Lezione III: Variabilità. Misure di dispersione o di variabilità. Prof. Enzo Ballone. Lezione 3a- Misure di dispersione o di variabilità

Transcript

1 Lezioe III: Variabilità Cattedra di Biostatistica Dipartimeto di Scieze Biomediche, Uiversità degli Studi G. d Auzio di Chieti Pescara Prof. Ezo Balloe Lezioe a- Misure di dispersioe o di variabilità Misure di dispersioe o di variabilità. Abbiamo visto che la media è ua misura della localizzazioe cetrale della distribuzioe (il cetro di gravità). Popolazioi co la stessa media possoo avere u grado molto diverso di variazioe dei dati. Ua maiera per esprimere questa variazioe è quello di utilizzare la media come puto di riferimeto di ciascu valore, cioè di calcolare la deviazioe di ciascu dato dalla media (il suo scarto dalla media).

2 Misure di dispersioe o di variabilità Le deviazioi sarao umeri positivi per tutti i valori al di sopra della media e umeri egativi per tutti i valori al di sotto della media. Se oi sommassimo queste deviazioi il risultato sarebbe 0 (i valori positivi sarebbero elisi dai valori egativi). Quest'approccio o ci cosetirebbe pertato di otteere ua misura della variabilità dei dati. Il problema si risolve elevado al quadrato le deviazioi dalla media (il quadrato di u umero egativo è u umero positivo). Misure di dispersioe o di variabilità Se sommiamo i quadrati delle deviazioi (o scarti ) dalla media e dividiamo questa somma per il umero delle osservazioi otteiamo la deviazioe quadratica media (o scarto quadratico medio) o variaza. Per riportare i valori all'uità di misura di parteza possiamo estrarre la radice quadrata della variaza. La radice quadrata della variaza è la misura di distribuzioe più usata ed è defiita deviazioe stadard. Misure di dispersioe o di variabilità U altro modo di esprimere la variabilità di ua distribuzioe è quella di riferirsi al rage di ua distribuzioe (il valore miimo e il valore massimo). Il rage dipede esclusivamete dai valori estremi, perciò se il campioe di dati è piccolo esso può dare ua stima erroea del rage della popolazioe (questo perché i valori estremi soo rari e possoo o essere rappresetati i u piccolo campioe).

3 Esempio 0: Si cosiderio iizialmete, le segueti due distribuzioi di valori riferiti all età di 0 idividui L'età media (media aritmetica) è pari a 40 ai per tutti gruppi, ma el secodo i dati soo più dispersi attoro alla media. I gruppo 0aa 0aa 40aa 50aa 60aa R=40aa II gruppo 0aa 5aa 40aa 55aa 70aa R=60aa III gruppo 5aa 7aa 40aa 4aa 45aa R=0aa Le misure di dispersioe utilizzate: Pertato oltre ai valori medi vao itrodotti ache idici di misura della VARIABILITA' (o Dispersioe) dei dati. Le misure di dispersioe più usate soo:. campo di variazioe (rage);. deviaza;. variaza; 4. deviazioe stadard; 5. coefficiete di variazioe (idice di variabilità relativa); 6. differeza iterquartile. Campo di variazioe o rage R = Xmax - Xmi. Limiti del campo di variazioe è troppo ifluezato dai valori estremi; tiee coto dei due soli valori estremi, trascurado tutti gli altri. tede ad aumetare co l aumeto del umero di osservazioi. Occorre allora u idice di dispersioe che cosideri tutti i dati (e o solo quelli estremi), cofrotado questi co il loro valor medio. Tuttavia va ricordato che: (x i - x) = 0 i= Si potrebbe calcolare la somma dei valori assoluti: x i - x, ma i = tale quatità è difficile da trattare matematicamete. U idice alterativo è quello di cosiderare la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica DEVIANZA = ( x i - x ) i =

4 Esempio 5 : Valori del tasso glicemico i 0 soggetti X i (glicemia mg/00cc ) x _ = 95 x i x xi - x = 94 i = 0 i = (xi - x) ( xi - x ) = 596 Deviaza e Variaza La quatità 596 esprime la Deviaza della distribuzioe (Dev). Il limite della Deviaza come misura di dispersioe è quello di aumetare co il umero di osservazioi. Per otteere ua misura che o dipeda dalla umerosità si può dividere la deviaza per il umero. di dati, otteedo la Variaza: ( x i - x ) σ = i= = = ( mg / 00 cc ) Deviaza e Variaza I pratica il deomiatore è quasi sempre sostituito da (-) i modo da otteere ua stima corretta della dispersioe della variabile ella popolazioe da cui il campioe i esame è stato estratto. S = ( x i - X ) 596 = - 9 i = = 77. ( mg / 00 cc ) 4

5 Deviaza e Variaza Il limite della Variaza come misura di dispersioe è quella di avere ua uità di misura espressa al quadrato rispetto all'uità di misura origiale, per cui si utilizza la Deviazioe Stadard (D.S. o S.D.): ) ( x i - X s = D. S. = i= = 77. =. ( mg / 00 cc ) - Essa idica quato, i media, ciascu elemeto si discosta dalla media aritmetica. Deviaza e Variaza La Deviazioe Stadard è l'idice di variabilità più "reale" e, quidi, più utilizzato La Deviazioe Stadard per distribuzioi di frequeza: assume la seguete forma: D.S. = k (x i x) f i i= dove k è il umero di modalità della variabile statistica X o il umero di classi i cui i valori di X soo stati raggruppati. I tal caso le xi soo i valori cetrali delle classi. Esempio : Valori pressori massimi rilevati su 5 pazieti ipertesi PAS (mm Hg) f i x i f i xi - x ( x -x) f i i Somma

6 Esempio : _ Media Aritmetica: x = 965 / 5mmHg = 9 mmhg; Rage: R = = 5 mmhg; Deviaza: Dev = 90 (mmhg) ; Variaza: s = 90 / 4 (mmhg) =,5 (mmhg) ; Dev. St.: s =, 5 mmhg =5,5 mmhg; Coeff. Variaz.: CV% = (5,5 / 9) 00 = 7,9 %. Idici di variabilità relativi Idici di variabilità relativi: o dipedoo dall'uità di misura Coefficiete di Variazioe s Deviazioe Stadard C V = _ 00 = 00 x m ed ia aritm etica Per l Esempio 5 si ottiee:. mg / 00cc CV = 00 = 4. 0% 95mg / 00cc Idici di variabilità relativi E iteressate ache il cofroto tra i coefficieti di variazioe delle due serie di dati dell Esempio 0: per il gruppo I si ha: per il gruppo II si ha: 5.8 aa CV= 00= 9.50% 40aa 7. aa CV = 00 = 595%. 40aa risultati che cofermao la maggiore variabilità dei dati della secoda serie rispetto alla prima. 6

7 Idici di variabilità relativi Il Coefficiete di Variazioe è u umero puro, i quato rapporto di due gradezze omogeee, e perciò cosete il cofroto ache tra variabili eterogeee. L uso del C.V. si rede ecessario ogi qualvolta si voglioo cofrotare le misure di variabilità relative a distribuzioi le cui modalità soo espresse i uità di misure diverse (cofroto tra variabilità dell altezza e del peso) oppure soo espresse ella stessa uità di misura ma il loro valore medio risulta molto diverso (cofroto delle variabilità dei pesi fra u campioe di eoati ed uo di adulti). Ulteriori calcoli: Per il calcolo della mediaa (Me) e della Moda (Mo) della distribuzioe della pressioe si procede come ella tabella: I due esempi che seguoo illustrao il calcolo di idici medi e di variabilità el caso di dati raggruppati i classi di frequeze. PAS (mmhg) f i frequ. cumulate 5 5 / =,5 Me = 00 Mo= 05 Esempio : Azoto ureico (mg %) i u gruppo di 50 adolesceti: Azoto Somma val. cetr. (x i ) frequez e (f i ) frequ. cum x i * f i (x i - x) * f i

8 Esempio : x = 64.50/50 =.9 mg %; D.S. = 0. / 49 = 49. mg %; C.V.=.49/.9*00 = % calcolo mediaa: N/ = 50 / = 5 la classe mediaa (classe che comprede la mediaa) è data da:. - 5, ovvero. < Me < 5; calcolo moda: la frequeza più elevata si ha per la classe. - 5, duque:. < Mo < 5. Esempio : Il grafico seguete mostra l ISTOGRAMMA della distribuzioe dell azoto e, sovrapposta a questo, la curva della distribuzioe ormale (per lo studio di tale curva si veda i apputi successivi). Esempio : 5 0 Frequeze ,05 0,05,05 4,05 6,05 8,05 0,05 AZOTO 8

9 Esempio : Dosaggio della Fosfatasi Alcalia (UA) i 0 studeti Fosfatasi Alcalia Valore cetrale (x i ) frequeze (f i ) Fre qu. cum ul x i * f i (x i - x) * f i Esempio : MEDIA ( x) = 58 / 0 = 9; D.S. = 480 / 9 = 4.98; C.V. =4.98/9*00 = % calcolo mediaa: N/ = 0 / = 0 la classe mediaa è , ovvero 0.< Me <50; calcolo moda: la frequeza più elevata si ha per la classe , duque: 0.< Mo <50. I Quatili La misura della variabilità che è usata quado la localizzazioe cetrale dei dati è espressa dalla mediaa è il rage iterquartile. Come abbiamo visto la mediaa è usata quado la distribuzioe iclude valori estremi che tederebbero a ifluezare i maiera eccessiva la media. Questi valori estremi tederebbero a dare ache ua stima erroea della variabilità (il rage sarebbe troppo elevato). Abbiamo visto che la mediaa è ua misura cetrale che divide i due ua distribuzioe. 9

10 I Quatili Il rage iterquartile si calcola dividedo i due ciascua di queste due metà: la distribuzioe è così suddivisa i quattro parti e il rage iterquartile idetifica i valori compresi tra il e il quarti le. Il rage iterquartile ha la proprietà di elimiare l'iflueza dei valori estremi e (a differeza del rage) di essere relativamete idipedete dalla umerosità del campioe. Il rage iterquartile riuisce il 50% dei valori di ua distribuzioe, quidi è u'espressioe più "raggruppata" della media ±DS che raccoglie il 66% dei valori di ua distribuzioe ±DS. 0