STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 4

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1 STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 4 Dott. Giuseppe Padolfo 21 Ottobre 2013 Percetili: i valori che dividoo la distribuzioe i ceto parti di uguale umerosità. Esercizio 1 La seguete tabella riporta la distribuzioe della variabile Numero di libri letti quest ao per 319 uità statistiche: Numero di libri i Totale Calcolare la moda, la mediaa, il primo e il o decile, il 73-esimo cetile della distribuzioe. Soluzioe Calcoliamo le frequeze assolute cumulate: Numero di libri i N i Totale 319

2 La moda è 4. N è dispari: Mediaa = X +1 2 = X = X 160 Quidi i base alle frequeze cumulate la mediaa è 5. La posizioe del primo decile è data da: D 1 = X = X 32 Quidi D 1 = 2. La posizioe del oo decile è data da: D 9 = X = X 288 Quidi D 9 = 8. La posizioe del 73-esimo cetile è data da: C 73 = X = X 233,6 Quidi C 73 = 6. MEDIA ARITMETICA Utilizzata per variabili quatitative. μ X = μ = x i Proprietà: 1) La somma dei valori x i assuti da uità statistiche è uguale al valor medio moltiplicato per il umero di uità: x i = μ

3 2) (Baricetricità) La somma delle differeze tra i valori delle x i e la loro media aritmetica μ è uguale a zero: x i μ = 0 3) La somma degli scarti al quadrato dei valori x i da ua costate c è miima quado c = μ: x i c 2 è miima per c = μ 4) (Associatività) Se u collettivo uità statistiche viee diviso i M sottoisiemi disgiuti di umerosità 1, 2,..., M, tali che h=1 h = co media μ 1, μ 2,, μ M allora la media aritmetica geerale μ è ua media poderata delle medie dei sottoisiemi co pesi uguali alla loro umerosità: μ = 1 M μ h h h=1 5) (Iteralità) La media aritmetica è sempre compresa tra il valore miimo e il valore massimo assuto dalle modalità della distribuzioe: x mi μ x max 6) (Liearità) Data la distribuzioe di ua variabile X co media μ, se moltiplichiamo ogi modalità per ua costate a e aggiugiamo ua costate b, la media della distribuzioe sarà uguale a aμ + b.

4 Esercizio 2 Di seguito è riportata la tabella dei dati relativi al umero di vai di 100 appartameti: Numero di vai i Totale 100 Calcoliamo la media aritmetica per la variabile Numero di vai. μ = x i i μ = = = 3,32 La media è 3,32. Verifichiamo le proprietà di iteralità, liearità e baricetricità. Iteralità mi(numero di vai) = 1 max(numero di vai) = 6 1 3,32 6

5 Liearità Moltiplichiamo le modalità della variabile Numero di vai per a = 2 e aggiugiamo poi ua costate b = 3: Numero di vai i Totale 100 μ ax + b = = 9,64 aμ + b = 2 3, = 9,64 Baricetricità , , , , , ,32 = 46,4 25,08 3, , ,2 + 34,84 = 0 Esercizio 3 La seguete tabella riporta la spesa bimestrale i euro per eergia elettrica per 73 appartameti: Classe i [0, 100) 22 [100, 200) 13 [200, 400) 24 [400, 600) 11 [600, 1000) 3 Totale 73 Calcoliamo la media aritmetica per la spesa bimestrale di eergia elettrica. Soluzioe

6 Per dati raggruppati i classi la media aritmetica viee calcolata ipotizzado che per ogi classe la frequeza si cocetri el valore cetrale della classe stessa x i = mi+max 2. Classe i x i [0, 100) [100, 200) [200, 400) [400, 600) [600, 1000) Totale 73 μ = = = 248,6 La media è 248,6 euro. Esercizio 4 I base ai dati riportati ella tabella seguete, determiiamo il rago percetile corrispodete al valore 450 utilizzado le frequeze cumulate e le desità di frequeza. Classe i [0, 100) 10 [100, 200) 15 [200, 400) 24 [400, 600) 31 [600, 1000) 37 Totale 117 La classe Mediaa è [400, 600).

7 Soluzioe Calcoliamo le frequeze assolute cumulate e le desità di frequeza: Classe i N i d i [0, 100) ,1 [100, 200) ,25 [200, 400) ,12 [400, 600) ,155 [600, 1000) ,0925 Totale 117 i 31 N i x x i x i 1 = 49 + i = 56,75 La posizioe è 57. I termii percetili N , = 100 = 48, Quaratottesimo percetile. Usado le desità di frequeza: d 4 = 50 = 50 0,155 = 7, La posizioe è MEDIANA Proprietà: 1) La mediaa è applicabile ache a variabili qualitative ordiali poiché per defiizioe richiede solamete che i termii siao ordiabili. Esempio: fascia di reddito (bassa, medio - bassa, media, medio - alta, alta).

8 2) La mediaa o varia se i valori miori (maggiori) di essa vegoo sostituiti da altri valori comuque miori (maggiori). La media aritmetica, ivece, è maggiormete ifluezata da valori aomali (o è robusta). Esempio: dati relativi al peso di 5 persoe 70, 65, 88, 90, 52 serie ordiata 52, 65, 70, 88, 90 La mediaa è 70 La media è 73 Se sostituiamo i valori estremi co altri valori: 60, 65, 70, 88, 98 La mediaa è 70 La media è 76,2 3) La somma degli scarti i valore assoluto delle modalità della variabile da ua costate c è miima quado c è la mediaa: x i c è miima per c = Me. INDICI DI VARIABILITA PER VARIABILI QUANTITATIVE Idice di mutua variabilità Seza ripetizioe: Co ripetizioe: Due possibili scelte: j =1 d x i x j ( 1) j =1 2 d x i x j Differeza semplice d x i, x j = x i x j Differeza quadratica d x i, x j = x i x j 2

9 Da cui differeza semplice media r = j =1 2 x i x j differeza quadratica media 2 x i x 2 j r = j =1 2 sostituedo 2 co ( 1) otteiamo la differeza media semplice e la differeza quadratica media seza ripetizioe. Esercizio 5 La seguete tabella di frequeze per sigole modalità riporta la variabile Peso rilevata per 80 uità. Peso i Totale 80 Calcolare la differeza semplice media e la differeza media quadratica. Soluzioe La variabilità di u feomeo può essere studiata i termii di differeza di ciascu dato da tutti gli altri. Tutte le differeze possibili compresa la differeza dell i-esimo valore da se stesso è ua matrice x. Nel ostro caso: c j c i

10 La seguete tabella riporta i prodotti i j j i Per tabelle di frequeza differeza semplice media r = j =1 2 x i x j i j differeza quadratica media r 2 = j =1 x i x j 2 i j 2 Sostituedo 2 co ( 1) otteiamo la differeza media semplice e la differeza quadratica media seza ripetizioe. Nel caso di dati i classi sostituiamo x i co i corrispodeti cetri x i. Differeza semplice media co ripetizioe r = ( ) + (10 52) + (30 27) + (10 52) 80 2 = = 9,19 Differeza quadratica media co ripetizioe r 2 = [( 20) ] + [( 30) 2 27] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] 80 2 = = 13,59

11 Differeza semplice media seza ripetizioe sr = ( ) + (10 52) + (30 27) + (10 52) 80(80 1) = = 9,3 Differeza semplice media seza ripetizioe sr 2 = [( 20) ] + [( 30) 2 27] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ] 80(80 1) = = 13,67