UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA. Prof.ssa Donatella Siepi tel:

Transcript

1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA STATISTICA MEDICA Prof.ssa Doatella Siepi tel: dicembre 2014

2 6 LEZIONE

3 Statistica descrittiva STATISTICA DESCRITTIVA Rilevazioe dei dati Rappresetazioe dei dati Elaborazioe dei dati piao tabelle grafici Medie e idici di variabilità A A B C D E B C D E

4 Idici Statistici Per sitetizzare i dati ed evideziare ua certa caratteristica: Idici di tedeza cetrale Idici di dispersioe La forma

5 I statistica è possibile valutare i modo sitetico la distribuzioe dei dati mediate gli idici di variabilità (o dispersioe) Vedremo i segueti idici Campo di variazioe (Rage) Scarto medio dalla media Variaza e scarto quadratico medio Coefficiete di variazioe 5

6 Scarto medio dalla media aritmetica U modo per calcolare la variabilità dei dati (teedo coto di tutti i dati) cosiste el calcolare la distaza di tutti i dati dalla media e fare la media aritmetica di tali distaze Scarto medio S m x 1 x x 2 x... x x Scarto medio = Distaza media dei dati dalla media 6

7 Esempio Cosideriamo le valutazioi di ua prova 1a Prova 1 studete 3 2 studete 5 3 studete 8 4 studete 9 media 6,25 x 1 = 3 6,25 = 3,25; x 2 = 5 6,25 = 1,25; x 3 = 8 6,25 = 1,75; x 4 = 9 6,25 = 2,75; Sm = 3,25 + 1,25 + 1,75 + 2,75 = 2,25 4 7

8 Calcoliamo lo Scarto medio per tutte le tre prove 1a Prova 2a Prova 3a Prova 1 studete studete studete studete media 6,25 6,25 6,25 scarto medio 2,25 2,13 0,38 Scarto 1 a prova = 2,25 dati più dispersi, risultati più eterogeei Scarto 3 a prova = 0,38 dati più cocetrati, risultati più omogeei Scarto 2 a pr. Scarto 1 a pr. Le Distribuzioi Differiscoo 8

9 I statistica è possibile valutare i modo sitetico la distribuzioe dei dati mediate gli idici di variabilità (o dispersioe) Vedremo i segueti idici Campo di variazioe (Rage) Scarto medio dalla media Variaza e scarto quadratico medio Coefficiete di variazioe 9

10 Variaza e Scarto quadratico medio Soo gli idici di variabilità più utilizzati, e tegoo coto della distribuzioe di tutti i dati. Variaza Rappreseta la media aritmetica dei quadrati delle distaze dei dati dalla media M Variaza 2 2 x x x x x x

11 Variaza 1 2 x x x i 1 i 2 11

12 Esempio - Variaza Cosideriamo le valutazioi della prima prova 1a Prova 1 studete 3 2 studete 5 3 studete 8 4 studete 9 media 6,25 (x 1 ) 2 = (3 6,25 ) 2 = 10,5625; (x 2 ) 2 = (5 6,25 ) 2 = 1,5625; (x 3 ) 2 = (8 6,25 ) 2 = 3,0625; (x 4 ) 2 = (9 6,25 ) 2 = 7,5625; 2 = 10,5625+1,5625+3,0625+7,5625 = 5,

13 Calcoliamo la Variaza per tutte le tre prove 1 a Prova 2 a Prova 3 a Prova 1 studete studete studete studete media 6,25 6,25 6,25 variaza 5,69 6,19 0,19 Variaza 1 a prova = 5,69 dati più dispersi, risultati più eterogeei Variaza 3 a prova = 0,19 dati più cocetrati, risultati più omogeei Variaza 2 a pr. Variaza 1 a pr Le Distribuzioi Differiscoo 13

14 Variaza La variaza o Quadrato Medio è ua deviaza media o deviaza rapportata al umero di osservazioi. La variaza di ua popolazioe (1), il cui simbolo è σ2, è otteuta dividedo la deviaza per, il umero di osservazioi. La variaza di u campioe (2), il cui simbolo è s2, è otteuta dividedo la deviaza per -1, il umero di gradi di libertà.

15 Scarto quadratico medio o Deviazioe stadard È uguale alla radice quadrata della variaza Scarto quadr. medio 2 2 x x x x x x Scarto quadr medio 2 x x x i 1 1 i 2 15

16 Esempio - Scarto quadratico medio Riprediamo le valutazioi della prima prova 1 a Prova scarti da M scarti 2 1 studete 3-3,25 10, studete 5-1,25 1, studete 8 1,75 3, studete 9 2,75 7,5625 media 6,25 0,00 5, x i 2 2 5,6875 2,

17 Calcoliamo lo Scarto quadratico medio per tutte le prove 1 a Prova 2 a Prova 3 a Prova 1 studete studete studete studete media 6,25 6,25 6,25 scarto quadratico 2,38 2,49 0,43 Scarto q. 1 a prova = 2,38 dati più dispersi, risultati più eterogeei Scarto q. 3 a prova = 0,43 dati più cocetrati, risultati più omogeei Scarto q. 2 a pr. Scarto q. 1 a pr Le Distribuzioi Differiscoo 17

18 Osservazioi: 1. La variaza 2 e lo scarto quadratico medio dao iformazioi sulla distribuzioe dei dati: più 2 e soo piccoli più i dati soo cocetrati; più 2 e soo gradi più i dati soo dispersi. 2. Etrambi gli idici tegoo coto di tutti i dati della distribuzioe 18

19 3. Etrambi si basao sulla proprietà della media per cui la somma dei quadrati degli scarti dalla media è miima 4. La variaza è espressa mediate il quadrato dell uità di misura dei dati 5. Lo scarto quadratico ella stessa uità di misura dei dati e pertato viee preferito alla variaza 19

20 I statistica è possibile valutare i modo sitetico la distribuzioe dei dati mediate gli idici di variabilità (o dispersioe) Vedremo i segueti idici Campo di variazioe (Rage) Scarto medio dalla media Variaza e scarto quadratico medio Coefficiete di variazioe 20

21 La DS è la stima di variabilità di u campioe (molto utile quado le medie dei due campioi soo simili) No cosete di cofrotare la variabilità di campioi le cui medie soo sesibilmete differeti I questo caso si usa il COEFFICIENTE di VARIAZIONE

22 Coefficiete di variazioe Il coefficiete di variazioe (coefficiet of variatio oppure coefficiet of variability) è ua misura relativa di dispersioe, metre le precedeti erao tutte misure assolute. Permette di valutare la dispersioe dei valori attoro alla media idipedetemete dall'uità di misura. Ad esempio, la deviazioe stadard di u campioe di redditi espressi i Lire è completamete diversa della deviazioe stadard degli stessi redditi espressi i Euro, metre il coefficiete di dispersioe è lo stesso i etrambi i casi.

23 Il coefficiete di variazioe CV Il CV è ua misura relativa di dispersioe (le precedeti soo misure assolute) ed è ua gradezza adimesioale. E particolarmete utile quado si devoo cofrotare le distribuzioi di due gruppi co medie molto diverse o co dati espressi i scale differeti (es. cofroto tra variazioe del peso e variazioe dell altezza). CV 100 % x 23

24 Coefficiete di variazioe (CV) o deviazioe stadard relativa È rappresetato dalla DS/m * 100 Il valore che e deriva è ua quatità priva di Dimesioe è u rapporto, metre la DS è espressa elle stesse Uità delle osservazioi origiali. Il CV permette quidi il cofroto di gradezze diverse.

25 Il Coefficiete di Variazioe (CV oppure semplicemete co V i molti testi receti) misura la dispersioe percetuale i rapporto alla media. Per ua popolazioe: dove σ = deviazioe stadard della popolazioe μ = media della popolazioe Per u campioe dove - s = deviazioe stadard del campioe - X = media del campioe

26 Calcoliamo il Coeff. di variazioe tre prove 1 a Prova 2 a Prova 3 a Prova 1 studete studete studete studete media 6,25 6,25 6,25 scarto quadratico 2,38 2,49 0,43 coeff. variazioe 38,16% 39,80% 6,93% CV 1 a prova = 38,16% dati più dispersi, risultati più eterogeei CV 3 a prova = 6,93% dati più cocetrati, risultati più omogeei CV 2 a pr. CV 1 a pr Le Distribuzioi Differiscoo 26

27 I atura, il coefficiete di variazioe tede ad essere costate per ogi feomeo, co valori che abitualmete oscillao tra il 5% e il 15%. Valori esteri a questo itervallo possoo fare sorgere il sospetto di essere i preseza di u errore di rilevazioe o di calcolo; si tratta comuque di situazioi o usuali che occorrerebbe spiegare, idividuadoe la causa.

28 Se il materiale biologico i esame ha u CV troppo basso (2-3 %), si può sospettare l'esisteza di u fattore limitate che abbassa otevolmete od elimia la variabilità, come la preseza di omogeeità geetica cogiuta ad ua situazioe ambietale uiforme. U CV molto alto (50%) è idice della preseza di codizioi aomale o molto differeti per più fattori. Per l'uomo, il coefficiete di variazioe dell altezza è stato calcolato tra il 40% e il 45%, testimoiado l'esisteza ella specie di gradi differeze, dovute sia a cause geetiche che ambietali (alimetazioe, codizioi saitarie, ecc.).

29 ERRORE STANDARD DELLA MEDIA (SEM) La media e la DS calcolate da u campioe soo stime della media e della DS dell'itera popolazioe dalla quale il campioe e' tratto. Per quatificare i termii probabilistici l'accuratezza di queste stime, possiamo calcolare i loro SE (sia della media che della DS). Il SEM (DS/ ) quatifica il grado di certezza col quale la media calcolata da u campioe casuale stima la vera media della popolazioe da cui il campioe e' tratto.

30

31 ERRORE STANDARD DELLA MEDIA (SEM) Pertato la DS e il SEM misurao 2 aspetti decisamete diversi: la DS descrive la variabilita' della popolazioe, il SEM descrive l'icertezza ella stima della media. La media vera della popolazioe origiale cade ad ua distaza dalla media campioaria iferiore a 2 SEM i circa il 95% dei possibili campioi. E' bee sottolieare acora come l'errore stadard (e quidi la precisioe della stima di ) dipede sia dalla variabilità della misura, sia dal umero di repliche che effettuiamo; più precisamete, l'errore stadard aumeta all'aumetare della deviazioe stadard e dimiuisce all'aumetare del umero delle ripetizioi, aulladosi quado questo tede ad ifiito.