Strumenti di indagine per la valutazione psicologica

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1 Strumeti di idagie per la valutazioe psicologica Richiami di statistica descrittiva Davide Massidda davide.massidda@gmail.com Descrivere i dati Dovedo scegliere u esame opzioale, uo studete ha itezioe di seguire le lezioi del prof. Nepero. Il prof. Nepero, tuttavia, ha fama di o essere particolarmete geeroso co le valutazioi: sarà davvero coveiete scegliere il suo corso come opzioale? Popolazioe: tutti gli studeti del prof. Nepero. Campioe: treta studeti distribuiti tra le sessioi degli ultimi due ai. Uiversità di Cagliari, a.a. 2013/2014 Descrivere i dati Frequeze Voti = { 22, 27, 27, 26, 28, 30, 25, 23, 24, 26, 26, 24, 28, 22, 26, 25, 30, 26, 21, 30, 23, 18, 25, 23, 25, 24, 23, 27, 25, 26 } Come fare a capire se c'è qualche tedeza ascosta dietro i umeri? Dei buoi puti di parteza potrebbero essere: 1. Studio della distribuzioe di frequeza della variabile. 2. Calcolo di idici descrittivi che permettoo di riassumere i dati. 3. Visualizzare gli idici utilizzado dei grafici. Numero di osservazioi registrato per ciascuo dei valori di ua variabile (utile per variabili qualitative). Numero di osservazioi registrato per ciascu itervallo di valori (classe) i cui ua variabile è stata suddivisa (utile per variabili quatitative). Di che atura è la variabile voti?

2 Istogramma Idicatori di tedeza cetrale Visualizza la frequeza di ciascu itervallo e permette di studiare come le frequeze si distribuiscoo attraverso i valori assuti dalla variabile. Classe Frequeza Cosetoo di sitetizzare u isieme di dati tramite u uico valore rappresetativo che riassume e descrive i dati e dipede dalla loro scala di misura. I più importati: Moda Mediaa Media aritmetica Moda Mediaa È il valore che si preseta più spesso. Nella variabile Voti, la moda è 5: Per idividuare la moda si parte dalle frequeze. È u idice che può essere utilizzato su dati misurati su qualsiasi scala. Su variabili quatitative la moda o è u idice molto iformativo. È l'uico idice di tedeza cetrale che può essere utilizzato per variabili misurate su scala omiale. Valore che occupa la posizioe cetrale i ua sequeza di dati ordiati. È il valore al di sopra o al di sotto del quale si trova il 50% dei casi (o u uguale umero di casi). Calcolo della mediaa: 1. Disporre i dati i ordie crescete. 2. Idividuare la posizioe occupata all itero della serie umerica dal valore che si trova i posizioe mediaa. 3. Idividuare il valore che si trova i posizioe mediaa.

3 Mediaa Mediaa La mediaa dei voti del campioe di 30 studeti del prof. Nepero: [...] [...] PosMd= N +1 2 = 30+1 = Peculiarità: È u idice che può essere utilizzato per descrivere dati su scala di misura ordiale, a itervalli, a rapporti. Isieme alla moda, è l idice di tedeza cetrale che può essere usato per descrivere dati qualitativi misurati su scala ordiale. La mediaa corrispode al 2 quartile e al 50 percetile. Md= =25 Quatili Idicatori di posizioe (quatili) La mediaa spacca i due la sequeza ordiata di dati ed equivale a quel valore che si lascia sia alla siistra che alla destra il 50% dei dati. Per esempio, i quartili spaccao i quattro la sequeza ordiata di dati e oguo si lascia alla propria siistra il 25% dei dati. mi(x) Md max(x) mi(x) Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 = max(x) 50% dei dati 50% dei dati 25% dei dati 25% dei dati 25% dei dati 25% dei dati La distribuzioe può essere spaccata o solo i due ma ache i più parti: si parla di quatili. I pricipali quatili soo i quartili, i decili e i (per)cetili. PosQ k = N +1 Q k

4 Idicatori di posizioe (quatili) Media aritmetica Se la posizioe risultate è u umero co la virgola: si moltiplica la differeza tra i due valori dell itervallo per la quatità che eccede l itero della posizioe. Il quatile sarà la somma tra il risultato di questa operazioe e l estremo iferiore dell itervallo. Esempio: 90 percetile del vettore voti: Può essere usata su variabili quatitative misurate su scale a itervalli o a rapporti. x= x i = = PosP 90 = =27.9 P 90 =28+0.9(30 28)=29.8 x 27 =28 x 28 =30 Rispetto alla mediaa, la media è più sesibile ai valori estremi e aomali (outliers). Questi valori aomali soo tato più iflueti quato più piccolo è il valore di. Proprietà della media Tutto coverge (più o meo) La somma degli scarti dei sigoli valori dalla media è sempre uguale a zero. (x i x )=0 La somma dei quadrati degli scarti di ciascu valore dalla 1media è miore della somma degli scarti degli stessi valori da x u qualsiasi altro umero k (proprietà dei miimi i i quadrati). x ) 2 < k) 2 Classe co frequeza più elevata: (25,26] Moda: 26 Mediaa: 25 Media: ma queste iformazioi soo sufficieti per decidere se affrotare o meo il corso del prof. Nepero?

5 Quado la media o basta Quado la media o basta La media dei voti di 30 studeti dei professori A e B è uguale: Possiamo accotetarci di questo dato per dire che i due giudicao ello stesso modo? Il problema è che la media (o moda o mediaa che sia) è pur sempre u'approssimazioe. Usare la media per descrivere i dati sigifica ricodurre tutte le osservazioi a u uico idice riassutivo: stiamo perdedo della preziosa iformazioe. La ecessità di scartare iformazioe per compredere u feomeo deriva da u limite umao: o possiamo teere cotemporaeamete a mete tutti i valori osservati. L'uomo ha bisogo della sitesi: si scarta iformazioe per otteere iformazioe! Idicatori di dispersioe Idicatori di dispersioe Per far frote al problema della perdita d'iformazioe, agli idici di tedeza cetrale vegoo associati degli altri idici che permettoo di recuperare, almeo parzialmete, l'iformazioe perduta el processo di sitesi. Gli idicatori di dispersioe soo i grado di quatificare la variabilità di u feomeo. Sarà baale ma... meglio sottoliearlo! La variaza assume valore miimo 0 quado tutti i dati soo uguali tra loro e aumeta all aumetare della dispersioe dei dati rispetto alla media. Mediaa Scarto iter-quartile (IQR) Media Variaza (s 2 ), deviazioe stadard (s)

6 Scarto iter-quartile Variaza e deviazioe stadard È la differeza tra terzo e primo quartile: IQR = Q 3 Q 1 Q 3 voti = 27 Q 1voti = 23 IQR voti = = 4 Limite: o tiee i cosiderazioe cosa accade all itero della distribuzioe (casi cetrali) e agli estremi. Variaza: sommatoria degli scarti dalla media al quadrato diviso -1. s 2 = x) 2 1 Deviazioe stadard: radice quadrata della variaza. s= s 2 Rispetto a s 2, s è misurata sulla stessa scala di misura dei dati osservati (è quidi più immediata da iterpretare). I gradi di libertà I gradi di libertà s 2 = x) 2 1 Cote S. (2010) pag. 85 s 2 = x) 2 1 Cote S. (2010) pag. 85 La somma degli scarti dalla media è zero. Ua volta che abbiamo calcolato -1 scarti dalla media, il valore dell'-esimo scarto dovrà ecessariamete assumere quel valore per cui si dovrà otteere zero se tutti gli scarti veissero sommati. Se i primi -1 scarti soo fra loro idipedeti, il valore dell'-esimo è vicolato al risultato delle precedeti operazioi. Isomma: l'ultimo scarto o è libero di assumere il valore che vuole, ma dipede da tutti gli altri. L'iformazioe relativa al valore dell'-esimo scarto è già coteuta egli altri scarti, per cui è superflua. I gradi di libertà soo il umero di valori idipedeti ecessari al calcolo della statistica. (Nota bee: questo discorso vale per la variaza ma o per la media).

7 Pochi idici per descrivere il campioe Boxplot I voti dei prof. Nepero: md=25 x=25.17 IQR=4 s=2.70 Mediamete, i voti oscillao tra = e = Boxplot mi(max( x),q IQR) Outliers Q 3 Q 2 Q 1 25% 25% max (mi( x),q IQR) Outliers