STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI

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1 Leoardo Latella STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Il calcolo delle probabilità studia gli eveti casuali probabili, cioè quegli eveti che possoo o o possoo verificarsi e che dipedoo uicamete dal caso. Tale studio permette di assegare agli eveti casuali (o aleatori) u valore umerico al fie di poter cofrotare oggettivamete tali eveti e decidere quale tra essi ha maggiore probabilità di verificarsi. Se P(E)=1, ovvero la probabilità di u eveto è pari ad 1 l eveto è certo. Si possoo dare diverse defiizioi di probabilità. Defiizioe di probabilità secodo la cocezioe classica La probabilità P(E) di u eveto E è il rapporto fra il umero F dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il umero N dei casi possibili, giudicati egualmete possibili: F PE ( ) co PE ( ) 1 N se F=, cioè se o esistoo casi favorevoli al verificarsi dell eveto, questo è detto impossibile e la sua probabilità è ulla (P(E)=). Se F=N, cioè se tutti i casi soo favorevoli al verificarsi dell eveto, questo è detto certo e la sua probabilità è massima (P(E)=1). Uo dei puti deboli della cocezioe classica è la codizioe, pressoché impossibile da verificare, che tutti i casi i cui può maifestarsi il feomeo siao egualmete possibili. Tale defiizioe, ioltre, si può applicare quado l isieme dei casi è u isieme fiito. Defiizioe di probabilità secodo la cocezioe frequetista La cocezioe frequetista è basata sulla defiizioe di frequeza relativa di u eveto. Si defiisce frequeza relativa di u eveto i prove effettuate elle stesse codizioi, il rapporto fra il umero v delle prove elle quali l eveto si è verificato e il umero delle prove effettuate: v f co f 1 Quidi la probabilità di u eveto è il limite della frequeza dei successi, cioè del verificarsi dell'eveto, quado il umero delle prove tede all'ifiito. Se f = l eveto o si è mai verificato i quelle prove; se f = 1 (v = ) l eveto si è sempre verificato i quelle prove. La frequeza dipede dal umero delle prove fatte. Per uo stesso la frequeza può variare al variare del gruppo delle prove ifatti se si lacia 1 volte ua moeta e si preseta testa 54 volte, effettuado altri 1 laci si può presetare 48 volte. Secodo la legge empirica del caso, i ua serie di prove, ripetute u gra umero di volte, eseguite tutte elle stesse codizioi, la frequeza tede ad assumere valori prossimi alla probabilità dell eveto e l approssimazioe è tato maggiore quato più umerose soo le prove eseguite.

2 Geeralmete o si può dire quate prove siao ecessarie; il umero delle prove dipede dal feomeo i esame. Quidi se i casi possibili soo e l'isieme dei casi favorevoli soo A, per la teoria classica la probabilità che accada l'eveto A sarà metre per la teoria frequetista essa sarà p A p A A lim A La probabilità di otteere u 6 laciado u sigolo dado è: casi favorevoli = 1 (ossia la faccia che mostra il umero 6); casi possibili = 6 (ossia la faccia che mostra il umero 6 e le altre 5 facce). duque, la probabilità di otteere u 6 è 1/6,16 (*) e la somma delle probabilità delle sei facce, che possiamo cosiderare uguale, è Ovviamete, ua probabilità o è ua certezza. Ifatti, può beissimo accadere che su sei laci o si preseti mai la faccia co il umero 6; tuttavia, aumetado il umero di laci, si può costatare che effettivamete la frequeza co cui si preseta il umero 6 è molto vicia ad 1/6. La probabilità di otteere ivece due 6 laciado due dadi corrispode a: casi favorevoli = 1 (l'uica combiazioe i cui si presetao due facce che mostrao il umero 6); casi possibili = 36 (ossia tutte le combiazioi di due dadi che si possoo presetare, comprese quelle co il 6); quidi, la probabilità di otteere u doppio 6 è 1/36. I particolare la probabilità cercata si può ache calcolare moltiplicado tra loro le sigole probabilità di otteere u 6 quidi Più i geerale, questa regola vale ache per più dadi. Così, la probabilità di otteere tre 6 laciado tre dadi è Gli eveti per i quali vogliamo calcolare la probabilità del loro verificarsi, devoo essere idipedeti: quado laciamo due dadi, ifatti, o ha importaza che il lacio sia cotemporaeo. Voledo calcolare la probabilità che, laciado tre dadi, capitio due facce uguali, essa corrispode a 5/1,416 (*) e la probabilità che tutte e tre le facce siao uguali corrispode a 1/36,7 (*).

3 Laciamo cotemporaeamete tre dadi per 1 volte. I risultati otteuti soo riportati ella seguete tabella Lacio Dado1 Dado Dado3 Somma x (*) 3,47 3,63 3,

4 La percetuale di laci i cui si soo avuti due puteggi uguali (escludedo i casi i cui si presetao tre facce uguali) è il 34% (*), ivece quella dei laci i cui tutti e tre i puteggi erao uguali è l 8% (*); questi due valori differiscoo da quelli precedetemete calcolati a rappresetare che il lacio di u dado è idipedete da quello degli altri dadi e dal successivo lacio dello stesso. Percetuali relative al primo dado Percetuali relative al secodo dado Percetuali relative al terzo dado

5 Come si può otare le percetuali (che si preseti u valore per u dado) oscillao itoro al valore 16,7%, ovvero quello calcolato teoricamete tramite il calcolo delle probabilità (*). I due valori o coicidoo poiché il umero di laci effettuato è fiito. Percetuali relative ai tre dadi Ache cosiderado le percetuali relative ai tre dadi il valore medio oscilla itoro al valore 16,5. Per ua distribuzioe discreta di probabilità il valor medio o valore atteso, che rappreseta u umero verso il quale i valori otteuti tedoo all ifiito, è dato da E( x) xp( x ) quidi i 1 i i Ex ( ) 3,5 6 valore molto simile ai valori medi precedetemete calcolati (*). La variaza ivece è la differeza tra la media dei quadrati e il quadrato della media campioaria: che el caso dei 1 laci è,73. La deviazioe stadard è 1, 65 x La deviazioe stadard della media ivece è,95 x N x

6 Si cosideri la somma dei valori otteuti laciado i tre dadi. La tabella seguete riporta ella secoda coloa le tere di valori, la cui somma è costate, otteute laciado tre dadi. Come si può vedere dalla terza coloa per ogua di queste tere i valori si possoo presetare i diverse combiazioi ad esempio la tera (1,1,) si può presetare secodo tre combiazioi: (1,1,), (1,,1), (,1,1). Somme Tere Numero di combiazioi N tot Probabilità (%) 3 (1,1,1) 1 1,46 4 (1,1,) 3 3 1,39 5 (1,1,3) (1,,) 3 3 6,78 6 (1,1,4) (1,,3) (,,) ,63 7 (1,1,5) (1,,4) (1,3,3) (,,3) ,94 8 (1,1,6) (1,,5) (1,3,4) (,,4) (,3,3) ,7 9 (1,,6) (1,3,5) (1,4,4) (,3,4) (,5,) (3,3,3) ,57 1 (1,3,6) (1,4,5) (,3,5) (,4,4) (,6,) (3,3,4) ,5 11 (6,4,1) (6,3,) (5,4,) (5,3,3) (5,1,5) (4,4,3) ,5 1 (6,5,1) (6,4,) (6,3,3) (5,4,3) (5,,5) (4,4,4) ,57 13 (6,6,1) (6,5,) (6,4,3) (5,5,3) (5,4,4) ,7 14 (6,6,) (6,5,3) (6,4,4) (5,5,4) ,94 15 (6,6,3) (6,5,4) (5,5,5) ,63 16 (6,6,4) (6,5,5) 3 3 6,78 17 (6,6,5) 3 3 1,39 18 (6,6,6) 1 1,46 Somma 16 1 Come si può otare dalla tabella sovrastate le somme più probabili soo 1 e 11. Istogramma teorico associato alla distribuzioe: Somm a

7 L istogramma otteuto dai dati sperimetali è il seguete: Percetuali somme dei puteggi dei tre dadi Somma Somma % Questo grafico è diverso da quello teorizzato prima per il motivo che i laci effettuati soo fiiti.