ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1

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1 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 12/03/2015 Soluzioi del primo foglio di esercizi Esercizio 0.1. Ua classe di studeti è costituita da 6 ragazzi e 4 ragazze. I risultati dell esame vegoo esposti i ua graduatoria i ordie di voto. Si assuma che essuo studete ottega lo stesso voto di u altro. 1: Quate differeti graduatorie soo possibili? 2: Suppoiamo ora che i risultati vegao esposti i due graduatorie differeti, ua per i ragazzi e l altra per le ragazze. Quate graduatorie soo possibili? 1: Si tratta di cotare le possibili permutazioi dei 10 ragazzi, pertato ci soo 10! = graduatorie possibili. 2: Abbiamo 6! graduatorie possibili per i ragazzi e, per ogua di queste, 4! graduatorie possibili per le ragazze. Pertato esistoo 6!4! = graduatorie possibili. Esercizio 0.2. Marco ha 10 libri da posizioare su uo scaffale. Fra questi libri ce e soo 4 di matematica, 3 di chimica, 2 di storia e 1 di iglese. Marco vuole posizioare i suoi libri i modo che tutti quelli relativi ad uo stesso argometo siao fra loro adiaceti. Quati modi diversi ha Marco di posizioare i suoi libri sullo scaffale? Scegliamo dapprima l ordie delle materie (e.g. matematica-chimica-storia-iglese, oppure chimicamatematica-iglese-storia. Questa scelta equivale a permutare fra loro le quattro materie e duque esistoo 4! ordiameti diversi. Per oguo di questi abbiamo 4! modi di posizioare i 4 libri di matematica, 3! modi di posizioare i 3 libri di chimica, 2! modi di posizioare i 2 libri di storia e 1! modi di posizioare il libro di iglese. Pertato Marco può scegliere fra 4!4!3!2!1! = 6912 differeti modi per posizioare i libri sullo scaffale. Esercizio 0.3. Quati aagrammi distiti della parola P EP P ER esistoo? Iiziamo osservado che ci soo 6! permutazioi delle 6 lettere che formao la parola P EP P ER. No tutte queste permutazioi però formao aagrammi distiti fra loro. Ad esempio scambiado le due E fra di loro si ottiee acora la parola P EP P ER. Per elimiare questa ambiguità dovremo dividere il umero totale delle permutazioi (6! per il umero delle permutazioi delle due E (2! e acora per il umero delle permutazioi delle tre P (3!. Pertato il umero di aagrammi sarà 6! 2!3! = 60. Ricorda! I geerale, data ua parola di lettere i cui ua lettera si ripete 1 volte, u altra lettera si ripete 2 volte,..., u altra lettera si ripete r volte, possiamo creare esattamete! 1! r! aagrammi distiti fra loro. 1

2 2 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 Esercizio 0.4. Si cosideri la griglia seguete: B A Per adare dal puto A al puto B si può adare verso l alto o verso destra ad ogi passo. Quati percorsi esistoo per raggiugere B partedo dal puto A? Suggerimeto: Ogi possibile percorso sarà costituito da 3 passi verso l alto e 4 passi verso destra. Suppoiamo di fare u passo ogi secodo. Si tratta duque di scegliere 3 secodi fra i 7 totali ei quali adremo verso l alto (ei restati 4 adremo verso destra. Ci soo duque ( 7 3 = 35 percorsi possibili per adare dal puto A al puto B seguedo la procedura descritta. Si oti che ua (altrettato covicete soluzioe cosiste ello scegliere 4 secodi fra i 7 totali ei quali ci sposteremo verso destra (ei restati 3 adremo verso l alto. Questo ragioameto produce la soluzioe ( 7 4 = 35 percorsi possibili. Esercizio 0.5. Si cosideri la griglia seguete: B C A Per adare dal puto A al puto B si può adare verso l alto o verso destra ad ogi passo. Quati percorsi esistoo per raggiugere il puto B partedo dal puto A e passado per il puto C? Iiziamo cotado i possibili percorsi per adare dal puto A al puto C. Grazie alle cosiderazioi dell esercizio precedete sappiamo che esistoo ( 4 2 = 6 possibili percorsi. Ora, per oguo di questi abbiamo ( ( 3 = 3 2 = 3 possibili modi per cotiuare il percorso dal puto C fio al puto B. Pertato abbiamo 6 3 = 18 possibili percorsi dal puto A al puto B passado per il puto C. Esercizio 0.6. Nel Dipartimeto di Matematica ci soo professori, fra i quali si devoo scegliere persoe ( per formare ua commissioe di laurea, idicado ioltre u presidete per tale commissioe (scelto fra i professori selezioati. Quate possibili commissioi si possoo formare? 1: Rispodere alla domada scegliedo prima i membri della commissioe e successivamete u presidete fra di essi. 2: Rispodere alla domada scegliedo prima i 1 membri della commissioe diversi dal presidete e successivamete il presidete fra i restati professori. 3: Rispodere alla domada scegliedo prima il presidete della commissioe fra tutti i professori e successivamete il resto della commissioe.

3 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 3 4: Cocludere dai puti precedeti che vale la seguete catea di uguagliaze: 1 = ( + = 1 1 5: Verificare la precedete catea di uguagliaze usado la defiizioe del coefficiete biomiale m m! = h h!(m h! 1: Per scegliere professori fra totali ci soo esattamete ( modi possibili e, per oguo di essi, abbiamo ( = modi per scegliere u presidete fra i professori selezioati. Abbiamo duque ( possibili commissioi di laurea. 2: Per scegliere i 1 membri della commissioe diversi dal presidete abbiamo esattamete ( 1 modi possibili e, per oguo di essi, abbiamo ( 1 = ( + ( modi per selezioare u presidete fra i restati ( professori. Pertato esistoo +1 1 ( + commissioi differeti. 3: Per scegliere u presidete abbiamo ( 1 = modi e, per oguo di essi, abbiamo 1 1 modi per completare la commissioe co 1 professori scelti fra gli 1 rimasti. Quidi esistoo ( 1 commissioi distite. 4: Segue direttamete dai puti precedeti. 5: Basta cosiderare le segueti catee di uguagliaze:! =!(! =! (!(! = ( +! = ( + (!( +! 1! =!(! =! (!(! = (! 1 (!( 1 +! = 1 Esercizio 0.7. La seguete uguagliaza è ota come l idetità combiatoria di Fermat: i 1 = ( 1 i= Dimostrare l idetità precedete utilizzado u ragioameto combiatorio (seza fare coti! Suggerimeto: Si cosideri l isieme di umeri {1,..., }. Quati soo i sottoisiemi formati da elemeti che hao massimo pari a i? Il membro di siistra corrispode a tutti i modi di scegliere elemeti fra totali. Cocetriamoci ora sul membro di destra. Cosideriamo i modi di scegliere i sottoisiemi formati da elemeti che hao massimo pari a i. Per cotarli ragioiamo come segue: sicuramete dovremo scegliere il umero i (che sarà il ostro massimo e possiamo farlo i u uico modo, poi resterao da scegliere i restati 1 elemeti fra i umeri miori di i (che soo i. Duque abbiamo i 1 1 sottoisiemi formati da elemeti se i, metre o abbiamo alcua possibilità se ivece > i. L idetità di Fermat segue allora osservado che i sottoisiemi di elemeti possoo essere ripartiti i base al loro massimo. Esercizio 0.8. Si cosideri la seguete idetità combiatoria: = 2 1 ( =1 Dimostrare la precedete idetità co u ragioameto combiatorio (seza fare coti!, cosiderado u isieme di professori e determiado, i due modi, il umero di possibili commissioi di laurea formate da u umero qualuque di professori co u presidete scelto fra quelli selezioati. Suggerimeto: 1: Quate possibili commissioi formate da professori ci soo? 2: I quati modi si possoo scegliere u presidete e i restati membri della commissioe?

4 4 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 Come visto ell esercizio 0.6 ci soo ( possibili commissioi di laurea (co u presidete formate esattamete da professori. Pertato sommado sull idice otteiamo tutte le possibili commissioi di laurea formate da u umero arbitrario di professori (è il membro siistro dell idetità combiatoria cosiderata!. Per iterpretare il membro di destra possiamo ragioare così: abbiamo possibilità per iiziare scegliedo u presidete (che automaticamete farà parte della commissioe, successivamete cosideriamo il secodo professore e possiamo scegliere i modo del tutto arbitrario se iserirlo ella ostra commissioe oppure o (2 modi per proseguire!, proseguiamo cosiderado il terzo professore che di uovo potrà essere iserito o meo ella ostra commissioe di laurea (acora 2 modi per proseguire! e così via fio all ultimo. Avremo così } 2 2. {{ } = 2 1 ( volte modi per costituire la commissioe. Per chi ama far di coto... La precedete idetità può essere verificata i modo aalitico. Defiiamo la fuzioe f(x = (1 + x, co x (0, 2. Dal biomio di Newto segue immediatamete che da cui derivado otteiamo: f(x = =0 x = 1 + (1 + x 1 = f (x = Ifie valutado i x = 1 si ottiee 2 1 = =1 (. =1 =1 x x. Esercizio 0.9. Si cosideri la seguete idetità combiatoria: 2 = 2 2 ( + ( 2 =1 Dimostrare la precedete idetità co u ragioameto combiatorio (seza fare coti!, cosiderado u isieme di professori e determiado, i due modi, il umero di possibili commissioi di laurea formate da u umero qualuque di professori co u presidete ed u segretario scelti fra i professori selezioati (si assuma che u professore possa svolgere allo stesso tempo il ruolo di presidete e quello di segretario. Suggerimeto: 1: Quate possibili commissioi formate da professori ci soo? 2: Quate possibili commissioi co il presidete uguale al segretario ci soo? 2: Quate possibili commissioi co il presidete diverso dal segretario ci soo? Iiziamo cotado le possibili commissioi formate da professori. A tale scopo basta cotare tutti i modi di scegliere i professori che formerao la commissioe (che soo ( e poi avremo ( ( 1 = modi per scegliere u presidete e acora 1 = modi per scegliere u segretario. Duque i totale sarao 2( le possibili commissioi formate da esattamete professori. Sommado sull idice otteiamo che tutte le possibili commissioi di laurea soo 2. =1 Ora, quate soo le possibili commissioi i cui ua persoa è sia presidete che segretario? Aalogamete all esercizio precedete avremo possibilità per scegliere u presidete e 2 1 modi per scegliere come completare la commissioe co i restati professori. Quidi le commissioi i cui presidete e segretario coicidoo soo 2 1. Quate soo ivece quelle i cui presidete e segretario o coicidoo? Abbiamo modi per scegliere u presidete, 1 1 = 1 modi per selezioare u segretario fra i restati 1 professori e ifie 2 2 modi di scegliere

5 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 5 come completare la commissioe co i restati 2 professori (per i quali l uica ambiguità è decidere se iserirli o meo ella commissioe. Ne segue che le commissioi totali sarao ( 2 2 = = ( = ( Esercizio Si cosideri la seguete idetità combiatoria: 3 = ( + 3 ( 3 =1 Sfruttado quato visto egli esercizi precedeti dimostrare co u ragioameto combiatorio (seza fare coti! la precedete idetità. Ragioiamo esattamete come ell esercizio precedete, cotado le possibili commissioi di laurea che possoo essere formate a scegliedo u umero arbitrario di professori fra totali, assegado ioltre u ruolo di presidete, di segretario e di sottosegretario (o ecessariamete assegati a persoe diverse. Iiziamo cotado le possibili commissioi formate da professori. A tale scopo basta cotare tutti i modi di scegliere i professori che formerao la commissioe (che soo ( ( e poi avremo ( = modi per scegliere u presidete, = modi per scegliere u segretario e acora ( = modi di selezioare u sottosegretario fra i professori scelti. Duque i totale sarao 3( le possibili commissioi formate da esattamete professori. Sommado sull idice otteiamo che tutte le possibili commissioi di laurea soo 3. =1 Ora, quate soo le commissioi i cui presidete, segretario e sottosegretario coicidoo? Abbiamo modi per scegliere la persoa che ricoprirà i tre ruoli e 2 1 modi per completare la commissioe co i restati 1 professori (per i quali l uica ambiguità è decidere se iserirli o meo ella commissioe. Quate soo ivece le possibili commissioi i cui ua persoa è sia presidete che segretario ma o sottosegretario? Aalogamete all esercizio precedete avremo possibilità per scegliere u presidete-segretario, 1 modi per selezioare u sottosegretario differete e 2 2 modi per scegliere come completare la commissioe co i restati professori. Quidi le commissioi i cui presidete e segretario coicidoo ma soo differeti dal sottosegretario soo ( 2 2. U ragioameto simile mostra che le commissioi i cui presidete e sottosegretario coicidoo ma soo distiti dal segretario soo ( 2 2 e le commissioi i cui segretario e sottosegretario coicidoo ma soo distiti dal presidete soo acora ( 2 2. Quate soo ivece quelle i cui presidete, segretario e sottosegretario soo tutti distiti? Abbiamo modi per scegliere u presidete, 1 1 = 1 modi per selezioare u segretario fra i restati 1 professori, 2 1 = 2 modi per selezioare u sottosegretario fra i restati 2 professori e ifie 2 3 modi per completare la commissioe co i restati 3 professori (per i quali l uica ambiguità è decidere se iserirli o meo ella commissioe. Ne segue che le commissioi totali sarao ( ( ( 22 3 = = 2 ( Esercizio Da u isieme di 10 coppie sposate si vuole selezioare u gruppo di 6 persoe i modo che o cotega ua coppia sposata. 1: I quati modi si può selezioare u tale gruppo di persoe? 2: I quati modi si può selezioare u tale gruppo se i più si richiede che questo sia formato da 3 uomii e 3 doe? 1: Possiamo pesare di selezioare dapprima 6 coppie (i 10 6 modi diversi e successivamete da ogua di esse selezioare ua persoa (i ( 2 = 2 modi diversi. Ne segue che esistoo = modi di selezioare il gruppo richiesto. 2: Iiziamo selezioado le 3 coppie (i 10 3 modi diversi dalle quali prederemo i 3 uomii e successivamete scegliamo, fra le restati 7 coppie, le 3 coppie (i ( 7 3 modi da cui

6 6 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 prederemo le 3 doe. Esistoo pertato ( 10 3 ( 7 3 = = 4200 modi per selezioare il gruppo richiesto.