Esercitazioni di Statistica Dott. Danilo Alunni Fegatelli

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1 Esercitazioi di Statistica Dott. Dailo Alui Fegatelli Esercizio. Su 0 idividui soo stati rilevati la variabile X (geere) e (umero di auto possedute) X F F M F M F F M F M 3 Costruire la tabella di frequeze assolute a doppia etrata. X F M Esercizio : Sia data la seguete distribuzioe doppia (cogiuta) uitaria dei caratteri X = Fuzioalit`a del prodotto (difettoso, o difettoso) e X = Stadio del processo produttivo (I, II, III): X X I II No I III No III No II II No III I No I No II No I III III. idicare la atura dei caratteri;. idicare il umero di modalità e di uità delle distribuzioi margiali di X e X ; 3. determiare il umero di uità e di coppie di modalità;

2 4. costruire la distribuzioe cogiuta di frequeza (tabella di cotigeza) determiado le frequeze cogiute assolute e le frequeze assolute margiali; 5. costruire la distribuzioe di frequeze assolute cumulate e la distribuzioe di frequeze relative cumulate per il carattere opportuo.. I caratteri soo qualitativi, i particolare X è omiale dicotomico metre X è ordiale.. X ha due modalità (, No difettoso); X ha tre modalità (I, II,III) e soo rilevate su 4 uità 3. Le uità soo 4 metre il umero delle coppie di modalità è pari a 6, otteuto dal prodotto del umero di livelli dei due caratteri 4. Fuzioalità/Processo I II III Totale 3 7 No 3 7 Totale Ha seso calcolare le frequeze cumulate per il carattere ordiale X date da X N j F j I 5 5/4=0.36 II 9 9/4=0.64 III 4 4/4= Esercizio 3: La seguete tabella riporta il umero di impiegati i u certo comue per settore (X) e geere (). X\ M F Agricoltura Idustria Servizi Calcolare:. le distribuzioi di frequeze margiali assolute i, j ;. le frequeze relative cogiute f ij ; 3. le distribuzioi di frequeza margiali relative f i, f j.. Per ciascua modalit`a x i del carattere X, la frequeza margiale i si ottiee sommado le frequeze cogiute che si trovao sulla riga corrispodete. Aalogamete le frequeze margiali j per ciascua modalit`a y j del carattere, si ottegoo sommado le frequeze cogiute che si trovao sulla coloa corrispodete, i.. j = = j 3 i ij ij

3 X\ M F Totale Agricoltura =60 Idustria Servizi Totale Le frequeze relative cogiute si ottegoo dividedo le frequeze assolute cogiute per la umerosit`a = 0860 come da tabella sotto f ij = ij / X\ M F Agricoltura 400/0860= Idustria Servizi Per ciascua modalit`a, le frequeze margiali relative fi_, f_j si ottegoo i modo aalogo rispetto alle frequeze margiali assolute (puto ): X\ M F Totale Agricoltura Idustria Servizi Totale Esercizio 4. Data la seguete distribuzioe doppia di frequeze X y y y 3 y 4 x x x calcolare:. le distribuzioi di frequeze assolute margiali dei due caratteri;. le distribuzioi relative codizioate (profili riga e coloa); 3. i caratteri soo idipedeti?. le distribuzioi margiali per i due caratteri risultao X i i x y 8

4 x 33 y x 3 y y le distribuzioi relative codizioate risultao - Profili riga X y y y 3 y 4 x x x Profili coloa X y y y 3 y 4 x x x I caratteri soo idipedeti i quato le distribuzioi relative codizioate di u carattere rispetto alle modalità dell'altro soo tra loro uguali.

5 Esercizio 5. Data la seguete distribuzioe doppia delle variabili X (umero dipedeti) e (fatturato, i migliaia di euro) su di u collettivo di aziede X < > 500 < > calcolare:. quate aziede hao u fatturato compreso tra 00 e 500;. quate aziede hao u umero di dipedeti superiore a 5 ed u fatturato superiore a 500; 3. tra le aziede co fatturato iferiore a 50, qual è la percetuale di aziede co u umero di dipedeti compreso tra 3 e 5?; 4. tra le aziede co u umero di dipedeti superiore a 5, qual è la percetuale di aziede co u fatturato superiore a 00?; 5. le distribuzioi di frequeze assolute per i caratteri X e ; 6. le distribuzioi relative codizioate (profili riga e coloa); 7. le medie codizioate del carattere rispetto alle modalità del carattere X (si cosideri come estremo superiore dell ultima classe 000); 8. i caratteri X e soo idipedeti?. Quate aziede hao u fatturato compreso tra 00 e 500? 0. Quate aziede hao u umero di dipedeti superiore a 5 ed u fatturato superiore a 500? Tra le aziede co fatturato iferiore a 50, qual è la percetuale di aziede co u umero di dipedeti compreso tra 3 e 5? (60/60)*00 = 37.5% 4. Tra le aziede co u umero di dipedeti superiore a 5, qual è la percetuale di aziede co u fatturato superiore a 00? [(40+30)/0]*00 = 63.64% 5. le distribuzioi margiali risultao X i i < 3 60 < > > le distribuzioi relative codizioate risultao - per riga

6 < > 500 < > per coloa < > 500 < > le medie codizioate soo pari a x y X=x < > I caratteri o soo idipedeti. Esercizio 6. Co riferimeto alla distribuzioe di u collettivo di idividui secodo i caratteri X ed X M F A 4 6 B 4 9 C 5 5. calcolare le frequeze teoriche sotto l ipotesi di idipedeza tra i due caratteri;. calcolare le frequeze sotto l ipotesi di perfetta dipedeza tra i due caratteri.. Sotto l'ipotesi di idipedeza, le frequeze cogiute ij soo date da ij = i j / X M F

7 A B C La tabella di frequeze o è quadrata duque o può sussistere iterdipedeza perfetta tra i due caratteri. Si può solo avere dipedeza perfetta di da X i quato il carattere ha u umero iferiore di modalità. U esempio di tale dipedeza è dato dalle segueti frequeze X M F A B C Esercizio 7. La tabella di frequeza sottostate riporta la distribuzioe di 800 studeti secodo il voto coseguito all esame di Diritto Privato () e secodo la frequeza delle lezioi al corso (X): Voto [8,0] [,3] [4,6] [7,8] [9,30] Totale Frequetazioe = Si Frequetazioe = No Totale Calcolare: : Calcolare le medie codizioate : Calcolare il rapporto di correlazioe (idice η di Pearso). La media codizioata di u carattere codizioata alla modalità i-esima del carattere X è: k yi = y jij i. j Nel caso di rappresetazioi i classe può essere approssimata cosiderado il valore cetrale della classe. Quidi per prima cosa riportiamo la tabella di parteza co l idicazioe per dei valori cetrali delle classi: Voto Totale Frequetazioe = Si

8 Frequetazioe = No Totale Quidi la media codizioata di dato che X=Si è pari a: y X Si Si 5 j y j ij = [(9*43)+(*79)+(5*85)+(7.5*85)+(9.5*60)]/35 = 4.96 Metre, la media codizioata di dato che X=Si è pari a: 5 yx No y jij = [(9*66)+(*63)+(5*07)+(7.5*48)+(9.5*64)]/448 = 3.94 No j Si dirà che la compoete è idipedete i media da X se al variare delle modalità di X le medie codizioate di X soo uguali tra loro (e quidi uguali alla media geerale). I questo caso quidi o si ha idipedeza i media tra i due caratteri.. Per valutare quata parte della variabilità totale dei voti è attribuibile alla dipedeza del voto medio dalla frequeza alle lezioi, si utilizza il rapporto di correlazioe (idice η di Pearso) il quale è basato sulla proprietà di scomposizioe della deviaza: Dove: Dev TOT () Dev INT () k j k j h ( y j y). j h i ( y y ) Dev EST () ( yi y) i. i j Dev TOT () = Dev INT () + Dev EST () i ij La media del carattere è data da: e cioè: k y y j. j j h i y. i i y = [(9*09)+(*4)+(5*9)+(7.5*33)+(9.5*4)]/800 = (4.96* *448)/800 = 4.39 La deviaza totale è quidi: Dev TOT () = (9-4.39) *09 + (-4.39) *4 + (5-4.39) *9 + ( ) *33 + ( ) *4 = Dev INT () = (9-4.96)^*43 + (-4.96)^*79 + (5-4.96)^*85 + ( )^*85 + ( )^*60 + (9-3.94)^*66 + (-3.94)^*63 + (5-3.94)^*07 + ( )^*48 + ( )^*64 = Dev EST () = ( ) *35 + ( ) *448 = (Piccole imprecisioi ei valori dovute alle approssimazioi )

9 Il rapporto di correlazioe sarà quidi dato da: Dev Dev () () EST X TOT 0.0 Quidi il.% della variabilità del carattere voto all esame è spiegato dal suo dipedere i media dalla frequeza alle lezioi. Esercizio 8. Per ciascua delle segueti distribuzioi, forire il grafico di dispersioe degli scostameti dalla media, calcolare la covariaza e il coefficiete di correlazioe lieare tra i caratteri X e. x y x y x y

10 prima distribuzioe x i x i - x y i y i - y x i y i x i y i Media di X: x = 60 / 6 = Media di : y = 58 / 6= Mometo secodo di x: x ( ) = å x i = 68 / 6 =03 Variaza di X: s X = x ( ) - x =03-00 = 3 Scarto quadratico medio di X: s X = s X = 3 Mometo secodo di : y ( ) = 570 / 6 = 95 Variaza di : s = 95 ( 58 / 6) =.5 i= Scarto quadratico medio di : σ = σ =. 5 Covariaza: X= xi yi xy = 580 / / 6 = 0 Correlazioe: / = = 0 - secoda distribuzioe: ρ X = terza distribuzioe: ρ X = i X = X X 3 0.5

11 Esercizio 9. Su 5 uità statistiche soo stati osservati due caratteri X e co le segueti realizzazioi: - I caratteri X e soo idipedeti? - I caratteri X e soo icorrelati? X 3 3. Distribuzioe di frequeze relative di codizioate ai diversi valori di X X I caratteri o soo idipedeti.. x i y i x i y i x i y i

12 Media di X: x = 9 / 5 Media di : y = Mometo secodo di x: x ( ) =9 / 5 Variaza di X: σ X =9/5 (9/5) =4/5 Scarto quadratico medio di X: σ X = σ X = 4/5 Mometo secodo di : y ( ) = / 5 Variaza di : σ =/5 = /5 Scarto quadratico medio di : Covariaza: σ = σ = /5 s X = åx i y i - xy =8 / 5-9 / 5 = 0 0 Correlazioe: ρ X =σ X /(σ X σ )= 4/5 /5 =0 Esercizio 0. Date le segueti statistiche descrittive sui valori dei caratteri X ed rilevati su ua popolazioe x y x i y i x i y i calcolare il coefficiete di correlazioe. Mometo secodo di x: x ( ) =45 / 5 = 9 Variaza di X: σ X =9 5 =4 Scarto quadratico medio di X: σ X = σ X = Mometo secodo di : y ( ) = 63 / 5 =4.6 Variaza di : σ =4.6 =3.6 Scarto quadratico medio di : σ = σ =.9 Covariaza: X = xi yi xy = = 3.4 Correlazioe: ρ X =σ X /(σ X σ )=3. 4 / (.9)=0. 9