1 Congruenze. Definizione 1.1. a, b, n Z n 2, allora definiamo a b (mod n) se n a b.

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1 1 Cogrueze Defiizioe 1.1. a, b, Z 2, allora defiiamo a b (mod ) se a b. Proposizioe la cogrueza mod è ua relazioe di equivaleza su Z. a a () perché a a a b () b a () a b () b c () a b b c a c = (a b) + (b c) a c () Proposizioe 1.3. a, b Z 2. Soo fatti equivaleti: 1. a b 2. k 0 Z tale che a = b + k 0 3. {k + a} k Z = {k + b} k Z 4. a e b hao lo stesso resto ella divisioe euclidea per 1 2 Ovvio 2 3 {k + a} k Z = {(k + k 0 ) + b} k Z = {k + b} k Z 3 4 a = q 1 + r 1 0 r 1 < r 1 {k + a} k Z = {k + b} k Z r 1 = q + b b = ( q) + r 1 0 r 1 < quidi r 1 è il resto della divisioe di b per. 4 1 a = q 1 + r b = q 2 + r a b 1

2 Osservazioe 1.4. La Proposizioe 1.3 dice che ogua delle codizioi 1,..., 4 può essere presa come defiizioe di CONGRUENZA Classi di Cogrueza: [a] := {b Z a b ()} = {a + k k Z} progres. aritmetica di ragioe e puto iiziale a Le classi di cogrueza dao ua partizioe di Z Z = [a] dove X è isieme di rappresetati. Corollario 1.5. (della Proposizioe 1.3) a Z u uico 0 r < tale che a r () (il resto di a diviso ) Le classi di cogrueza modulo soo esattamete e possoo essere rappresetate da [0], [1],..., [ 1] a X Defiizioe 1.6. Z/Z := {[0], [1],..., [ 1] } Z/Z è l isieme quoziete di Z rispetto alla relazioe di cogrueza mod Esempio (10) 2. Z/6Z = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} == {[36], [ 5], [8], [ 3], [604], [ 1]}. Osservazioe 1.8. classi modulo iteri cosecutivi soo sempre u isieme completo di rappresetati delle Proposizioe 1.9. Se d le classi di cogrueza modulo dao ua partizioe più fie di quelle modulo d. Più precisamete [a] d = i=0,..., d 1 [a + id] 2

3 Ovviamete [a] [a] d a Z. Poiché [a + id] d = [a] d si ha d 1 [a + id] [a] d i=0 Viceversa k Z sia k = q d + i co 0 i < d allora a + kd a + id () [a] d = d 1 [a + id] e l uioe è sicuramete disgiuta perché si tratta di classi diverse modulo i=0 Proprietà delle cogrueze: Siao a, b Z e sia N co a b () h Z si ha ha hb () 2. a b () e a b () a + a b + b () e aa bb () 3. se a b () e d a b (d) 4. a b () e a b (m) a b ([, m]) 5. a b () (a, ) = (b, ) 6. ra rb () co r 0 a b ( (,r) ). I particolare se (, r) = 1 vale a b () ra rb (mod ). 1. a b h(a b) = ha hb 2. a = b+k e a = b +k da cui sommado le equazioi si ottiee a+a = b+b +(k+k ) e moltiplicadole si ottiee aa = bb + (bk + b k) 3. ovvio 4. a b e m a b, quidi per defiizioe di miimo comue multiplo si ha [m, ] a b 5. a = b + k, quidi (a, ) = (b + k, ) = (b, ) 6. Dalla relazioe ra rb = r(a b) dividedo per (, r) si ottiee r (, r) (a b) (, r) ( ) Poiché (,r), r (,r) = 1 si ha (,r) a b 3

4 Osservazioe Per la relazioe di cogrueza NON VALE la legge di cacellazioe. esempio 6 2 (4) ma 3 1 (4) Usado la proprietà 5 si ha 3 1 (2) Ad Applicazioi: Criteri di divisibilità per 3 : U umero è divisibile per 3 se e soltato se la somma delle sue cifre (i base 10 ) è divisibile per 3. Ifatti sia N u umero aturale la cui scrittura posizioale sia a k a k 1... a 0, co 0 a i 9. Allora = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0 quidi, poiché 10 1 (3), 0 (3) a k 10 k + + a a 0 a k + + a 1 + a 0 0 (3) Nello stesso modo si possoo dimostrare i criteri di divisibilità per 2, 5, 9, 10, 11. Si possoo ache derivare criteri di divisibilità per altri umeri, ma i geere o hao ua formulazioe elegate. Proposizioe Siao a, b Z e sia 2. Allora ha soluzioe se e solo se d = (a, ) b. ax b () I tal caso la cogrueza ha esattamete d soluzioi modulo. I particolare, ax 1 (mod ) ha soluzioe se e solo se (a, ) = 1 e i tal caso ha u uica soluzioe modulo. ax b (mod ) ha soluzioe se e solo se x 0 Z tale che ax 0 b (mod ), quidi se e solo se y 0 Z tale che ax 0 = b + y 0. Ne segue che la cogrueza ax b (mod ) ha soluzioe se e solo se ha soluzioe l equazioe ax y = b. Sappiamo che questa equazioe diofatea è risolubile se e solo se d = (a, ) b e i tal caso l isieme delle soluzioi è x = x 1 + d t t Z y = y 1 + a d t 4

5 dove (x 1, y 1 ) Z 2 è ua qualsiasi soluzioe dell equazioe. Abbiamo otteuto che ( ) ax b () x x 1 d Voledo esprimere la soluzioe i termii di cogrueza modulo, otteiamo x x 1 (), x x 1 + d (),......, x x 1 + d (d 1) () Il TEOREMA CINESE Cosideriamo il seguete sistema di cogrueze { x a (m) x b () (1) Tale sistema equivale a { x = a + mu x = b + v che ha come equazioe risolvete mu v = b a. Tale equazioe ha soluzioe se e solo se (m, ) b a. I tal caso le soluzioi soo u = u 1 + v = v 1 + (,m) t t Z m (,m) t (dove (u 1, v 1 ) è ua soluzioe qualsiasi dell equazioe risolvete). Sostituedo si ha x = a + mu 1 + m (m,) t = x 1 + [m, ]t, cocludere che IL SISTEMA (1) HA SOLUZIONI (m, ) b a. I tal caso la soluzioe è del tipo x x 1 ([m, ]). dove x 1 := a + mu 1. Possiamo quidi I particolare se (m, ) = 1 il sistema (1) ha sempre u uica soluzioe modulo m, { x a (m) cioè è equivalete a x x x b () 1 (m). Teorema (Teorema Ciese) Siao m 1,..., m r N tali che siao a due a due coprimi e m i 2. Cosideriamo a 1,..., a r Z. Allora il sistema ammette u uica soluzioe modulo m 1 m r. x a 1 (m 1 ). x a r (m r ) 5

6 Per iduzioe su r. Il caso r = 2 è stato appea visto. Se abbiamo r equazioi ci si può ricodurre al caso r 1 equazioi sostituedo le prime due equazioi co il risultato del sottosistema da loro formato. Esempio ha u uica soluzioe modulo x 7 (9) x 4 (13) x 11 (317) Esercizio Cotare le soluzioi del sistema modulo 90 { 4x 6 (18) 3x 4 (5) Poiché (4, 18) = 2 6, la prima equazioe ha esattamete 2 soluzioi modulo 18, ossia x a 1 (18) e x a 2 (18) Ioltre (3, 5) = 1 4, quidi la secoda equazioe ha soluzioe x b (5). Quidi le soluzioi del sistema soo le soluzioi di { x a1 (18) x b (5) e { x a2 (18) x b (5) Tali soluzioi x x 1 (90) e x x 2 (90) soo tra loro diverse perché x 1 a 1 (18) e x 2 a 2 (18) 6

7 Operazioi su Z/Z Le proprietà delle cogrueze possoo essere lette come propietà delle classi di cogrueza. Questo ci permette di defiire operazioi di somma e prodotto di classi di cogrueza. Siao a, b Z e sia 2 DEF: SOMMA [a] + [b] := [a + b] PRODOTTO [a] [b] := [ab] Verifichiamo che le defiizioi soo be poste, ossia che o dipedoo dai rappresetati delle classi. Vogliamo duque provare che [a] = [a ], [b] = [b ] [a + b] = [a + b ], [ab] = [a b ] Questo è vero e segue dalla Proprietà 2 delle cogrueze. Proprietà di somma e prodotto i Z/Z 1. +, soo associative 2. +, ; soo commutative 3. Esiste l elemeto eutro: + : [a] + [0] = [a] a Z : [a] [1] = [a] a Z. 4. Esiste l iverso per + : [a] + [ a] = [0] a Z 5. Legge distributiva: [a], [b], [c] Z vale [a] ([b] + [c]) = [a] [b] + [a] [c] Queste proprietà si verificao partedo dalle defiizioi e usado il fatto che soo vere per i umeri iteri. Def: [a] Z/Z si dice ivertibile se è ivertibile rispetto al prodotto, cioè se [x] Z/Z tale che [a][x] = [1]. Poiamo Z/Z := {[a] Z/Z [a] è ivertibile} Esempio I Z/Z o tutti gli elemeti soo ivertibili rispetto al prodotto, ad esempio [0] o è ivertibile modulo per essu. I Z/4Z le classi ivertibili ivertibili [1] e [3], metre i Z/5Z soo ivertibili [1], [2], [3], [4]. Proposizioe Il prodotto è u operazioe su Z/Z. 2. [a] Z/mZ (a, m) = Se p è u umero primo allora Z/pZ = Z/pZ \ {0}. 7

8 1) Siao [a], [b]iz/z e siao [u], [v] i loro iversi. Allora [a][b] ha come iverso [uv], ifatti [a][b][uv] = [abuv] = [aubv] = [1]. 2) [a] Z/Z se e solo se ha soluzioe la cogrueza ax 1 (mod ) ; per la Proposizioe 1.11 questo vale se e solo se (a, m) = 1. 3) Segue dal puto (2). Il Teorema ciese si può euciare ache per le classi di resto Teorema (Teorema Ciese, secoda forma) Siao m, 2 due iteri tali che (m, ) = 1. La fuzioe defiita da ϕ([a] m ) = ([a] m, [a] ) è bigettiva. ϕ : Z/mZ Z/mZ Z/Z ϕ è be defiita: ifatti, sia [a] m = [a ] m cioè a a (mod m), allora per le proprietà dimostrate si ha a a (mod ) e a a (mod ), quidi ([a] m, [a] ) = ([a ] m, [a ] ). ϕ è surgettiva: occorre verificare che ([a] m, [b] ) Z/mZ Z/Z esiste [x] m tale che ϕ([x] m ) = ([x] m, [x] ) = ([a] m, [b] ). Questo equivale a dire che esiste x Z tale che { x a (m) x b () e questo è vero per il teorema ciese. ϕ è iiettiva: poiché ϕ è surgettiva e tra isiemi fiiti della stessa cardialità, allora è ache iiettiva. Lemma (a, m) = 1 (a, m) = 1 e (a, ) = 1 2. (m, ) = 1 (a, m) = (a, m)(a, ) 1. ax 0 + my 0 = 1 (a, m) = 1 e (a, ) = 1 ax 0 + my 0 = 1 e aα 0 + β 0 = 1 da cui moltiplicado le equazioe si ha a(...) + my 0 β 0 = 1, da cui (a, m) = 1 8

9 2. Si dimostra facilmete usado la caratterizzazioe del massimo comue divisore i termii di fattorizzazioe. Corollario (m, ) = 1. Sia [x] m Z/mZ. [x] m Z/mZ ϕ([x] m ) Z/mZ Z/Z Corollario Siao m, 2 tali che (m, ) = 1 e sia ϕ la restrizioe di ϕ a Z/mZ. Allora ϕ : Z/mZ Z/mZ Z/Z è bigettiva. È be defiita per il precedete corollario È surgettiva perché ϕ è surgettiva e per il precedete corollario. È iiettiva perché restrizioe di u applicazioe iiettiva Fuzioe Φ di Eulero Φ : N N Φ() = {x 1 x, (x, ) = 1} = Z/Z Vogliamo dare ua formula per calcolare Φ(). Per il Corollario 1.20 si ha che m,, (m, ) = 1 Φ(m) = Φ(m)Φ(), ossia Φ è moltiplicativa. Quidi per calcolare Φ() basta calcolare Φ(p k ) per p primo (sappiamo già che Φ(p) = p 1 ). Sia 1 a p k. Chiaramete quidi (a, p k ) 1 p a a = pα Φ(p k ) = p k {pα 1 α p k 1 } = p k p k 1 = p k 1 (p 1) Dalla moltiplicatività della Φ otteiamo che se = p e1 p er co p i p j Φ() = i=1 p e i 1 i (p i 1) 9

10 Teorema Sia p primo. Allora x, y Z si ha (x + y) p x p + y p (p). (x + y) p = p i=0 ( ) p x i y p i = x p + i p 1 i=1 ( ) p x i y p i + y p i Devo far vedere che p 1 ( p ) i=1 i è u multiplo di p. Osservo che i = 1,..., p 1 si ha che p ( p i). Ifatti ( ) p = i p! i!(p i)! ha umeratore divisibile per p ma il deomiatore o lo è. Teorema (Teorema di Fermat) Sia p u primo. Allora x Z si ha x p x (p). Lo dimostriamo prima per x N, per iduzioe: x = 0 OK x x + 1 (x + 1) p x p + 1 p x + 1 (p) Se x < 0 x > 0 quidi ( x) p ( x) (p) ( 1) p x p x (p) se p 2 si ha x p x (p) se p = 2 si ha x 2 x (2) ma modulo 2 si ha che 1 1 Corollario Sia p u primo. Allora x Z tale che (x, p) = 1 si ha x p 1 1 (p). Sappiamo che x p x (p) e che se (x, p) = 1 allora [x] p è ivertibile. Duque moltiplicado per l iverso di [x] p otteiamo x p 1 1 (p). 10

11 Osservazioe Il corollario appea visto dice che [x] p Z/pZ [x] p [x p 2 ] p = [1] p cioè che [x p 2 ] p è l iverso di [x] p. Teorema (Teorema di Eulero) Sia m 2 e sia x Z tale che (x, m) = 1. Allora x Φ(m) 1 (mod m). Sia x Z tale che (x, m) = 1 ; allora [x] Z/mZ. Sia f : Z/mZ Z/mZ la fuzioe defiita da f([a]) = [a][x] ; si ha: f è be defiita perché Z/mZ è chiuso rispetto al prodotto; f è iiettiva: ifatti, f([a]) = f([b]) [a][x] = [b][x] [a] = [b] perché [x] è ivertibile; f è surgettiva perchè è ua fuzioe iiettiva da u isieme fiito i sé. Da questo segue che f(z/mz ) = Z/mZ [c] = [a] Z/mZ [a] = e quidi [a][x] f(z/mz ) ([a][x]) = [x] Φ(m) [c]. Poiché [c] Z/mZ, moltiplicado per [c] 1 etrambi i membri dell equazioe [c] = [x] Φ(m) [c], otteiamo [x] Φ(m) = [1]. 11