Qual è il numero delle bandiere tricolori a righe verticali che si possono formare con i 7 colori dell iride?

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1 Calcolo combiatorio sempi Qual è il umero delle badiere tricolori a righe verticali che si possoo formare co i 7 colori dell iride? Dobbiamo calcolare il umero delle disposizioi semplici di 7 oggetti di classe, cioè: D 7, 7 6 Quati umeri di cifre distite si possoo formare co le cifre,, 6, 8, 9? Si ha: D, DEFINIZIONE Si dicoo permutazioi semplici di oggetti le disposizioi semplici di oggetti di classe. I altri termii, le permutazioi di oggetti soo tutti i possibili modi diversi di mettere i fila gli oggetti. Euciamo ora u teorema relativo al umero P delle permutazioi di oggetti. TEOREMA Il umero delle permutazioi di oggetti è dato da: cioè dal prodotto dei primi iteri. P ( ) ( )... Tale prodotto viee idicato co il simbolo!, che si legge fattoriale o fattoriale di ; quidi: La dimostrazioe si ottiee immediatamete dal teorema precedete poedo ella formula che dà le disposizioi. Si poe, per defiizioe: Combiazioi semplici P!!! DEFINIZIONE Dati oggetti distiti, si dicoo combiazioi semplici di classe, co, tutti i possibili gruppi che si possoo formare co degli oggetti, cosiderado distiti due gruppi se differiscoo per almeo u elemeto. Idichiamo co C, il umero delle combiazioi semplici di classe di oggetti. Per esempio, dati gli oggetti a, a, a, a, calcoliamo il umero delle combiazioi semplici di classe. Le combiazioi possibili soo: a a a, cioè: a a a, a a a, a a a C, 7 RCS Libri S.p.A. - Divisioe Educatio, Milao

2 Calcolo combiatorio Ora, se i ogi gruppo permutiamo gli elemeti i tutti i modi possibili, si ottegoo le disposizioi semplici di classe. Quidi ogi combiazioe dà luogo a tate disposizioi quate soo le permutazioi di oggetti. Essedo: P! 6 da ogi combiazioe si ottegoo 6 disposizioi, cioè: da cui: D, C, P 6 Geeralizziamo questo risultato co il seguete C, D P, TEOREMA Il umero delle combiazioi semplici di oggetti di classe è dato da: C, D, ( )...( + ) P! DIMOSTRAZIONE Suppoiamo di aver costruito tutte le combiazioi semplici di oggetti di classe ; sia C, il loro umero. Dalle combiazioi, permutado i tutti i modi possibili i oggetti, si ottegoo le disposizioi semplici di classe : ogi combiazioe dà luogo a: disposizioi. Quidi: da cui, ricavado C,, il teorema è dimostrato. P! D, C, P Si usa deotare il umero C, co il simbolo: che si legge su e prede il ome di coefficiete biomiale. Per defiizioe poiamo: 8 Osservazioe Il termie semplici utilizzato fiora per le disposizioi e per le combiazioi sta a ricordare che si opera co oggetti diversi fra loro, ovvero che o ci soo ripetizioi. Si tratta di ua codizioe importate, ed è bee ricordare che i umerosi casi cocreti ua tale codizioe di o ripetizioe o è rispettata. Si pesi al problema seguete: quate parole di lettere si possoo realizzare co le lettere dell alfabeto? Precisato che il cocetto di parole di lettere può essere geeralizzato i file di lettere, osserviamo, per esempio, che la parola pepe è ach essa ua fila di lettere ma co due ripetizioi. Diviee evidete quidi che le file di lettere soo più umerose che le disposizioi semplici di lettere di classe.

3 Calcolo combiatorio A titolo di curiosità proviamo a elecare tutti i possibili gruppi di due fra i tre oti simboli,, x, ammettedo la possibilità di ripetere u simbolo. Si ottegoo 6 diversi gruppi: x Coefficieti biomiali x metre, se o fossero cosetite ripetizioi, se cioè avessimo voluto le combiazioi semplici di oggetti di classe, avremmo otteuto: C, Euciamo alcue proprietà dei coefficieti biomiali. x x Prima proprietà Nell espressioe:!!( )! ( )... ( + )! moltiplicado il umeratore e il deomiatore a secodo membro per ( )! si ha: ( )... ( + )( )( )...!!( )!!( )! Secoda proprietà Ifatti:!! ( )!( + )!!( )! Tale proprietà può essere giustificata rapidamete se si osserva che a ogi combiazioe semplice di oggetti di classe corrispode ua combiazioe degli ( ) oggetti restati: perciò le combiazioi semplici di oggetti di classe soo tate quate le combiazioi degli stessi oggetti di classe ( ). Terza proprietà Per otteiamo: + Si ha: ( )! + ( )! + ( )!( )!!( )! ( )! + ( )!( ) ( )!!!( )!!( )!!( )! 9

4 Calcolo combiatorio Quarta proprietà Per si ha: Ifatti per la terza proprietà, poedo al posto di successivamete,,..., +, si ha: + Sostituedo ella prima espressioe a il suo valore otteuto dalla secoda espressioe, e ripetedo il medesimo procedimeto fio al termie, si ottiee: avedo posto: poiché etrambi soo uguali a sempi I base alla terza proprietà risulta: + ifatti: 6 6 I base alla quarta proprietà si ha:

5 Calcolo combiatorio Combiazioi otteute per iduzioe La formula: euciata e dimostrata el paragrafo per via diretta, può essere stabilita ache usado il pricipio d iduzioe (vedi vol.,.8). PRINCIPIO D INDUZIONE Sia {A()} ua successioe {A(); A();...} di proposizioi, ciascua collegata a u umero aturale. Esse sarao tutte vere se soo soddisfatte le due codizioi segueti: a. che sia vera la prima proposizioe, A(); b. che, se è vera ua proposizioe, sia di cosegueza vera ache la successiva. Si può ovviare alla difficoltà che isorge a causa dei due idici e poedo: Così si avrà: A isieme delle formule C C, ; A C, e si coverrà che la frase A è vera sigifichi: A C C ;,, Soo vere tutte le formule coteute ell isieme A Cosideriamo ora i due passaggi chiave del pricipio d iduzioe e chiediamoci: a. A è vera? b. dall essere vera A segue che è vera ache A +? C, Per quato riguarda il primo quesito la risposta è ovvia: A è rappresetata dall isieme che cotiee la sola formula C, evidetemete esatta. Quidi A è vera!, Più complesso è il secodo quesito. Esso deve essere letto così: Supposto che co oggetti si possao, per ogi, realizzare combiazioi, sarà di cosegueza vero che co ( + ) oggetti, per ogi +, si possoo realizzare + combiazioi? La risposta è positiva: ifatti, se +, la formula essedo C. +, + ;...; C,, dà ed è quidi esatta, Pesiamo quidi gli ( + ) oggetti ripartiti egli di prima più u uovo oggetto. Per < + u gruppo di oggetti può essere costituito o da oggetti presi tutti tra gli di prima, o da ( ) oggetti presi tra quelli di prima e l oggetto uovo. Quidi: + + C C + C +,,, e, avedo ammesso che A sia vera: C e C,,

6 Calcolo combiatorio Ne segue che: C + +, Ma abbiamo visto, per la terza proprietà del paragrafo, che: + + quidi Pertato, dall essere vera la proposizioe rappresetata dall isieme A, segue che è vera ache quella corrispodete all isieme di formule A. + Avedo risposto affermativamete ai due quesiti del pricipio d iduzioe, e segue che tutte le A soo vere e cioè che, qualuque sia e qualuque sia, il umero delle combiazioi semplici è dato dalla formula C., Triagolo di Tartaglia. Poteza di u biomio Dati oggetti, le possibili combiazioi che si possoo formare soo di classe e il loro umero è rispettivamete uguale a:,,...,,,..., C + +, Aggiugedo a tale successioe il termie: e facedo assumere a i valori,,,..., si ottiee il cosiddetto triagolo di Tartaglia: TARTAGLIA Niccolò, pseudoimo di Niccolò Fotaa (Brescia 99 circa Veezia 7) Deve il suo sopraome alla balbuzie dovuta a ua ferita alla bocca ifertagli da u soldato fracese durate il sacco di Brescia (). Autodidatta, divee presto famoso per la sua otevole cultura algebrica. A lui si deve la formula risolutiva dell equazioe di terzo grado i ua icogita. Il triagolo aritmetico qui riportato deve il ome al fatto che Tartaglia lo espoe i u suo trattato, ma era oto già prima di lui.

7 Calcolo combiatorio Sostituedo ai coefficieti biomiali i corrispodeti valori si ha: 6 Proprietà I primi e gli ultimi termii di ogi riga del triagolo di Tartaglia soo uguali a. I ogi riga i termii equidistati dagli estremi soo uguali, per la secoda proprietà dei coefficieti biomiali (v. par. ). Ogi termie itermedio di ua riga si ottiee sommado ella riga precedete il termie di ugual posto co quello che lo precede, cioè: + i base alla terza proprietà dei coefficieti biomiali (v. par. ). Ogi termie itermedio è uguale alla somma dei termii di posto immediatamete iferiore apparteeti a tutte le righe che precedoo quella a cui appartiee il termie cosiderato, i base alla quarta proprietà dei coefficieti biomiali (v. par. ). Per esempio: + + Formula del biomo di Newto Diamo, ora, la formula risolutiva per lo sviluppo della poteza del biomio: Poiché, per defiizioe: (a + b) (, a, b ) (a + b) (a + b) (a + b)... (a + b) volte i termii dello sviluppo soo tutti di grado e del tipo: cioè: a b ( ) a a... a b b... b volte volte otteuti prededo a i ( ) fra gli fattori (a + b) e, di cosegueza, b fra i rimaeti. Pertato, i termii di questo tipo soo tati quate soo le combiazioi di elemeti di classe ( ), cioè soo i umero di.

8 Calcolo combiatorio Teedo coto che i termii del tipo a e b compaioo ua volta sola ello sviluppo, si può scrivere: ( a b) a a b a + + b a b b e poiché: si otterrà: ( a b) a + a b a + + b a b b a b Tale sviluppo prede il ome di formula del biomio di Newto. I umeri che si trovao i ua stessa riga el triagolo di Tartaglia soo perciò i coefficieti dello sviluppo della poteza del biomio (a + b); da qui il ome che viee loro attribui- to di coefficieti biomiali. Si osservi, ioltre, ua proprietà otevole dei coefficieti biomiali. Per a b, si ha: Perciò la somma dei termii di ogi riga del triagolo di Tartaglia uguaglia ua poteza di e precisamete: Possiamo ora dimostrare il seguete ( + ) TEOREMA Se A {a ; a ;...; a } è u isieme costituito da elemeti e (A) è l isieme delle parti di A, allora: Card (A) NEWTON sir Isaac (Woolsthorpe 6 Lodra 77) Isige matematico e fisico iglese, i suoi studi furoo orietati fodametalmete verso tre campi: la matematica, l astroomia e la fisica dedicadosi i particolare alla meccaica e all ottica. Ricordiamo alcui tra i umerosissimi risultati da lui coseguiti i vari campi: i matematica scoprì la formula relativa allo sviluppo i serie del biomio, i aalisi co l impostazioe del metodo delle derivate gettò le basi del calcolo ifiitesimale e itegrale che egli applicò soprattutto a problemi di geometria; i fisica stabilì le leggi fodametali della meccaica e formulò la legge di gravitazioe uiversale; i ottica si devoo a lui ua celebre teoria corpuscolare della luce e studi sulla diffrazioe e sui feomei di iterfereza della luce.

9 Calcolo combiatorio DIMOSTRAZIONE Ifatti gli elemeti di (A) si ottegoo combiado gli elemeti di A a a, a a, a a,..., a a ; icludedo ache l isieme vuoto, si ha che il umero degli elemeti di (A) è dato da: e, scrivedo, si ottiee: sempi 7 ( ) x y ( x) ( y) + + ( x) ( x) ( y) ( x) ( y) + ( x) ( y) x( + y) + ( y) x 8 x y + 8 x y 7 x y + xy y 8 ( ) ( ) + ( ) + 6 ( ) + ( ) + ( ) Disposizioi e combiazioi co ripetizioe Disposizioi co ripetizioe Oltre alle disposizioi semplici, si possoo cosiderare le disposizioi co ripetizioe, elle quali è ammessa la possibilità di ripetere uo stesso oggetto più volte. DEFINIZIONE Dati oggetti e u itero (o ecessariamete miore o uguale a ), si dicoo disposizioi co ripetizioe di classe tutte le possibili file che si possoo formare co degli oggetti (evetualmete ripetuti), cosiderado distite due file se differiscoo per l ordie o per qualche elemeto. Così, le disposizioi co ripetizioe di classe di tre oggetti A, B, C, soo: AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC Detto DR, il umero delle disposizioi co ripetizioe di oggetti di classe risulta: DR,

10 Calcolo combiatorio Risolvere le segueti equazioi. 9 D, D, D D,, D D,, D + D,, 9 esercizi Combiazioi semplici Calcolare il valore delle segueti espressioi. C7, C, C, 6 C 7, C 6, 6; 7 C 6, Verificare che C 8, C 6, + C 6, + C 6,. Vero o falso?. se oppure 8. V V F F. 6 6 V F C, V F V F Verificare le segueti idetità, elle codizioi date ( ) ( ) Risolvere le segueti equazioi ( ) ( ) , RCS Libri S.p.A. - Divisioe Educatio, Milao