che sono una l inversa dell altra; l insieme dei messaggi cifrati C i cui elementi sono indicati con la lettera c.

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1 I LEZIONE Il ostro iteto è aalizzare i dettaglio i metodi di cifratura che si soo susseguiti el corso della storia prestado particolare attezioe all impiato matematico che e cosete la realizzazioe Iiziamo il ostro studio approfodedo il primo esempio di crittografia che la storia ci forisce Svetoio, uo storico del II sec dc, ella sua Vita dei Cesari parla di u sistema utilizzato da Cesare per cifrare i suoi messaggi: egli spostava di tre lettere ogi lettera del messaggio da iviare Iazi tutto ricordiamo che u crittosistema è costituito da: l isieme dei messaggi i chiaro P di cui idichiamo gli elemeti co la lettera p; l isieme delle chiavi K i cui ogi elemeto determia ua trasformazioe di cifratura C e ua trasformazioe di decifratura D che soo ua l iversa dell altra; l isieme dei messaggi cifrati C i cui elemeti soo idicati co la lettera c Abbiamo quidi che u crittosistema è determiato da (P,K,C) e la comuicazioe tra due persoe, Valetia e Marco, può essere riassuta dal seguete diagramma: Chiave! K Valetia sceglie u messaggio p da madare e ua chiave per cifrarlo Cifratura del messaggio i chiaro p C ( p) = c Decifratura di c D = p Messaggio i chiaro p! P Marco legge il messaggio p di Valetia Nel cifrario di Cesare: gli elemeti p soo le parole che vogliamo iviare; la chiave cosiste i fase di cifratura ello spostare di tre posti le varie lettere ( C ) e i fase di decifratura el rimetterle ella loro corretta posizioe ( D ); gli elemeti c soo il risultato dell operazioe di cifratura Se idichiamo co lettere miuscole le 21 lettere dell alfabeto, ciascua lettera del ostro messaggio (testo i chiaro) sarà sostituita co la lettera che si trova tre posizioi più avati, e che per comodità idicheremo co caratteri maiuscoli, otteedo così u uovo messaggio (testo cifrato) apparetemete privo di sigificato a b c d e f g h i l m o p q r s t u v z D E F G H I L M N O P Q R S T U V Z A B C Ad esempio se il messaggio da iviare è il seguete: domai o adiamo a scuola il risultato dopo la cifratura sarà: GRPDQN QRQ DQGNDPR D VFAROD

2 Possiamo decidere di geeralizzare questo sistema utilizzado ua chiave diversa cioè decidedo di spostare le lettere o più di tre posizioi ma di ua quatità arbitraria U sistema di questo tipo, i cui l alfabeto cifrate è otteuto dall alfabeto i chiaro spostado di u certo umero di posizioi le lettere, prede il ome di cifrario di Cesare o di cifratura per traslazioe Le possibilità per i cifrari di Cesare el caso della ligua italiaa soo solamete 20 perché ovviamete se ua lettera si sposta di 21 posizioi, ritora al puto di parteza Metre el caso dell alfabeto iglese abbiamo 25 alfabeti cifrati possibili dato che le lettere soo 26 Abbiamo visto che voledo cifrare u messaggio usado il metodo di Cesare dobbiamo sostazialmete traslare le lettere di u certa quatità di posizioi (che decidiamo oi e rappreseta la chiave utilizzata per cifrare) I effetti possiamo iterpretare così la procedura che attuiamo: assegamo ad ogi lettera dell alfabeto i chiaro u umero corrispodete alla sua posizioe (la A occupa la posizioe 0 e la Z la posizioe 20), dopodichè decidiamo u umero (ad esempio 5) che rappreseta la ostra chiave e lo sommiamo ad ogi posizioe così da otteere che ell alfabeto cifrate la A corrispoda alla lettera i posizioe 5 cioè alla F, la B alla G,, la R alla Z, la S che occupa la posizioe 16 corrispoda alla A, la T alla B,, la Z alla E Il odo fodametale di questa procedura sta el fatto che quado abbiamo deciso la corrispodeza tra la T e la B abbiamo sostazialmete ragioato cosi: la lettera T occupa la posizioe 17 (ricorda che partiamo dalla posizioe 0), 17+5=22 ma le posizioi possibili soo 21 e soo umerate da 0 a 20 quidi il umero 22 o corrispoderebbe a essua lettera 22 = 1! e abbiamo deciso che la lettera T doveva corrispodere a quella i posizioe 1 cioè alla B Ed è per questo motivo che la lettera S corrispode alla A (perché S= posizioe 16, 16+5=21, 21 = 1! e la lettera A occupa la posizioe 0), la U alla C e così via Quidi da u puto di vista matematico quado cifriamo co questo metodo operiamo ua somma (per traslare) dopodichè se il risultato è maggiore di 21 ci iteressiamo solo al resto della divisioe Questo modo di procedere può sembrare astruso ma i realtà lo utilizziamo quotidiaamete ad esempio quado leggiamo l ora sull orologio Ifatti quado leggiamo l orologio sappiamo beissimo che, ad esempio, le 13:00 corrispodoo all 1:00 e le 18:00 alle 6:00, e il motivo di questa corrispodeza sta el fatto che il resto della divisioe per 12 di 13 è 1 metre di 18 è 6 Cerchiamo di geeralizzare il cocetto Iazi tutto diamo ua defiizioe cercado di capire che coessioe ha co quato detto fiora DEF Sia u itero positivo fissato Due umeri a,b! Z soo cogrui modulo se e solo se a-b è u multiplo di, ovvero, espresso i formule, a! b ( ) # ( a " b) =! h per qualche h! Z Esempi: 1 25! 1 ( 3) perché 25 " 1 = 24 = 3! ! 55 (6) perché 67 " 55 = 12 = 6! ! 1 (6) perché 55 " 1 = 54 = 6! 9 4 " 5! 1 (6) perché " 5 " 1 = 6! 1 Osservazioi 1 Notiamo che gli esempi 2 e 3 ci suggeriscoo l idea di trasitività della cogrueza Ifatti vale ache che 67! 1 (6) perché 67 " 1 = 66 = 6! 11

3 2 Ora possiamo dire che quado dobbiamo criptare u messaggio operiamo modulo 21 Per di più ivece di lavorare co tutti i possibili umeri iteri lavoriamo solo co quelli compresi tra 0 e 20 (che soo le posizioi possibili) Ifatti se, per assurdo, volessimo operare ua traslazioe di 63 posizioi, per trovare come criptare, ad esempio, la lettera B dovremmo capire a quale umero b è cogruo modulo 21 il umero a=64=63+1 (che rappreseta la posizioe traslata della lettera B) Ovviamete scoprire che 64! 43 (21) ache se è u risultato esatto o ci forisce essua iformazioe utile perché la lettera umero 43 o esiste! Quidi, i realtà, quado vogliamo capire a cosa è cogruo u certo umero a modulo siamo iteressati a trovare quell uico umero b compreso tra 0 e -1 tale che sia verificata la cogrueza Mettedo isieme le due osservazioi precedeti possiamo ricavare che modulo 6 i umeri 67, 55, -5, -23 soo i realtà lo stesso umero e cioè 1 (provare per credere!!!) Perché? Perché il resto della divisioe per 6 di questi umeri è sempre cogruo a 1 modulo 6 Ifatti 67/6 dà resto 1 (perché 67 = 6! 11+ 1) e baalmete 1! 1 (6) oppure -23/6 dà per resto -5 (perché! 23 = 6 " (! 3)! 5 ) e " 5! 1 (6), e così via Quidi, i geerale, possiamo cocludere che, fissato, tutti i umeri 0,,-1 siao i u certo seso speciali i quato u qualsiasi altro umero itero (positivo o egativo) sarà cogruo ad uo di essi modulo Questo ruolo speciale sta proprio el fatto che scelto u qualsiasi b tale che 0 " b "! 1 tutti gli altri umeri iteri il cui resto della divisioe per è uguale a b possoo essere idetificati co b stesso el seso della cogrueza Restao così defiiti isiemi di umeri ovvero: DEF Gli isiemi della forma b = { a " Z a! b( ) }= iteri che divisi per dao resto b si chiamao classi di resto modulo I umeri b soo tali che 0 " b "! 1 e vegoo chiamati rappresetati della classe ESEMPIO Possiamo calcolare tutte le classi di resto modulo 4: 0 = {,! 16,! 12,! 8,! 4,0,4,8,12, }= iteri che divisi per 4 dao resto 0 {,! 11,! 7, 3,1,5,9, } {,! 6, 2,2,6,10, } {,! 9,! 5, 1,3,7,11, } 1 =! = iteri che divisi per 4 dao resto 1 2 =! = iteri che divisi per 4 dao resto 2 3 =! = iteri che divisi per 4 dao resto 3 DEF L isieme di queste classi di umeri si idica co ESERCIZI Specificare tutti gli elemeti di Z 21 A che classe di resto modulo 23 appartiee il umero 74? Dire a che classe di resto modulo 5 appartiee il umero -7 Idicare la classe di resto modulo 12 di -13 Specificare la classe di resto modulo 7 di 63 Z Cioè Z = { 0,1,,! 1} Allora, riassumedo i ua tabella l associazioe lettera-umero fatta precedetemete,

4 Lettera Numero Lettera Numero Lettera Numero a b c d e f g h i l m o p q r s t u v z possiamo otare che l alfabeto umerico dei messaggi uitari (le sigole lettere) è rappresetato da P = Z21 Poiché el cifrario di Cesare ogi lettera viee sostituita co la lettera che si trova u certo umero di posizioi più avati abbiamo che l isieme delle chiavi è K={ 0,1,,20} (perché?) Allora il sistema crittografico per traslazioe può essere cosi schematizzato: data la chiave! K, la fuzioe cifrate sarà la seguete: C : Z21! Z21 p! p + mod 21, metre la fuzioe iversa, quella di decifratura, sarà: D : Z21! Z21 c " c! mod 21 Esercizi di cifratura e decifratura Utilizzado le cogrueze 1 Criptare u messaggio a scelta utilizzado =7 2 Decriptare il seguete messaggio sapedo che =16 DE UHMNH GPFZMD IMDFD Z UMDOOHBMSADS Z DGOZMZNNSGOZ (il corso umeri primi e crittografia è iteressate) DECIFRATURA Se itercettiamo u messaggio che sappiamo essere stato criptato col metodo della traslazioe per decifrarlo dovremo scoprire quato vale, cioè la chiave I realtà chi ha qualche esperieza di risoluzioe di problemi crittografici tipo quelli della settimaa eigmistica sa che è possibile decodificare u messaggio pur o cooscedo la chiave Nel caso del cifrario di Cesare è possibile pesare di procedere per tetativi Ifatti i cifrari possibili soo 20 el caso di u testo scritto i ligua italiaa (25 se il testo è i iglese) Ma se il testo è molto lugo i tempi di decifratura diveterebbero leti foredo magari troppo tardi iformazioi utili Messi di frote ad u testo da decifrare si procede co quella che si chiama aalisi del testo Poiché ella ligua italiaa la maggior parte delle parole termia co ua delle vocali a,e,i,o vorrà dire che le lettere fiali delle parole del messaggio cifrato dovrao essere ua di queste lettere Purtroppo si fa presto ad eludere questa cosiderazioe spezzado il messaggio i blocchi della stessa lughezza il che rede complicata la ricostruzioe delle sigole parole Però si può ricorrere ad altre cosiderazioi Se el testo ci soo lettere cosecutive idetiche queste ecessariamete devoo essere cosoati Si hao poi ulteriori iformazioi, forite dalla cosiddetta aalisi delle frequeze I ogi ligua ci soo lettere che compaioo ei testi co maggiore frequeza ed altre più raramete, ad esempio ella ligua italiaa le lettere più frequeti soo ell ordie e,a,i metre le meo usate soo q,z Riportiamo di seguito ua tabella riassutiva

5 Lettera % Lettera % Lettera % a b c d e f g 11,74 0,92 4,50 3,73 11,79 0,95 1,65 h i l m o p 1,54 11,28 6,51 2,52 6,88 9,83 3,05 q r s t u v z 0,51 6,38 4,98 5,63 3,02 2,10 0,49 Altre iformazioi si possoo reperire dalla frequeza delle doppie, dalla tedeza di certe lettere a o gradire la viciaza di altre, ecc Suppoiamo di itercettare il seguete messaggio: OD LDZZD IUHZZRORVD ID N LDZZNQN FNHFMN e di voler scoprire cosa sigifichi Riportiamo la frequeza delle lettere el ostro messaggio: Lettera Occorreze Lettere Occorreze Lettera Occorreze A 0 H 2 Q 1 B 0 I 2 R 2 C 0 L 2 S 0 D 6 M 1 T 0 E 0 N 5 U 1 F 2 O 2 V 1 G 0 P 0 Z 6 La lettera D potrebbe essere ua a, ua e o ua i Lo stesso dicasi per le lettere N e Z Tuttavia la Z è quasi sicuramete ua cosoate doppia perché o si possoo avere due vocali cosecutive uguali e duque ecessariamete la D, la N, la R e la H soo vocali, perché compaioo i ZZD, ZZN e HZZR Molto probabilmete la O è ua l visto che abbiamo stabilito che D è ua vocale metre la Z potrebbe essere ua r, ua o ua t per via della sua alta frequeza È evidete che abbiamo otevolmete ridotto il umero dei tetativi da fare per decodificare il messaggio Tetiamo co la sostituzioe: N=i, D=a, O=l, H=o, R=u, Z=t, otteiamo: la Latta IUottuluVa Ia i LattiQi FioFMi È chiaro che la scelta R=u o è proprio felice e duque prededo R=o e H=e arriviamo a la Latta IUettoloVa Ia i LattiQi FieFMi e co altri tetativi possiamo giugere alla soluzioe: la gatta frettolosa fa i gattii ciechi È chiaro che il modo di procedere è molto falsato perché stiamo facedo l aalisi di u testo troppo breve, ma l importate è aver sottolieato come le tate possibilità teoriche possao essere otevolmete ridotte usado iformazioi sul liguaggio e procededo sistematicamete per tetativi