Nozioni elementari di Analisi Matematica applicate alla Fisica Generale

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1 Nozioi elemeari di alisi Maemaica applicae alla Fisica Geerale Nozioe di iegrale ideiio La derivazioe può essere ierpreaa come ua regola che, per ogi uzioe assegaa (primiiva), ci permee di deermiare u alra (la sua derivaa). Da queso puo di visa si può cosiderare la derivaa come u applicazioe, deiia ell isieme delle uzioi, a valori ell isieme delle uzioi. h g Primiive d dg dh Derivae Nasce allora la quesioe, se sia possibile rovare l applicazioe iversa, che ad ogi derivaa associa la sua primiiva. I realà ciò o è sreamee possibile, perché mole diverse uzioi hao la sessa derivaa. Precisamee, i base alle regole di derivazioe, ue le uzioi del ipo (), co C cosae arbiraria, hao derivaa uguale. Primiive Derivae L isieme delle uzioi che hao la sessa derivaa prede il ome di iegrale ideiio della uzioe, e si scrive: d g = g è la derivaa di = g è l iegrale ideiio di g

2 Esempio Daa la uzioe x =, la uzioe v = 6 è la derivaa. La uzioe x è ua primiiva di v; ma esisoo mole alre primiive, come ad esempio la uzioe x = +. L isieme delle primiive di v è l iegrale ideiio: x = v = + C L iegrale ideiio si oiee quidi aggiugedo ad ua delle primiive di v ua cosae arbiraria C. lgorimi di iegrazioe ideiia Nel Corso di Fisica Geerale risulao odameali poche ozioi elemeari relaive al calcolo di iegrali ideiii, riassue ella abella seguee. Primiiva Iegrale ideiio + g ( g) = + + g = ( ) k ( k ) a se( ω ) a se ( ω ) a cos ( ω ) a cos ( ω ) = + k + a cos = ω a se = ω ( ω ) ( ω ) L iegrale della somma di due uzioi è uguale alla somma degli iegrali. La cosae esce dal sego di iegrale. L iegrale di u moomio è u moomio di grado superiore. La ormula vale Z Esempio: Si calcoli l iegrale ideiio del poliomio v = + Usado la regola per l iegrale della somma di uzioi e quella per l iegrale dei moomi, roviamo: v = + B B

3 Nozioe di iegrale deiio Si cosideri il seguee problema: come si deermia l area della porzioe di piao BCD, cioè del reagoloide compreso ra l asse delle ascisse e ua porzioe del graico di ua cera uzioe ()? C D B Procededo per approssimazioi successive, si può iaziuo sosiuire al reagoloide l isieme di reagoli rappreseai i igura. La base del reagolo i-mo è u segmeo, il cui primo esremo è i, il secodo i+. L alezza è il valore della uzioe i i, cioè ( i ); la base è i = i+ - i. L area è allora i = ( i ) i ; e quidi l isieme dei reagoli ha area oale: = ( ) i i Qui il pedice idica che è la prima sima dell area. I secoda approssimazioe, si possoo scegliere reagoli co base più piccola. Se ad esempio ella prima approssimazioe si ossero cosiderai reagoli di base pari a, i secoda approssimazioe si porebbero predere reagoli di base, oeedo la sima ; poi 4 reagoli di base ; e così via. 4

4 Da u puo di visa ormale, allora, l area può allora essere espressa soo orma di limie: = lim 0 ( i ) Queso paricolare limie è idicao col simbolo = ( ) che prede il ome di iegrale deiio (e si legge: è l iegrale di i de ra e ). I simboli, idicao gli esremi della base del reagoloide e predoo il ome di esremi di iegrazioe. La variabile prede il ome di variabile di iegrazioe o variabile mua. Da u puo di visa ormale, il simbolo può essere sosiuio (ad esempio, co ) seza che il risulao cambi. lgorimo di calcolo dell iegrale deiio L iegrale deiio si valua acilmee ricorredo al eorema odameale del calcolo iegrale, la cui dimosrazioe è riporaa i ui i mauali elemeari di aalisi maemaica. Il procedimeo è il seguee. Si debba calcolare l iegrale deiio: = ( ) I primo luogo si deermia ua qualuque primiiva F della uzioe. Poi si valua F egli esremi di iegrazioe; si usa iie la relazioe: = F( ) F( ) quesa scriura si sosiuisce alvola ques alra, equivalee: = F

5 Esempio Si voglia calcolare l iegrale deiio: = Usado la abella degli iegrali ideiii si rova la primiiva Si ha quidi: = F = F ( ) F( ) = 7 8 = 9 F =