere bilaterali, o, se proprio si può escludere a priori che ua differeza possa adare i uo dei due sesi, comuque la sigificatività deve essere valutata co riferimeto a valori alfa più piccoli (dimezzati) rispetto al test a due code come è stato fatto ell ES 4) 5

6 ) ) π (1 π ) Dal campioe si ottiee la stima putuale ˆ π 0. 31, il cui errore stadard è ; la statistica test è pari a Questo valore è acora più lotao dal valore 0 atteso sotto H0 di quato o fosse ell esercizio precedete. Il test rigetta l ipotesi ulla al livello di cofideza del 5%, e comuque i dati mostrao ua differeza fortemete sigificativa tra il valore osservato el campioe è quello di riferimeto (p< è ua otazioe adatta per quado i calcoli che comuque soo arrotodati dao p0). Secodo questo studio, il trattameto aumeta l icideza della dermatite. Il RR che esprime l effetto del trattameto cofrotado il rischio di chi fa il trattameto co il rischio di chi o lo fa è RR0.31/0.1 3: il trattameto triplica il rischio di dermatite. ES 6 Impostiamo il test fissado azitutto le ipotesi di base e alterativa: H 0 : δ µ A - µ B 0 vs H 1 : δ µ A - µ B 0 Questi due gruppi soo idipedeti i quato i soggetti del gruppo A o soo gli stessi del gruppo B, e o codividoo co essi fattori comui (come potrebbe accadere se si trattasse di gruppi familiari, ad esempio di fratelli che pur o vivedo isieme codividerebbero fattori geetici e fattori ambietali dell ifazia o coiugi che codividerebbero fattori ambietali, abitudii etc) Il cofroto fra questi due gruppi che hao umerosità ampie e provegoo da distribuzioi co la stessa variaza (come afferma il testo dell esercizio) può essere fatto applicado le formule del t- test: s ( 1) s + ( 1) s ( 34 1) ( 39 ) t s y y Applicado il metodo della regioe rifiuto, possiamo rigettare l ipotesi di base di asseza di differeza fra la media di A e la media di B al livello di sigificatività del 5% (il valore soglia per il test bilaterale è 1.96). Voledo valutare la sigificatività statistica calcolado il p-value, adiamo sulle tavole e i corrispodeza di. leggiamo 0.987; duque l area i ua delle due code estere è , e la probabilità complessiva di adare i ua delle due code estere (il p-value del test bilaterale) è Duque la differeza osservata fra le due medie risulta abbastaza sigificativa, i dati supportao l ipotesi che la dieta A sia più efficace i termii di riduzioe di peso. Questa associazioe statistica può idicare u esso di causalità SE i due gruppi soo simili per composizioe rispetto a tutte le caratteristiche potezialmete iflueti sulla riduzioe del peso, sesso, età, attività fisica etc ovvero i asseza di fattori di cofodimeto, e se ache le metodiche della misurazioe soo le stesse el gruppo A e el gruppo B (asseza di bias da osservazioe o altra forma di distorsioe). ES 7 Il (primo) problema di questo esercizio di cofroto fra due gruppi è che essi ( prima e dopo ) soo appaiati, ovvero o si tratta di campioi idipedeti: pertato o si può procedere come 6

7 ell ES 6. Potremmo lavorare sulle differeze Dopo-Prima, e quidi su u campioe di 7 osservazioi di questo uovo carattere, che chiameremo Riduzioe, e adare a testare le ipotesi: H 0 : δ 0 vs H 1 : δ 0 co il t-test per campioi sigoli (come ell ES 4). L ulteriore problema è che il campioe è molto piccolo e o coosciamo emmeo la sua variaza, quidi o possiamo usare il t-test ella sua forma più semplice. Nel seguito quidi svolgiamo l esercizio utilizzado le tavole della distribuzioe T di Studet (ota: esse soo state distribuite agli Studeti, ma o soo coteute el Formulario, quidi questo svolgimeto viee proposto come completameto del corso, i quato tale è oggetto d esame all orale, ma o allo scritto) I dati soo: Soggetto riduzioe quidi la media osservata è 13.71, la deviazioe stadard osservata è , e la statistica test è: t X µ σ La regioe di rifiuto per u test di livello alfa pari a 5% (bilaterale) è costituita dalle due code estere dei valori miori e maggiori di ± il valore soglia che troviamo sulla tavola della distribuzioe T co 6 gradi di libertà, che vale.447. La ostra statistica test cade ella regioe di rifiuto, quidi H0 è rigettata al livello del 5%: i dati supportao l ipotesi che il trattameto iduca ua riduzioe della pressioe. ES 8 Le percetuali di risposta si calcolao guardado ai profili-riga, ovvero alle distribuzioi della Risposta codizioate ai due diversi livelli del carattere Trattameto: p A 37/1 0.3, p B 3/ Il Risk Ratio è 0.5/ : la probabilità di risposta co B aumeta del 65% rispetto ad A. La misura di associazioe e il test richiesto soo quelli del Chi-quadrato. L ipotesi di base H0 è che o vi è associazioe fra Trattameto e Risposta, l ipotesi alterativa è che vi sia associazioe, ossia i questo caso che vi sia ua differeza fra le percetuali di risposta dei due gruppi A e B ella popolazioe da cui essi provegoo. Il chi-quadrato si basa su ua misura di distaza fra le frequeze che abbiamo osservato e quelle che osserveremmo se i due campioi si comportassero come secodo l ipotesi ulla: freq. attese: Risposta Trattameto o si A B differeze (addedi della statistica test): Risposta Trattameto o si A B Chi-quadrato6.96, superiore al valore soglia che per u test al livello del 5% avedo 1 grado di libertà (tabella x) è Quidi il test rigetta l ipotesi ulla di asseza di differeza al livello di 7

8 sigificatività del 5%. Osserviamo che ache scegliedo u livello di sigificatività più basso pari a 0.01 e quidi u test più prudete, che richiede maggiore forza dell evideza cotraria ad H0 per poterla rigettare abbiamo comuque il rifiuto di H0 (il valore soglia è 6.635). ES 9 La misura di associazioe che possiamo calcolare è il coefficiete di correlazioe lieare: (usiamo le formule rapide della covariaza e delle deviazioi stadard) Altezza, X Peso, Y X*Y X^ Y^ somma somma/ media^ * /(-1) sqrt Covariaza Coeff. di Correlazioe r / ( ) Il valore di r idica ua forte associazioe positiva fra i due caratteri. Calcoliamo ora la pedeza e l itercetta della retta di regressioe: beta / itercetta Il valore di peso predetto dal modello di regressioe così stimato per u soggetto di altezza 165 è quidi: y* Il modello ha sovrastimato il peso del soggetto id1 (ma l ordie di gradezza è abbastaza coerete; se fosse veuto molto diverso, avremmo doverosamete ricotrollato i calcoli...) ES 10 a) Il trattameto ha effetto sul rischio di progressioe? - Sì, ha u effetto fortemete sigificativo (p<0.001), B dà meo rischio di progressioe del trattameto A. Ifatti il OR è iferiore a 1, il che idica che rispetto al baselie (gruppo di riferimeto, qui A) il fattore è protettivo. b) Qual è l effetto di u precedete trattameto? - L aumeto medio dell odds di progressioe è stimato pari a 44%, ma la stima è molto variabile, secodo questo modello potrebbe ache essere u fattore protettivo; questo fattore o è statisticamete sigificativo (questa risposta è sostazialmete corretta) c) Qual è il fattore di rischio più importate? - E la preseza dell aomalia DEL13 (p0.0005) l ialzameto delle microglobulie beta (poichè preseta l OR più alto rispetto all aomalia DEL13) d) Qual è l effetto delle microglobulie Beta alte? 8

9 - L odds di progressioe aumeta circa del 36% (l effetto è molto sigificativo) (questa risposta è sostazialmete corretta) 9