Equazioni differenziali: formule

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1 Equazioi differeziali: formule Equazioi a variabili separabili y ' A B y Vale eorema esiseza e uicià locale y ' dy Ad B y y y ' A B y y Si applicao le codizioi alla fie dei due iegrali idefiii, oppure y y ' dy Ad B y y Equazioi lieari del primo ordie y ' A y B Per il eorema di sruura le soluzioi soo ue e sole le fuzioi del ipo y y y y è l iegrale dell omogeea associaa e Dove complea. L iegrale dell omogeea associaa è y ua soluzioe paricolare dell equazioe y' e La soluzioe paricolare dell equazioe complea si rova col meodo di variazioe delle cosai arbirarie, applicado la seguee formula: a d ad y e b d La soluzioe complea è quidi ad ad y e c e bd y y ' A y B y Si applicao le codizioi all iegrale fiale ad ad y y e c e bd

2 Equazioi lieari del secodo ordie y '' ay ' by f E possibile risolverle solo se i coefficiei soo cosai La soluzioe è uo spazio veoriale i due dimesioi: se y1 e y soo ifai due soluzioi dell omogeea associaa e k1, k due scalari appareei a R, k1y1+ky è acora soluzioe dell omogeea, ma ache y1- y è acora soluzioe. Per il eorema di sruura le soluzioi soo sempre e comuque del ipo y y y Paredo dall omogeea associaa, cerco soluzioi della forma: y per cui ' e y e y '' e L equazioe divea ua cosa del ipo a b (1) Ua vola rovai i valori di la soluzioe sarà y c e c e 1 1 Se ho due auovalori uguali dovrò cercare la secoda primiiva come: y e E la soluzioe sarà quidi y c e c e c c e 1 1 Per rovare la soluzioe paricolare abbiamo due meodi: 1) Meodo di variazioe delle cosai arbirarie Ci dà la formula: y f y ' ' y y y y 1 1 ) Meodo di verosimigliaza Se f() è faa bee, cerchiamo di associarla a u poliomio di queso geere f P e si m Predo due valori di : i 1 i Se essuo di quesi due è soluzioe del poliomio caraerisico (1) allora y Q e si R e cos m m Qm ed Rm Dove coefficiei y '' ay ' by f y y' y ' y Si applicao le codizioi alla fie soo due poliomi complei di grado m di cui si devoo deermiare i

3 Equazioi lieari di ordie superiore al secodo e sisemi o omogeei y ' A y b Suppoiamo di avere ua equazioe più complicaa della precedee i forma lieare 1 y a1 y... a y ' b L equazioe può essere ricodoa i u sisema di equazioi del primo ordie ramie la seguee sosiuzioe y1 y y y1' y ' y3 y' y ''... 1' y y 1 ' y Il sisema si può quidi scrivere come: y ' A y B Dove la marice A sarà cosruia come segue 1 1 A 1 a a 1 a1 y1 ' y ' y3 ' y' y4 ' y ' B b Sappiamo risolvere il sisema solo se è a coefficiei cosai, ovvero A() è A. y ' Ay Comiciamo a risolvere il sisema omogeeo: Si ricorre al calcolo della marice espoeziale: 1) Si deermiao gli auovalori della marice A I dove I è la marice ideica ) Si deermiao gli auoveori relaivi agli auovalori rovai (NB devoo essere ui diversi, se ci soo auovalori ripeui il caso o è sao raao a lezioe) 3) La soluzioe del sisema è 1 O 1 1 i i1 i y c e v c e v... c e v c e v dove v1, v ecc soo gli auoveori associai agli auovalori Per rovare ua soluzioe paricolare è ecessario il calcolo della marice espoeziale i

4 La marice espoeziale è, dea S la marice degli auovalori e diagoale compare l espoeziale degli auovalori. A queso puo sa yp e bsds A 1 dove Se S e è la marice sulla cui y '' ay ' by f y y y ' y' y '' y'' ' ' y y Ache qui le codizioi si applicao alla fie.

5 Equazioe di Eulero Secodo ordie 1 a y '' a y ' a y f f a1y ' ay y'' a Si risolve mediae la sosiuzioe e e Calcolo la fuzioe i e le sue derivae (caso posiivo) y e ' ' '' '' ' '' ' au '' a1 a u ' au f e u u y e e u y e e y e e y e e u Da qui ci si ricoduce al caso lieare Terzo ordie a y ''' a y '' a y ' a y f Si risolve mediae la sosiuzioe e e Calcolo la fuzioe i e le sue derivae (caso posiivo) y e ' ' '' '' ' '' ' u u y e e u y e e y e e y e e u 3 au ''' a1 a u '' a a1 u ' a3u f e u ''' y ''' e e u '' Da qui i poi ci si ricoduce al caso lieare del erzo ordie