Distribuzioni di probabilità

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1 Itroduzioe Distribuzioi di robabilità Fio ad ora abbiamo studiato ua secifica fuzioe desità di robabilità, la fuzioe di Gauss, che descrive variabili date dalla somma di molti termii idiedeti es. ua misura affetta da errori casuali. Abbiamo fatto ache l esemio di ua fuzioe desità di robabilità uiforme i u itervallo. Ora vediamo due fuzioi desità di robabilità risettivamete dette di eroulli e di Poisso che descrivoo feomei i cui risultati soo di tio discreto come oosto a cotiuo e ertato vegoo dette distribuzioi di robabiltà ivece che fuzioi. La loro raresetazioe grafica è u isieme di uti o u istogramma ivece che ua curva cotiua. Per ricavare la forma secifica di ciascua distribuzioe useremo le leggi della robabilità studiate ella lezioe 3: la legge della robabilità totale e la legge della robabilità comosta. Marta Calvi Lezioe, ag.

2 Distribuzioe di robabilità iomiale o di eroulli Defiizioe La distribuzioe biomiale descrive i rocessi caratterizzati da: u umero di rove idetiche fissato e fiito, ciascua rova ha due soli ossibili risultati successo o isuccesso, il successo ha robabilità costate di verificarsi. La distrubuzioe biomiale forisce quidi la robabilità di otteere v successi su rove idetiche, ota la robabilità di successo ad ogi rova:, co v. Partiamo co u esemio: si cerca la robabilità di otteere u certo umero di teste el lacio di moete. Marta Calvi Lezioe, ag.

3 Esemio: Cerchiamo la robabilità di otteere,,,3, teste su moete. Probabilità di otteere testa t =.5 Probabilità di otteere croce c = - t =.5 I ossibili risultati soo: teste quidi croci Poiché gli eveti soo statisticamete idiedeti, la robabilità comosta è data dal rodotto delle robabilità: P= c c c c =.5 =.65 testa quidi 3 croci Questo eveto uò verificarsi i diverse modalità, i ciascu caso la robabilità comosta è data dal rodotto delle robabilità: testacrocecrocecroce t c c c =.5 crocetestacrocecroce c t c c =.5 crocecrocetestacroce c c t c =.5 crocecrocecrocetesta c c c t =.5 La robabilità totale si ottiee come somma delle robabilità di ciascua modalità essedo queste mutuamete esclusive, ertato: P= =.5 Marta Calvi Lezioe, ag. 3

4 teste quidi croci Si vede facilmete che questo eveto uò verificarsi i sei diverse modalità, ertato: P= = teste quidi croce Poichè t = c il risultato è lo stesso che el caso di testa e 3 croci: P3= x.5 =.5 teste quidi croci Come er teste e croci: P=.5 =.65 Abbiamo costruito la distribuzioe di robabilità er il umero di teste otteute el lacio di moete. Possiamo disegare u istogramma: P Osserviamo che P+P+P+P3+P = 3 Marta Calvi Lezioe, ag.

5 Ricaviamo ora la forma geerale della distribuzioe di robabilità iomiale Cosideriamo u eveto casuale E rietibile, che abbia robabilità di verificarsi successo ad ogi rova costate idiedete dal verificarsi o meo di E ella rova recedete o successiva. La robabilità che si verifichi l eveto comlemetare isuccesso E = q. Voglio calcolare la robabilità dell eveto comlesso costituito dal verificarsi E esattamete volte su rove v. L eveto comlemetare E si verificherà quidi volte. Essedo le rove statisticamete idiedeti, la robabilità comosta è data dal rodotto delle robabilità di ciascua rova: è Marta Calvi Lezioe, ag. 5

6 Tale eveto comlesso uò verificarsi i diversi modi, mutuamete esclusivi, corrisodeti a tutte le diverse sequeze ossibili di successi ed isuccessi E,E,E. Per avere la robabilità totale devo quidi sommare le robabilità di ciascuo di questi modi. Essedo tali robabilità tutte uguali, basta moltilicare la robabilità trovata er il umero di modi. Questo è dato dal umero di combiazioi di oggetti scelti tra, che è: I defiitiva la robabilità cercata risultata data da:!!!,!!! robabilità di otteere robabilità di otteere umero di modi i cui successi e isuccessi ossoo resetarsi successi isuccessi Marta Calvi Lezioe, ag. 6

7 Prorietà della distribuzioe biomiale. Normalizzazioe,!!,! Essedo lo sviluo di u biomio rorio: [ [ q] ]!!! q. Valore medio di,!!!!!!!!!!!! ' ' ' ' Marta Calvi Lezioe, ag. 7

8 3. Deviazioe stadard disersioe attoro il valor medio, Per dimostrarlo utilizziamo l uguagliaza:,!!!!!!!!!,!!! ' ' ' ' Marta Calvi Lezioe, ag. 8

9 q. Per =½ la distribuzioe biomiale è simmetrica risetto,, Deriva dall uguagliaza: 5. Per e grade, la distribuzioe biomiale è be arossimata da ua gaussiaa avete stesso valor medio e stessa deviazioe stadard: x x L arossimazioe è buoa se, oure se etrambi 5, q 5. Marta Calvi Lezioe, ag. 9

10 Distribuzioi biomiali =.5 =. =.8 Marta Calvi Lezioe, ag.

11 Toriamo all esemio recedete: la robabilità di otteere,,,3, teste el lacio di moete. =, =½,!!!,,,!!!!!!!!!!!! 3!!!!.65 3! 3!.5 3!!!.375,, = Marta Calvi Lezioe, ag.