METODOLOGIA DELLA RICERCA EMPIRICA SULLA SOCIETA E LA FAMIGLIA

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1 METODOLOGIA DELLA RICERCA EMPIRICA SULLA SOCIETA E LA FAMIGLIA Elemeti di statistica descrittiva Dispesa ad uso degli studeti A cura di Gia Carlo Blagiardo e Michela Cameletti Idice 1. Statistica descrittiva uivariata 1.1. Defiizioe e classificazioe delle variabili statistiche 1.. Distribuzioi di frequeza 1.3. Idici di posizioe: quatili, moda e media 1.4. Idici di variabilità: idice di Gii e variaza. Statistica descrittiva bivariata.1. Tabelle di cotigeza.. Idipedeza statistica e coessioe.3. Associazioe.4. Cograduazioe.5. Correlazioe.6. La retta di regressioe 1

2 1. Statistica descrittiva uivariata 1.1 Defiizioe e classificazioe delle variabili statistiche La statistica, ella sua veste di scieza descrittiva, utilizza le iformazioi derivati da u idagie compiuta su ua popolazioe di soggetti (di qualuque atura: persoe, aimali, cose, ecc.) per dare ua rappresetazioe globale, il più possibile esaustiva e, allo stesso tempo, parsimoiosa. A questo scopo, la statistica si avvale delle iformazioi derivati da certi caratteri (o variabili statistiche) che si maifestao sui soggetti di iteresse. Per ua migliore compresioe degli strumeti statistici che verrao presetati successivamete, si cosiderio le segueti defiizioi: Uità statistica: è il soggetto elemetare dell idagie statistica per la sua apparteeza ad ua popolazioe di iteresse (ad esempio, i u idagie sul gradimeto del di u certo prodotto, la popolazioe obiettivo sarà costituita da tutti i cosumatori e oguo di essi rappreseterà u uità statistica). È importate ricordare che la statistica descrittiva prede i cosiderazioe l itera popolazioe el suo complesso (per questo motivo è possibile parlare di idagie cesuaria); vedremo successivamete come, ivece, la statistica ifereziale cocetri la sua attezioe solamete su u sottogruppo (campioe) di uità statistiche estratte casualmete dalla popolazioe di iteresse; Variabile statistica: si può defiire variabile statistica l isieme delle maifestazioi (successivamete defiite modalità) di u carattere rilevabili sulle uità statistiche (ad esempio, tutte le quatità rilevate presso i cosumatori cocorroo a formare la variabile statistica cosumo del prodotto ). Le variabili statistiche vegoo classificate come segue: Variabile statistica qualitativa: titolo di studio, azioalità, colore dei capelli, giudizio attribuito ad u certo spot pubblicitario, soo esempi di variabili qualitative le cui modalità soo rappresetate da sostativi o aggettivi (ad esempio, scuola dell obbligo, diploma, laurea di primo livello potrebbero essere le modalità della prima variabile, iguardabile, accettabile, gradevole, bello dell ultima). Ua variabile qualitativa è detta omiale o scoessa quado le modalità o possoo essere poste i u sistema di ordiameto (per esempio, le modalità maschio, femmia per la variabile sesso ); diversamete ua variabile è detta ordiale, ovvero è possibile ordiare le modalità secodo u ordie crescete o decrescete (per esempio, isoddisfatto, soddisfatto, molto soddisfatto per il carattere grado di soddisfazioe ad u certo servizio ); Variabile statistica quatitativa: età i ai compiuti, umero di fratelli, peso, altezza, umero di giori trascorsi all estero durate l ao, soo esempi di variabili quatitative le cui modalità soo rappresetate da umeri. I particolare, la variabile si dice discreta (o è resa discreta) se le modalità umeriche appartegoo all isieme dei umeri aturali (ad esempio, umero di fratelli come variabile per sua atura discreta ed espressa co umeri iteri

3 del tipo, 1,, oppure voto otteuto ad u certo esame come variabile resa discreta dall approssimazioe ed espressa co modalità apparteeti all isieme 18, 19,, 9, 30), o cotiua se, ivece, le modalità appartegoo all isieme dei umeri reali (si pesi, ad esempio, alla misurazioe della variabile altezza espressa i metri e effettuata co uo strumeto a precisioe millimetrica: m.1,789 potrebbe essere ua delle ifiite maifestazioi della variabile). Per la atura stessa di ua variabile statistica cotiua, i grado di assumere ifiiti valori, solitamete si procede alla classificazioe delle modalità osservate i classi di valori (ad esempio, tutte le altezze comprese tra m.1,700 e m.1,799 potrebbero cofluire ell itervallo [1,700-1,800), ove l estremo iferiore è compreso ell itervallo ed è covezioalmete idicato co ua paretesi quadra metre l estremo superiore è escluso e covezioalmete idicato co ua paretesi toda). Ua volta coclusa l idagie statistica il ricercatore si trova i possesso di ua matrice di dati composta da u umero di righe pari al umero di uità statistiche osservate (d ora i avati, idicheremo co il termie la umerosità della popolazioe idagata) e u umero di coloe pari al umero di variabili rilevate, come ella tabella qui di seguito riportata. Uità statistiche Variabili rilevate X Y Z W Voto Altezza Sesso Gradimeto MODALITÀ Nelle celle itere della matrice verrao iserite le modalità co cui ogi sigola variabile si è maifestata su ogi uità statistica. Ad esempio, ella cella all icrocio della prima riga e della prima coloa idicato il voto otteuto dal primo soggetto (che qui idetifica la prima uità statistica), ella cella all icrocio dell eesima riga e della quarta coloa verrà idicato il gradimeto espresso dall eesimo soggetto, e così via. Ogi coloa della matrice, i defiitiva, cotiee tutte le modalità co cui ua sigola variabile si è maifestata ella popolazioe (ua variabile, tati soggetti) e ogi riga cotiee tutte le modalità che u sigolo soggetto ha maifestato per le variabili idagate (u soggetto, tate variabili). Il seguete schema riassume i forma grafica i cocetti fio ad ora esposti. 3

4 : umerosità della popolazioe = umero di uità statistiche idagate Idagie statistica MATRICE DI DATI Variabili rilevate Uità statistiche 1 X 1 X X m Modalità della variabile X 1 rilevata sull'uità statistica 1 Modalità della variabile X m rilevata sull'uità statistica Variabile statistica qualitativa Variabile statistica quatitativa Variabile statistica qualitativa NOMINALE Variabile statistica qualitativa ORDINALE Variabile statistica quatitativa DISCRETA Variabile statistica quatitativa CONTINUA 4

5 Per la realizzazioe degli esempi umerici coteuti ei prossimi capitoli, verrao utilizzati i segueti dati fittizi otteuti da ua popolazioe di =0 idividui che hao partecipato ad u corso di teis; le variabili rilevate soo voto (i tretesimi) otteuto al termie del corso (variabile quatitativa discreta), altezza i cm (variabile quatitativa cotiua), sesso (variabile qualitativa omiale), gradimeto dell orgaizzazioe e della qualità dei maestri (variabile qualitativa ordiale) e titolo di studio (variabile qualitativa ordiale ). Tabella 1: matrice di dati Uità statistiche Variabili rilevate su ogi uità statistica Z Y X W L Voto Altezza Sesso Gradimeto Titolo di studio ,3 Maschio Basso Liceza scuola media if ,03 Maschio Medio Diploma 3 173,74 Femmia Basso Diploma ,6 Maschio Alto Liceza scuola media if ,1 Femmia Alto Liceza scuola media if ,76 Femmia Alto Liceza scuola media if ,41 Maschio Basso Diploma ,53 Femmia Basso Diploma ,97 Femmia Medio Liceza scuola media if ,84 Maschio Basso Liceza scuola media if ,57 Maschio Alto Diploma ,05 Maschio Alto Laurea I livello ,88 Femmia Medio Laurea I livello ,35 Maschio Medio Diploma ,9 Femmia Basso Liceza scuola media if ,0 Femmia Basso Laurea I livello ,4 Femmia Medio Diploma ,00 Maschio Basso Laurea I livello ,74 Femmia Alto Diploma ,99 Femmia Alto Diploma La statistica descrittiva uivariata ha come obiettivo lo studio della distribuzioe di ogi variabile, sigolarmete cosiderata, all itero della popolazioe (aalisi per coloa) metre la statistica descrittiva bivariata si occupa dello studio della distribuzioe di due variabili cogiutamete cosiderate. Nell ambito dell aalisi uivariata si ituisce come, el caso i cui la umerosità della popolazioe (ovvero il umero di righe della matrice) sia elevata, diveti estremamete difficile per il ricercatore riuscire ad avere u idea di come la variabile oggetto di studio si distribuisca all itero della popolazioe. Per questo motivo, risulta ievitabile la ricerca di strumeti per ua visualizzazioe immediata e compatta di tutte le modalità osservate (distribuzioe di frequeza) e l utilizzo di idici i grado di riassumere i u uico 5

6 LISTA DI DATI valore le caratteristiche salieti della variabile osservata: le sue maifestazioi i media (idici di posizioe) e il grado di dispersioe co cui esse ricorroo (idici di variabilità). 1. Distribuzioi di frequeza Data ua lista di tutte le modalità di ua variabile osservata sugli idividui della popolazioe idagata, è possibile ricompattare i dati i ua distribuzioe di frequeza. Quest operazioe sposta il puto focale dell idagie dalle sigole uità statistiche alle modalità rilevate x i (i=1,,,) e al umero di soggetti che le hao maifestate. Si cosideri, ad esempio, la variabile qualitativa sesso della Tabella 1.: X Uità statistiche Sesso 1 Maschio Maschio 3 Femmia 4 Maschio 5 Femmia 6 Femmia 7 Maschio DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA 8 Femmia X Sesso frequeze assolute 9 Femmia x i i 10 Maschio Femmia Maschio Maschio 9 1 Maschio Somma 0 13 Femmia 14 Maschio 15 Femmia 16 Femmia 17 Femmia 18 Maschio 19 Femmia 0 Femmia Si ituisce chiaramete come la distribuzioe di frequeza sia i grado di compattare la lista di dati dado u immagie immediata e di facile lettura della distribuzioe del carattere i oggetto. Nel caso i esame, la variabile sesso si è maifestata ella popolazioe co due modalità x 1=femmia e x =maschio, idicate ella prima coloa della distribuzioe di frequeza (=); ella secoda coloa vegoo idicate le frequeze assolute i (i=1,,,) ovvero quate uità statistiche hao maifestato le corrispodeti modalità (ella popolazioe i esame si soo rilevati 11 femmie e 9 maschi). Si oti che la somma delle frequeze assolute per tutte le modalità riproduce la 6

7 umerosità della popolazioe 1 ( 1... i ). Accato alla i1 coloa delle frequeze assolute è possibile aggiugere quella delle frequeze relative p i (i=1,,,), otteute dividedo ogi i per la umerosità totale i,..., i ( p ; i 1, ). I questo caso, si oti che la somma delle frequeze relative per tutte le modalità è pari a 1 ( p 1 p p p i 1 i1... ). Ioltre, moltiplicado le frequeze relative per 100 è possibile otteere le frequeze relative percetuali p i% (i=1,,,), ( pi % pi 100; i 1,,..., 1 i1 le modalità è pari a 100 ( p % p %... % % 100 ). p p i ), la cui somma per tutte X Sesso Frequeze assolute Frequeze relative Frequeze relative percetuali x i i p i p i% Femmia 11 0,55 55 Maschio 9 0,45 45 Somma Dalla distribuzioe di frequeza costruita per la variabile X sesso si deduce che il 55% della popolazioe idagata è costituita da femmie e il restate 45% da idividui di geere maschile. Si osservi che le frequeze relative (e relative percetuali) hao il pregio di elimiare l effetto della umerosità della popolazioe; per questo motivo, esse vegoo utilizzate per cofrotare la distribuzioe di uo stesso feomeo rilevato su due popolazioi distite e co differeti umerosità. Qui di seguito vegoo riportate le distribuzioi di frequeza per le variabili W e Z. W Gradimeto Frequeze assolute Frequeze relative Frequeze relative percetuali w i i p i p i% Basso 8 0,4 40 Medio 5 0,5 5 Alto 7 0,35 35 Somma La somma di elemeti idicati co lo stesso simbolo e differeziati da u depoete che si accresce ogi volta di ua uità, ad esempio x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7, si può scrivere (solo per comodità) utilizzado la covezioe del simbolo di sommatoria. Nell esempio qui cosiderato basterà scrivere la 7 somma siteticamete come x i (che si legge: sommatoria di x i per i che va da 1 a 7) i1 7

8 Z Voto Frequeze assolute Frequeze relative Frequeze relative percetuali z i i p i p i% , , , , , , , ,1 10 Somma Si oti come già per la variabile quatitativa discreta Z il umero di modalità osservate sia superiore rispetto ai due casi precedeti, motivo per cui può risultare discutibile la capacità riassutiva della distribuzioe di frequeza. Questo problema si avverte maggiormete el caso di variabili quatitative cotiue per le quali può addirittura capitare che le frequeze assolute assumao valore uitario per tutte le modalità. E il caso, per esempio, della variabile Y altezza per la quale (se, come el ostro esempio, la misurazioe è stata fatta co ua certa precisioe) essua modalità osservata si maifesta per più di u uità statistica. Per sopperire a questo problema il ricercatore può fissare a priori delle classi di modalità e, i seguito, costruire el modo classico la distribuzioe di frequeza che sarà caratterizzata da classi aziché da modalità. I pratica, la geerica classe del tipo (x i-1, x i], i=1,,,, coterrà tutte le modalità della variabile i oggetto comprese, come aticipato, tra x i-1 (escluso) e x i (icluso). Si ipotizzi, ad esempio, di costruire 6 classi di modalità per la variabile Y - ( ], ( ], ( ], ( ], ( ], ( ]. La scelta di queste classi, i questo caso, deriva da ua cosiderazioe di carattere prettamete pratico; si ricordi, però, che ella letteratura statistica esistoo diversi riferimeti a particolari teciche per la costruzioe delle classi di modalità. Y Altezza Frequeze assolute Frequeze relative Frequeze relative percetuali y i i p i p i% ( ] 4 0, 0 ( ] 1 0,05 5 ( ] 3 0,15 15 ( ] 3 0,15 15 ( ] 4 0, 0 ( ] 5 0,5 5 Somma Idici di posizioe: quatili, moda e mediaa Come già detto i precedeza, l obiettivo pricipale della statistica descrittiva è quello di forire chiavi di lettura dei feomei osservati di rapida ed immediata iterpretazioe; gli idici di posizioe rappresetao uo degli strumeti più utilizzati per questo scopo. Essi soo i grado di riassumere i u uico valore l adameto geerale dell itera distribuzioe. I pricipali idici di posizioe soo la MODA, i QUANTILI di ordie p 8

9 (ai quali appartiee la più famosa MEDIANA), e le MEDIE ANALITICHE (alle quali appartiee la più famosa MEDIA ARITMETICA). Di seguito verrao presetate delle schede riassutive per ogi idice, coteeti le modalità di calcolo, i pregi e difetti oché le avverteze per i casi particolari. Per il mometo è importate sapere che il tipo di variabile statistica co cui si sta lavorado pregiudica talvolta la scelta degli idici di posizioe. Come si può vedere dalla tabella seguete, ifatti, solamete la moda può essere calcolata per tutte le tipologie di variabile; i quatili, ivece, poiché si avvalgoo del cocetto di frequeza cumulata (di cui si dirà tra breve), si possoo computare uicamete per variabili qualitative ordiali e per variabili quatitative. Ifie, la media aritmetica (e più i geerale le medie aalitiche), per sua stessa defiizioe, può essere calcolata solamete per variabili quatitative. Tabella : idici di posizioe per tipologia di variabile statistica Idice di posizioe Variabile qualitativa omiale Variabile qualitativa ordiale Variabile quatitativa discreta Variabile quatitativa cotiua Moda Quatili di ordie p (tra cui la mediaa) Medie aalitiche (tra cui la media aritmetica) Prima di procedere co la trattazioe, è ecessario itrodurre il cocetto di frequeza cumulata, calcolabile per quelle variabili le cui modalità presetao u ordiameto itriseco (variabili qualitative ordiali) o umerico (variabili quatitative discrete e cotiue). La frequeza cumulata N i, associata alla modalità i-esima (i=1,,,), idica il umero di uità statistiche che hao maifestato ua modalità iferiore o uguale alla i-esima. Si faccia riferimeto, a titolo di esempio, alla distribuzioe di frequeza della variabile W gradimeto. W Gradimeto Frequeze assolute Frequeze cumulate w i i N i Basso 8 =8 (N 1) Medio 5 =8+5=13 (N ) Alto 7 =13+7=0 (N 3) Somma 0 Dalla tabella emerge che 13 soggetti (N ) hao espresso u livello di gradimeto iferiore o uguale a medio e che, ovviamete, 0 soggetti (ovvero tutti) hao u livello di gradimeto iferiore o uguale ad alto (per questo motivo si ha che N = per ogi distribuzioe di frequeza). Le frequeze cumulate rappresetao, i defiitiva, ua sorta di ordie di arrivo delle uità statistiche che hao partecipato alla rilevazioe: i primi 8 soggetti che tagliao il traguardo portao sulla pettoria l idicazioe livello di gradimeto basso, i successivi 5 soggetti (i totale soo arrivati 13 soggetti) livello di gradimeto medio ; ifie, gli ultimi 7 soggetti ad arrivare portao ua pettoria co la scritta livello di soddisfazioe 9

10 alto. I questa ottica, si ituisce, ad esempio, che l uità statistica che occupa la 10 posizioe della classifica è associata alla modalità livello di soddisfazioe medio. Moda Defiizioe La moda è quella modalità della distribuzioe di frequeza alla quale è associata la frequeza assoluta (o relativa) maggiore. Procedimeto di calcolo Bisoga ricercare ella coloa delle frequeze assolute i (o delle frequeze relative p i) il valore più elevato e risalire successivamete alla modalità corrispodete. Pregi e difetti La moda è u idice di posizioe facilmete calcolabile; purtroppo esso o è sempre i grado di discrimiare sufficietemete la distribuzioe della variabile. Si cosiderio, ad esempio, le segueti distribuzioi: a=b=c=: oostate la moda sia pari a 4 i tutti e tre i casi, le distribuzioi appaioo profodamete diverse. Si cosideri, ioltre, il seguete caso: a=: la distribuzioe è bimodale (possiede due valori modali) ma le modalità 1 e 9 soo agli estremi, motivo per cui è preferibile affermare che la moda o esiste perché o si rivela u idice i grado di riassumere l adameto dei dati. Casi particolari Per variabili quatitative cotiue co modalità raggruppate i classi di ampiezza diversa (come è il caso della variabile Y) si parla di classe modale (e o di valore modale) e il suo calcolo passa attraverso la valutazioe delle desità di frequeza i (i=1,,,k) aziché delle frequeze assolute. I questo caso, ifatti, è ecessario teer coto ache dell ampiezza d i (i=1,,,k) di ogi classe poiché può succedere che ua classe cotega al suo itero u gra umero di soggetti solamete per il fatto che è i essa molto ampia. I questo caso, dopo aver calcolato le desità di frequeza, i=1,,, (dove i è la frequeza assoluta della classe i-ma e d i la sua ampiezza), si idividua la classe modale come quella alla quale è associata la desità di frequeza più alta. Avverteze Qualora esistao due o più modalità associate alla stessa frequeza assoluta più alta si proceda come segue: a) el caso di variabili qualitative e di variabili quatitative cotiue i classi, si affermi che la distribuzioe è plurimodale; b) el caso di variabili quatitative discrete, si affermi che la distribuzioe è plurimodale oppure si effettui ua media delle modalità modali idividuate, sempre che queste o siao troppo distati (i questo caso, ifatti, ua media di modalità molto diverse appiattirebbe la distribuzioe, ascodedo la preseza di due modalità modali ma distati). i d i 10

11 X Sesso x i Frequeze assolute i Femmia 11 Maschio 9 Somma 0 La moda per la variabile X è femmia.. W Gradimeto w i Frequeze assolute La moda per la variabile W è basso gradimeto. Si oti come, i questo caso, ache la modalità alto possieda ua frequeza assoluta (7) prossima a quella modale (8). i Basso 8 Medio 5 Alto 7 Somma 0 Z Voto z i Frequeze assolute i Somma 0 La moda per la variabile Z è

12 Frequeze Desità di Ampiezze Y Altezza assolute frequeza y i i d i i ( ] 4 5 0,8 =(4/5) ( ] 1 5 0, =(1/5) ( ] 3 5 0,6 =(3/5) ( ] 3 5 0,6 =(3/5) ( ] 4 5 0,8 =(4/5) ( ] ,5 =(5/10) Somma 0 Per quato riguarda la variabile Y, dall aalisi della corrispodete tabella emergoo le segueti cosiderazioi: a) Alla classe ( ], co la frequeza assoluta più alta (5), o corrispode la desità di frequeza maggiore (0,5), a testimoiaza dell effetto dell ampiezza della classe. b) Esistoo due classi a cui è associata la desità di frequeza maggiore (0,8): i situazioi come queste si può cocludere che la distribuzioe è bimodale oppure che la moda o esiste. 1

13 Quatile di ordie p (x p) Defiizioe Il quatile di ordie p (p (0,1)) è quella modalità della distribuzioe che lascia prima di sé almeo il p% delle uità statistiche idagate e dopo di sé almeo il restate (1-p)%. Alla famiglia dei quatili appartiee la più famosa mediaa per la quale p=0,5 (prima e dopo di sé si collocao almeo il 50% dei casi): mediaa =(x 0,5). Quatile è il termie geerico che idividua ua famiglia di idici di posizioe. I realtà quado p assume u valore apparteete all isieme 1;0,; ;0,9 si parla di decili (primo, secodo oo), oppure di percetili quado p assume u valore dell isieme 0.01;0.0; ;0.99 e, ifie, di quartili quado p assume uo dei segueti valori 0.5;0.50;0.75. I particolare, si oti che la mediaa è il 5 decile, il 50 percetile e il quartile. Procedimeto di calcolo E utile costruire la coloa delle frequeze cumulate N i (i=1,,,); successivamete si deve idividuare la posizioe quatile, ua volta defiita a priori la sua posizioe. A questo proposito si svolga il prodotto (*p) (dove è la umerosità della popolazioe) e si proceda come segue: a) se il prodotto (*p) restituisce u valore itero, si cosideri la posizioe (*p) e la successiva(*p+1); b) se il prodotto (*p) restituisce u valore decimale si arrotodi per eccesso il valore otteuto e lo si cosideri come posizioe. Ua volta calcolata/e la/le posizioi occorre idividuarla/e ella coloa delle frequeze cumulate e successivamete risalire alla/e modalità corrispodete/i. Pregi e difetti Se da ua parte il calcolo del quatili di ordie p risulta leggermete più complicato di quello della moda, dall altra u idice di questo tipo risulta essere più adatto ad iterpretare la distribuzioe del carattere i esame. Il quatile, ifatti, teedo coto della posizioe delle uità statistiche, o si limita a defiire quale/i modalità si presetao più spesso besì stabilisce ua ripartizioe della popolazioe i base ad ua modalità rappresetativa x p. Casi particolari Per variabili quatitative cotiue co modalità raggruppate i classi (come è il caso della variabile Y) si parla di classe quatile (x i-1,x i] di ordie p (e o di quatile), otteibile secodo il classico procedimeto illustrato sopra. Per risalire ad u sigolo valore x p (apparteete alla classe quatile (x i-1,x i]) è ecessario ipotizzare che le i uità statistiche comprese ell itervallo (x i-1,x i] siao ripartite i modo tale che le modalità ad esse associate abbiao, l ua dall altra, uguale distaza (ipotesi di equispaziatura). Secodo questa ipotesi il quatile di ordie p è dato dalla seguete formula x p x d ( posizioe N ) 1 i i1 i i, dove x i-1 è l estremo iferiore della classe quatile, d i è l ampiezza della classe quatile, i è la frequeza assoluta della classe quatile, posizioe è la posizioe (o ua delle due posizioi) associata al quatile e N i-1 è la frequeza cumulata della classe che precede la classe quatile. 13

14 Avverteze Qualora le posizioi idividuate attraverso il prodotto (*p) corrispodao a due modalità diverse si proceda come segue: a) el caso di variabile qualitativa ordiale, si affermi che il quatile o esiste; b) el caso di variabile quatitativa discreta, si proceda effettuado ua media delle due modalità idividuate (sempre che o siao troppo diverse); c) el caso di variabile quatitativa cotiua i classi, si proceda alla media delle due quatità otteute attraverso la formula idicata sopra applicata due volte. A titolo esemplificativo, verrao calcolati per ogi variabile dispoibile solamete i 3 quartili (1 quartile p=0,5; quartile=mediaa p=0,50; 3 quartile p=0,75), fermo restado che il procedimeto e il commeto dei risultati risultao simili per qualsiasi p si voglia utilizzare. W Gradimeto Frequeze assolute Frequeze cumulate w i i N i Basso 8 8 posizioi (1,,,8) Medio 5 13 posizioi (9,10,,13) Alto 7 0 posizioi (14,15,,0) Somma 0 1 QUARTILE: (0*0,5)=5 posizioi 5 e 6 x 0,5= basso (almeo il 5% della popolazioe ha espresso u gradimeto o oltre basso e almeo il 75% o meo di basso ); MEDIANA: (0*0,50)=10 posizioi 10 e 11 x 0,5= medio ; 3 QUARTILE: (0*0,75)=15 posizioi 15 e 16 x 0,75= alto. 14

15 Z Voto Frequeze assolute Frequeze cumulate z i i N i posizioe posizioi (,3,4,5,6) posizioi (7,8,9) 1 11 posizioi (10,11) 3 14 posizioi (1,13,14) posizioe posizioi (16,17,18) 5 0 posizioi (19,0) Somma 0 1 QUARTILE: (0*0,5)=5 posizioi 5 e 6 x 0,5= 19 ; MEDIANA: (0*0,5)=10 posizioi 10 e 11 x 0,5= 1 ; 3 QUARTILE: (0*0,75)=15 posizioi 15 e 16 la posizioe 15 corrispode alla modalità 3 metre la posizioe 16 alla modalità 4 ; i questo caso, i cui la variabile è quatitativa, è possibile effettuare ua media delle due modalità idividuate (x 0,75=3,50). Frequeze Frequeze Ampiezze Y Altezza assolute cumulate y i i d i Ni ( ] posizioi (1,,3,4) ( ] posizioe 5 ( ] posizioi (6,7,8) ( ] posizioi (9,10,11) ( ] posizioi (1,13,14,15) ( ] posizioi (16,17,18,19,0) Somma 0 15

16 1 QUARTILE: (0*0,5)=5 posizioi 5 e 6 classi del 1 quartile ( ] e ( ] applico due volte la formula sopra idicata e poi faccio ua media dei due valori otteuti: 5 5 x 0,5;1 160 (5 4) 165 e x0,5; 165 (6 5) 166, da cui segue che x 0,5 (otteuto come media tra x 0,5;1 e x 0,5;) è pari a 165,83 (almeo il 5% della popolazioe ha u altezza o superiore a 165,83 cm e almeo il 75% o iferiore a 165,83 cm); MEDIANA: (0*0,50)=10 posizioi 10 e 11 classe mediaa ( ], applicado la formula per etrambe le posizioi ( x 170 (10 8) 173, 33 e 5 x 0,5; 170 (118) ottiee che x 0,5=174,17 cm; 5 3 0,5;1 ) e facedo ua media dei due valori x 0,5;1 e x 0,5; si 3 QUARTILE: (0*0,75)=15 posizioi 15 e 16 classi del 3 quartile ( ] e ( ] applico due volte la formula e poi faccio ua media dei due valori otteuti: 5 10 x 0,75;1 175 (15 11) 180 e 0,75;1 180 (16 15) x da cui segue che x 0,75 (otteuto come media tra x 0,75;1 e x 0,75;) è pari a 181,00cm. Media aritmetica () Defiizioe La media aritmetica (chiamata ache semplicemete media) è quel valore (o ecessariamete ua modalità osservata) che rileva la tedeza cetrale della distribuzioe; essa rappreseta la parte del totale del feomeo i esame che spetterebbe a ciascua uità statistica. È importate sapere che la media aritmetica appartiee alla famiglia delle medie poteziate che a loro volta appartegoo a quella delle medie aalitiche. Procedimeto di calcolo Per il calcolo della media si utilizza la formula i 1 x i i ; a questo scopo, risulta comodo aggiugere alla distribuzioe di frequeza ua coloa coteeti i prodotti (x i* i) (i=1,,,) che devoo poi essere sommati e divisi per la umerosità della popolazioe. 16

17 Casi particolari Per variabili quatitative cotiue co modalità raggruppate i classi o si dispoe delle sigole modalità x i besì di itervalli di valori (come è il caso della variabile Y); per questo motivo la formula da utilizzare per il calcolo della media aritmetica diveta i 1 * x i cosiderato (i=1,,,). Avverteze i, dove x * i=(x i-1+x i)/, ovvero è il valore cetrale dell itervallo È importate verificare che il valore otteuto per la media sia compreso tra la più piccola e la più grade modalità osservata ( x x 1 ). Ioltre, si ricordi che la media di ua variabile che preseta u uico valore costate per tutte le uità statistiche è uguale alla costate stessa. Frequeze Z Voto assolute z i i x i* i 18 1 (18*1)=18, (19*5)=95, (0*3)=60,00 1 (1*)=4,00 3 (*3)=66, (3*1)=3, (4*3)=7,00 5 (5*)=50,00 Somma 0 =46,00 x 46,00 0 i i i1 1,30 Frequeze Y Altezza assolute Valori cetrali X * i y i i X * i X * i* i ( ] 4 ( )/=157,50 (157,50*4)=630,00 ( ] 1 ( )/=16,50 (16,50*1)=16,50 ( ] 3 ( )/=167,50 (167,50*3)=50,50 ( ] 3 ( )/=17,50 (17,50*3)=517,50 ( ] 4 ( )/=177,50 (177,50*4)=710,00 ( ] 5 ( )/=185,00 (185,00*5)=95,00 Somma 0 =3447,50 * xi i i1 3447,50 17,

18 1.4 Idici di variabilità e mutabilità La variabilità può essere cosiderata come la stesa ragioe di esisteza della statistica: se, ifatti, o ci fosse variabilità ei feomei osservabili, ovvero se tutte le uità statistiche fossero uguali sotto ogi aspetto, o ci sarebbe bisogo di ua scieza i grado di spiegare le diversità di ua popolazioe. Per questo motivo, u idagie statistica, accato agli idici di posizioe appea presetati, deve forire misure capaci di sitetizzare il grado di somigliaza o discordaza delle uità statistiche rispetto ai caratteri osservati. A questo scopo, si utilizzao gli idici di mutabilità per le variabili qualitative, e gli idici di variabilità per le variabili quatitative; di seguito, verrao presetati, rispettivamete, l idice di Gii e la variaza, sia ella loro versioe origiaria che i quella relativa o ormalizzata. U idice di mutabilità: l idice di Gii L idice di Gii è u idice di mutabilità utilizzato soprattutto per variabili qualitative; esso si basa sull utilizzo delle frequeze relative ed è facilmete calcolabile. Procedimeto di calcolo Data ua distribuzioe di frequeza per ua variabile qualitativa X, l idice di Gii è dato dalla seguete formula G X i 1, dove i è la frequeza assoluta per la i1 modalità i-esima (i=1,,,) e la umerosità della popolazioe. A livello pratico, può risultare comodo aggiugere alla distribuzioe di frequeza ua uova coloa coteete i rapporti ( i/) elevati al quadrato; la somma di questi ultimi dovrà poi essere sottratta dall uità. L idice di Gii può assumere valori ell itervallo 1, 0, dove è il umero di modalità osservate; i particolare, se il valore dell idice si avvicia a 0 sigifica che le uità tedoo a cocetrarsi i ua o poche modalità osservate (ovvero la somigliaza tra i soggetti è alta, c è quasi u uica modalità che li cotraddistigue), metre se l idice tede ad assumere u valore vicio all estremo superiore è possibile affermare che esiste ua tedeza delle uità statistiche ad equidistribuirsi tra le modalità osservate e, quidi, la dissomigliaza (o mutabilità) è maggiore. L idice di Gii ormalizzato Per poter effettuare dei cofroti i termii di mutabilità tra due o più variabili qualitative, è ecessario elimiare l effetto della umerosità della popolazioe () e del umero di modalità (). Per questo motivo, si ricorre all idice di Gii ormalizzato 18

19 otteibile dividedo l idice di Gii classico per il suo massimo ( ~ G GX X 1 ). I questo modo, poiché l idice di Gii ormalizzato assume valori compresi tra 0 (asseza di mutabilità) e 1 (massima mutabilità), è possibile valutare il livello di mutabilità della variabile X, sia sigolarmete cosiderata ( la mutabilità di X è alta o bassa? ) sia rispetto ad altri caratteri ( è più mutabile X o Y?). X Sesso Frequeze assolute x i i (i/)^ Femmia 11 0,30 (11/0) Maschio 9 0,0 (9/0) Somma 0 =0,505 ~ G G X 1 GX 1 i1 0,495 1 i 0,99 1 0,505 0,495 X (mutabilità quasi massima) W Gradimeto Frequeze assolute w i i (i/)^ Basso 8 0,160 (8/0) Medio 5 0,06 (5/0) Alto 7 0,13 (7/0) Somma 0 =0,345 G W ~ G W 10,345 0,655 GW 1 molto alto) 0, ,985 (livello di mutabilità Dall aalisi dei risultati appea presetati, è ioltre possibile affermare che la variabile qualitativa X è più mutabile di W poiché preseta u idice di Gii ormalizzato superiore. 19

20 U idice di variabilità: la variaza (solo per variabili quatitative) Defiizioe La variaza è u idice di variabilità calcolabile solamete per variabili quatitative; essa appartiee alla famiglia degli idici di dispersioe che si basao sulle differeze (el caso della variaza, le differeze al quadrato) tra le modalità osservate x i e u prefissato idice di posizioe (el caso della variaza, la media aritmetica ). Procedimeto di calcolo Data ua distribuzioe di frequeza per ua variabile quatitativa X, la variaza è otteibile applicado la seguete formula i 1 ( x ) i i, dove è la media aritmetica della variabile X i esame, i (i=1,,,) la frequeze assoluta della geerica modalità x i e la umerosità della popolazioe. A livello pratico, può risultare comodo aggiugere alla distribuzioe di frequeza ua coloa coteete le differeze al quadrato tra le modalità x i (i=1,,,) e la media aritmetica di X, poderate per le corrispodeti frequeze assolute i (i=1,,,); la somma dei valori coteuti ella coloa costruita dovrà poi essere divisa per. La variaza è u idice che assume sempre valori maggiori o uguali a 0; i particolare, =0 quado o esiste variabilità ella distribuzioe e tutte le uità statistiche presetao la stessa modalità x i (uguale alla media ). Se, ivece, i soggetti assumoo modalità diverse di X, l idice di variabilità assumerà valori positivi e cresceti al crescere della variabilità (ovvero al crescere delle distaze che mediamete itercorroo tra le modalità e la loro media aritmetica). I questa sede, per semplicità, o preseteremo il calcolo dell estremo superiore dell itervallo di variazioe della variaza (oto come variaza massima ) e, quidi, o sarà possibile costruire l idice ormalizzato. U parete della variaza: lo scarto quadratico medio Dalla variaza è possibile ricavare u altro idice di variabilità, basato sullo stesso pricipio della variaza: lo scarto quadratico medio, otteibile calcolado la radice quadrata della variaza, i1 ( x ) i i. Si ituisce facilmete che ache lo scarto quadratico medio assume valori maggiori o uguali a 0; il caso particolare =0 si verifica solamete i caso di asseza di variabilità. U idice di variabilità relativo: il coefficiete di variazioe (CV) Va segalato che spesso, ell ambito di u idagie statistica, risulta ecessario cofrotare la distribuzioe di due variabili sigolarmete cosiderate: i proposito, può essere utile avere a disposizioe u idice che permetta di fare cofroti i termii di variabilità elimiado o solo l effetto della umerosità (u risultato che già si ottiee co e ) ma ache quello dell uità di misura della variabile. Può capitare, ifatti, che ua variabile X abbia ua variaza (o uo scarto quadratico medio) molto alta seza che 0

21 ci sia alta variabilità. Ad esempio, se si cosiderao i umeri 1000, 1500, 000 è facile redersi coto che scarto quadratico medio e variaza di tale serie di valori risultao be più alti che o per la serie formata da 1, 1.5, (che poi soo gli stessi umeri divisi per 1000). D altra parte è impesabile che la oggettiva misura della variabilità i corrispodeza di ua variabile quatitativa come può essere lo stipedio mesile debba basarsi su valori di o che, state ua data distribuzioe di stipedi, fiiscoo co l essere più elevati se i valori soo espressi i lire piuttosto che i euro. Per questo motivo, e i situazioi i cui sia ecessario effettuare cofroti tra variabili caratterizzate da uità di misura o da ordii di gradezza differeti, è cosigliabile utilizzare il coefficiete di variazioe, CV, dove e soo, rispettivamete, lo scarto quadratico medio e la media aritmetica della variabile i esame. Il coefficiete di variazioe assume valori maggiori di 0 e cresceti al crescere della variabilità; acora ua volta, si avrà che CV=0 i asseza di variabilità. Casi particolari Per variabili quatitative cotiue co modalità raggruppate i classi o si dispoe delle sigole modalità x i besì di itervalli di valori (come è il caso della variabile Y); per questo motivo la formula da utilizzare per il calcolo della variaza e dello scarto quadratico medio diveta i 1 * ( x ) i valore cetrale dell itervallo cosiderato (i=1,,,). i, dove x * i=(x i-1+x i)/, ovvero è il Frequeze =1,30 Z Voto assolute z i i (x-)^* i ,89 =(18-1,30) * ,45 =(19-1,30) * ,07 =(0-1,30) *3 1 0,18 =(1-1,30) * 3 1,47 =(-1,30) *3 3 1,89 =(3-1,30) * ,87 =(4-1,30) *3 5 7,38 =(5-1,30) * Somma 0 =96,0 Z i1 CV ( z i ) 4,81 0,10 1,30 i 96,0 4,81 0 1

22 Frequeze Y Altezza assolute =17,38 y i i X * i (x * -)^* i ( ] 4 157,50 885,66 =(157,50-17,38) *4 ( ] 1 16,50 97,61 =(16,50-17,38) *1 ( ] 3 167,50 71,44 =(167,50-17,38) *3 ( ] 3 17,50 0,04 =(17,50-17,38) *3 ( ] 4 177,50 104,86 =(177,50-17,38) *4 ( ] 5 185,00 796,3 =(185,00-17,38) *5 Somma 0 =1955,94 Y 1955,94 97,80 0 CV 97,80 17,38 0,06 Dal cofroto dei due coefficieti di variazioe, è possibile affermare che la variabile Z voto mostra maggiore variabilità rispetto alla variabile Y altezza. A prima vista, sulla base della sola variaza (o del corrispodete valore dello scarto quadratico medio) si sarebbe detto il cotrario.

23 . Statistica descrittiva bivariata.1 Tabelle di cotigeza La statistica descrittiva bivariata si occupa dell aalisi di due variabili cogiutamete cosiderate; i particolare, risulta iteressate sapere se, e i qualche modo, le due variabili si ifluezao o se, al cotrario, si maifestao ua idipedetemete dall altra. A questo proposito verrao presetati, i seguito, alcui idici i grado di iterpretare il tipo di legame esistete tra due variabili. Prima di procedere risulta tuttavia idispesabile acquisire il cocetto di distribuzioe di frequeza bivariata. I defiitiva, si tratta di raccogliere i dati i ua tabella a doppia etrata (o tabella di cotigeza) i grado di mostrare cogiutamete le modalità dei due caratteri. Si ipotizzi, ad esempio, di costruire la tabella a doppia etrata per le variabili X sesso e W gradimeto : Tabella 3: esempio di tabella a doppia etrata X Femmia x 1 Maschio x somma Basso w 1 4 ( 11) 4 ( 1) 8.1 W Medio Alto w 3 ( 1) ( ) 5. w 3 4 ( 13) 3 ( 3) 7.3 somma N La tabella a doppia etrata mostra sulle righe le modalità della variabile X ( femmia e maschio ) e sulle coloe le modalità di W ( basso, medio e alto ); la tabella, ioltre, è composta dalle segueti distribuzioi: 1. distribuzioe cogiuta di X e di W: le frequeze cogiute (assolute) ij, che si trovao al cetro della tabella, stao ad idicare quate uità statistiche hao maifestato cotemporaeamete la modalità x i e la modalità w j (ad esempio, ci soo 4 femmie che hao espresso u giudizio basso, ci soo 3 maschi co u giudizio alto e così via). Si osservi che il umero delle celle coteeti le frequeze cogiute è dato dal prodotto del umero di righe h per il umero di coloe, per cui la scrittura corretta prevede l utilizzo del doppio pedice ij (i=1,,,; j=1,,,h);. distribuzioe margiale di X: cosiderado solamete la prima e l ultima coloa della tabella a doppia etrata, si ottiee la distribuzioe di frequeza margiale della variabile X, elimiado così l effetto della variabile W. Le frequeze (assolute) della variabile X soo dette frequeze margiali (assolute) e si idicao co i. (i=1,,,); 3. distribuzioe margiale di W: cosiderado solamete la prima e l ultima riga della tabella a doppia etrata, si ottiee la distribuzioe di frequeza margiale della 3

24 variabile W, elimiado così l effetto della variabile X. Le frequeze (assolute) della variabile W soo dette frequeze margiali (assolute) e si idicao co.j (j=1,,,h); Fra le frequeze sopra elecate valgoo le segueti relazioi: h 1. i. ij (somma per riga) j1.. j ij (somma per coloa) i1 3. i.. j ij (somma per riga e per coloa) i1 h j1 h i1 j1 Qui di seguito vegoo elecate tutte le restati tabelle a doppia etrata costruibili co le variabili a disposizioe coteute ella Tabella 1: Z X somma Femmia Maschio somma Y X ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] somma Femmia Maschio somma W somma Basso Medio Alto somma Z Y W ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] Somma Basso Medio Alto somma

25 Z Y somma ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] ( ] somma Si oti come ua tabella di cotigeza possa essere costruita accoppiado variabili di diversa atura: qualitativa (omiale o ordiale) e qualitativa (omiale o ordiale), qualitativa (omiale o ordiale) e quatitativa (discreta o cotiua i classi), quatitativa (discreta o cotiua i classi) e quatitativa (discreta o cotiua i classi). A partire da ua data tabella di cotigeza sarà possibile affrotare lo studio dei segueti legami:. Idipedeza e coessioe Il cocetto base della statistica bivariata: l idipedeza statistica Data ua tabella di cotigeza, due variabili X e Y si dicoo idipedeti se le modalità di X o ifluezao il verificarsi delle modalità di Y, e viceversa (per questo si dice che l idipedeza statistica è ua relazioe bidirezioale: se X è idipedete da Y ache Y è idipedete da X). I caso cotrario, ovvero i asseza di idipedeza statistica, si parla geericamete di coessioe: le due variabili X e Y tedoo ad ifluezarsi reciprocamete e tra di loro esiste ua qualche relazioe geerica. Per questo motivo, l idipedeza statistica e la coessioe soo cocetti che si escludoo reciprocamete. L idice per l idipedeza statistica: il Chi quadro La preseza di idipedeza statistica o di coessioe tra due variabili X e Y si misura co l idice Chi Quadro, che si basa sul cofroto tra le frequeze assolute osservate ij (coteute ella tabella di cotigeza) e le frequeze teoriche ij * che si osserverebbero i caso di idipedeza tra X e Y (le frequeze teoriche vao calcolate i ua uova tabella di cotigeza tramite la relazioe i. *. ij j (i=1,,,; j=1,,,h). La formula per il calcolo dell idice è data dalla seguete espressioe h ( i1 j1 ij * ij * ij ) : se tutte le frequeze osservate ij coicidoo co le frequeze teoriche ij * siamo i preseza di idipedeza statistica ma, qualora ache 5

26 solo ua frequeza osservata fosse diversa dalla corrispodete frequeza teorica, potremmo escludere l idipedeza ed affermare che esiste coessioe tra X e Y. Per stabilire se la coessioe tra X e Y è alta o bassa è possibile ricorrere alla ormalizzazioe dell idice. Sapedo, ifatti, che il miimo del Chi Quadro è 0 (i caso di idipedeza statistica) e il massimo è (i caso di massima coessioe), dove è il umero di righe della tabella di cotigeza, h il umero di coloe, la umerosità della popolazioe e mi la fuzioe miimo, l idice ormalizzato ~ mi h 1, 1 mi h 1, 1 assumerà valore 0 i caso di idipedeza statistica, valore 1 i caso di massima coessioe, valori vicio a 0 el caso di bassa coessioe e valori vicio a 1 i preseza di alta coessioe. Presetiamo qui di seguito il calcolo dell idice Chi quadro per la coppia di variabili (X,W): Come primo passo si riporta la tabella delle frequeze osservate: Tabella delle frequeze osservate ij W X Basso Medio Alto Somma Femmia Maschio somma Successivamete si costruisce la tabella che cotiee le frequeze teoriche che si avrebbero el caso di idipedeza statistica tra X e W, otteute moltiplicado le frequeze margiali e dividedole poi per : Tabella delle frequeze teoriche ij * W X Basso Medio Alto somma Femmia 4,40,75 3,85 =(11*8/0) =(11*5/0) =(11*7/0) 11 Maschio 3,60,5 3,15 =(9*8/0) =(9*5/0) =(9*7/0) 9 somma Poiché, già per più di ua cella, le frequeze osservate soo diverse da quelle teoriche (ad esempio, per la prima cella della prima riga, la frequeza osservata è 4 metre quella che si dovrebbe avere teoricamete è 4,40) è possibile escludere l esisteza di idipedeza 6

27 statistica e affermare che esiste coessioe. Per valutare se il livello di coessioe è alto o basso, procediamo co il calcolo dell idice e co la sua ormalizzazioe: Tabella di calcolo del Chi Quadro X Basso Medio Alto Femmia 0,04 =(4-4,40) /4,40 0,0 =(3-,75) /,75 0,01 =(4-3,85) /3,85 Maschio 0,04 =(4-3,60) /3,60 0,03 =(-,5) /,5 0,01 =(3-3,15) /3,15 Somma di tutte le 9 celle= =0,15 W L idice Chi quadro è pari a 0,15 e, poiché è diverso da 0, coferma la preseza di u qualche livello di coessioe. La sua ormalizzazioe: ~ 0 0,15 0,15 mi 1,3 1 0mi 1, 0,15 0, porta ad affermare che il livello di coessioe esistete tra X e W è molto basso. Qui di seguito, tralasciado i passaggi svolti per il calcolo dell idice di coessioe per le altre coppie di variabili; vegoo riportati diversi valori stadardizzati del Chi Quadro: Tabella 4: valori dell idice Chi quadro ormalizzato per le coppie di variabili cosiderate. X Y Z W X 0,13 0,6 0,01 Y 0,13 0,37 0,18 Z 0,6 0,37 0,3 W 0,01 0,18 0,3 Iazitutto si oti la simmetria della tabella 4, a coferma che la relazioe di idipedeza statistica è bidirezioale; ioltre, dalla tabella emerge che tutte le variabili risultao, ache se co differeti itesità, coesse le ue co le altre. È pertato possibile procedere co aalisi più approfodite che idaghio i legame esisteti (se due variabili si fossero rivelate idipedeti, l aalisi statistica bivariata o avrebbe potuto proseguire)..3 Associazioe U idice per misurare l associazioe: l idice di Edwards L associazioe è u particolare tipo di relazioe che è calcolabile solamete su tabelle di cotigeza del tipo (X), ovvero co due righe e due coloe, situazioe che si preseta el caso i cui le due variabili cosiderate maifestio ciascua solamete due 7

28 modalità, come succede per la variabile X sesso della Tabella 1 (variabili di questo tipo si dirao, i seguito dicotomiche), oppure el caso i cui si decida di fissare l attezioe su ua coppia di modalità x a, y b lasciado tutte le altre come residuali ( o x a e o y b ), procededo così alla dicotomizzazioe delle due variabili. Si cosideri come modello la seguete tabella di cotigeza riguardate due variabili dicotomiche o dicotomizzate (quatitative o qualitative) X e Y: Y X O Ō somma A Ā 1. somma.1. A e Ā soo le modalità della variabile X e, i particolare, si ha che Ā corrispode a o A (si potrebbe avere, ad esempio, A= fumatore e Ā= o fumatore ); lo stesso discorso vale per le modalità di Y, per cui Ō corrispode a o O (potrebbe essere, ad esmpio, O= maggioree e Ō = o maggioree ). L obiettivo dell associazioe è quello di verificare se le due modalità pricipali ell agolo di Nord-Ovest ella tabella x, le modalità A e O tedoo i qualche modo ad attrarsi o a respigersi, appurado, quidi, l esisteza di u legame di associazioe o di dissociazioe. L idice di Edwards è lo strumeto da utilizzare per misurare il livello di associazioe o di dissociazioe esistete tra due variabili dicotomiche X e Y; esso è calcolabile attraverso la seguete espressioe umerica E , dove i termii coteuti ella formula soo le frequeze assolute idicate ella tabella precedete. L idice di Edwards assume valori ell itervallo [0,1]: el caso si abbia E=0 si è i preseza di associazioe egativa (o dissociazioe) massima (le modalità A e O tedoo a respigersi), se E=0,5 si è i preseza di idipedeza tra le due modalità e, ifie, se E=1 si è i preseza di associazioe positiva massima (le modalità A e O tedoo ad attrarsi). È evidete, quidi, che valori di E prossimi allo 0 segalao ua forte associazioe egativa fra A e O; valori di E prossimi a 1 segalao, al cotrario, forte associazioe positiva tra A e O. Si ricordi, ifie, che se l idice Chi quadro calcolato per le due variabili X e Y dicotomiche è pari a 0 allora ecessariamete si avrà che E=0,5. È importate ribadire che ache ua variabile o dicotomica (ovvero co u umero di modalità superiore a ) può essere resa tale putado l attezioe su ua modalità di iteresse A e raggruppado le restati i u uica modalità del tipo o A (Ā). 8

29 Si ipotizzi, ad esempio, di voler idagare il livello di associazioe o dissociazioe esistete tra la modalità Femmia della variabile X e la modalità voto miore o uguale a 0 della la variabile Z. La tabella di cotigeza che si otterrebbe, operado ua dicotimizzazioe per la variabile Z, avrebbe la seguete struttura: X 0 >0 somma 5 6 Femmia 11 (+3) (+1+3) 4 5 Maschio 9 (1+3) (+1+) somma Z e l idice di Edwards sarebbe dato da E 0, 51, valore che idica ua situazioe di associazioe positiva molto debole (quasi idipedeza) tra le due modalità cosiderate. Verrà presetato ora il calcolo dell associazioe fra le modalità giudizio basso della variabile W e voto miore o uguale a 0 della variabile Z e fra le modalità giudizio basso della variabile W e altezza miore o uguale a 170 cm della variabile Y: Z W 0 >0 somma Basso 6 8 No basso somma E 0, Siamo i preseza di u associazioe egativa abbastaza marcata (tedeza a respigersi). Y W 170 >170 somma Basso No basso somma E 0, Siamo i preseza di u associazioe egativa debole. 9

30 .4 Cograduazioe La cograduazioe tra due variabili qualitative ordiali e il coefficiete di Spearma Qualora si iteda approfodire l aalisi della coessioe esistete tra due variabili qualitative ordiali X e Y, è possibile ricorrere al cocetto di cograduazioe. Si parla di cograduazioe (o di cotrograduazioe) quado i due feomei i esame tedoo ad associare le rispettive modalità i modo che a modalità cresceti dell uo corrispodao preferibilmete modalità cresceti (o decresceti) dell altro (i relazioe alla scala ordiale che le caratterizza). Il coefficiete r s di Spearma, che si basa sul cocetto di rago (posto d ordie), forisce la formula per il calcolo della cograduazioe tra due variabili. Il cocetto di rago Data ua lista di dati circa ua certa variabile statistica X (qualitativa ordiale o quatitativa) relativi a uità statistiche, è possibile ordiarli e attribuire ad ogi soggetto u umero idicate la sua posizioe ella lista. Si ipotizzi, ad esempio, di essere i possesso dei segueti 15 dati relativi ad ua certa variabile le cui modalità soo O=ottimo, B=buoo e S=sufficiete: uità stat x i B O B O S S B B O B S B B O S E possibile ordiare le uità statistiche i maiera crescete (da sufficiete a ottimo) i base alla modalità riportata: uità stat x i S S S S B B B B B B B O O O O È ora facile associare ad ogi uità statistica il rago, ovvero quel umero che idica la posizioe dell uità all itero dell ordiameto per modalità, facedo attezioe al caso i cui più uità presetio la stessa modalità. I questo caso, il rago sarà defiito dalla media delle posizioi dei soggetti co la stessa modalità. uità stat x i S S S S B B B B B B B O O O O Posizioe Rago,5 (1++3+4)/4 8 ( )/7 13,5 ( )/4 Riordiado le uità rispetto alla loro umerazioe aturale e associado ad ogua il proprio rago si ottiee quato segue: 30