Teoria delle molteplicità Angelo Torchitti 1

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1 TEORIA DELLE MOLTEPLICITA Sia data ua espressioe algebrica del tipo P ( ) Q ( ) P ( ) Q ( ) P ( ) Q ( ) = P ( ) P ( ) P ( ) Q ( ) Q ( ) Q ( ) dove tutti i P i () e Q i () soo poliomi al massimo di primo grado. D ora i poi cosidereremo solo espressioi algebriche di questo tipo. Chiameremo valori limite dell espressioe tutti i valori di che aullao almeo uo dei poliomi P i () e Q i (). Chiameremo ivece molteplicità del valore limite i il grado complessivo co cui il termie (- i ) è coteuto ell espressioe assegata. Si dice molteplicità all ifiito la differeza tra il grado del umeratore e il grado del deomiatore. Ad esempio: ( ) ( + ) ( + )( ) = ( ) ( + ) ( ) ( + ) + Valori limite Molteplicità La molteplicità di u valore limite coicide praticamete co l espoete del fattore da cui il valore limite proviee. I realtà deve essere calcolato co attezioe perché quel valore limite potrebbe apparire i più termii. I questo caso si deve ricordare che, essedo i valori limiti espoeti, valgoo le cosuete proprietà delle poteze. D ora i poi supporremo che ell espressioe lo stesso valore limite. P ( ) Q ( ) P ( ) Q ( ) P ( ) Q ( ) o vi siao due fattori che presetao Diremo che u valore limite è pari se il fattore da cui proviee o può cambiare di sego, che è dispari se il fattore da cui proviee può cambiare di sego Ad esempio: ( ) ( ) + ( ) Valori limite Molteplicità / - - 4/ 4/ Parità D P D D P Queste cosiderazioi possoo essere estese, co u po di attezioe, ache al caso i cui i poliomi P i () e Q i () siao di secodo grado. Questo perché siamo i grado di trovare le soluzioi di u equazioe di secodo grado e, quidi, di scomporre u espressioe di secodo grado el prodotto di due fattori di primo grado (se ovviamete ammette soluzioi). Ad esempio ( + )( ( ) + ) Valori limite 0 + Molteplicità - - Parità D P D D Se i poliomi P i () e Q i () soo di grado superiore al secodo il problema di ricercare le soluzioi dei fattori risulta difficile perché, i geerale, esistoo formule semplici solo per le equazioi di primo e secodo grado. Esiste comuque, a questo proposito, u teorema che afferma che qualuque poliomio può essere scomposto i u prodotto di fattori di, al massimo, secodo grado. Teoria delle molteplicità Agelo Torchitti

2 Tutte queste iformazioi possoo essere riassute su u asse che chiameremo asse delle molteplicità. Ad esempio: ( ) ( + ) + ( ) 4 + preseta u asse delle molteplicità del seguete tipo P(-) P() D() D( ) D(-) + 4 Si osservi che i valori limite e soo stati crociati perché essi provegoo da fattori al deomiatore e quidi costituiscoo valori che fao aullare il deomiatore stesso e quidi esclusi (Codizioi di Realtà). D ora i poi cosidereremo le molteplicità all ifiito solo quado ecessario ESERCIZI GUIDATI Scrivere l asse delle molteplicità per le segueti espressioi algebriche: () ( ) D(+) P(+) D(-) D(-) D(+) E ecessario far fare attezioe alla preseza di uo stesso valore limite sia al umeratore che al deomiatore (=) e quidi far osservare che la molteplicità di tale valore è 0. Di cosegueza la parità del valore limite è PARI. - 0 D(+) P(+) P(0) D(-) () + 0 D() D(+/) D(-) D(+/) 0 D() D(+/) P(-/) E ecessario far acora attezioe alla preseza di uo stesso valore limite al umeratore e al deomiatore (=). I- oltre è ecessario isistere sul calcolo delle molteplicità dei valori limite sotto radice. () ( ) 0 P(-) D(+) P(+) L esercizio serve soprattutto ad osservare come vegoo trattati i valori limite che provegoo da valori assoluti. No bisoga cofodere parità e disparità di u valore limite co la parità o disparità della molteplicità (4) 0 P(/) P(/) D(-) 0 CE 0 P(/) P(/) D(-) Questo esercizio è molto iteressate perché mostra da ua parte come si possoo iserire ache le radici di idice pari ella trattazioe, cosiderado i modo corretto sia la molteplicità che la parità dei valori limite, sia come è però ecessario calcolarsi sempre le codizioi di esisteza dell espressioe algebrica. Il diagramma delle molteplicità deve ifatti coteere tutte le CE dell espressioe. Teoria delle molteplicità Agelo Torchitti

3 APPLICAZIONI DELL ASSE DELLE MOLTEPLICITA : le disequazioi La coosceza dell asse delle molteplicità cosete di risolvere diversi problemi i modo semplice. Il rigore matematico i questa fase lascerà ecessariamete il posto ad ua miima dose di ituizioe. Si suppoga di voler risolvere la seguete disequazioe ( )( ) > 0 ( ) il cui asse delle molteplicità è il seguete 0 P(-) D() D(-) D() Soffermiamoci u attimo sul sigificato della disequazioe proposta. Essa richiede che si determii l isieme dei valori di che redoo positiva l itera espressioe a siistra. Ricordiamo acora che studiare il sego dell espressioe proposta è equivalete, ad eccezioe dei puti di realtà, a studiare il sego dell espressioe ( )( ) ( ), co tutti i fattori al umeratore. Ora, la precedete espressioe, per cambiare sego, deve prima aullarsi e quidi possiamo cocludere che: A) U espressioe algebrica può cambiare sego solo ei puti limite Ma se u puto limite è pari il fattore da cui il puto limite discede assume sempre sego costate, di cosegueza possiamo meglio specificare la proprietà precedete B) U espressioe algebrica può cambiare sego solo ei puti limite dispari Di cosegueza per determiare il sego dell itera espressioe sarà sufficiete determiarlo solo i ua qualsiasi delle zoe i cui l asse delle molteplicità è diviso dai puti limite. Risulta coveiete, per il calcolo, pesare di determiare il sego dell espressioe ell itervallo più a destra, vale a dire per u valore molto grade dell icogita (questo perché o ci iteressa il valore assuto dall espressioe, ma solo il suo sego). Nel caso i esempio, se fosse molto grade (sto pesado a =00), il fattore ( ) risulterebbe positivo, ( ) egativo, positivo, (-) egativo: due fattori positivi e due egativi, di cosegueza l espressioe risulta positiva. Si può completare l asse delle molteplicità idicado il sego + sull itervallo più a destra e scrivedo i segi sugli altri itervalli spostadoci verso siistra, mateedo il sego se si attraversa u puto limite pari, cambiadolo se si attraversa u puto limite dispari: P(-) D() D(-) D() Questo asse fiale, che chiameremo asse completo delle molteplicità, ci cosete di risolvere la disequazioe proposta omiado semplicemete gli itervalli cotrassegati dal sego (i questo caso) +. Suppoiamo acora di avere ( + )(4 )? 0 Il puto iterrogativo tra i due membri è stato posto volotariamete, perché sia chiaro che il verso della disequazioe o ifluisce sul metodo che verrà utilizzato, ma solo sulla scelta fiale delle soluzioi. Idichiamo le cosiderazioi che ci cosetoo di costruire l asse delle molteplicità: Il fattore + o si aulla mai, quidi o produce valori limite Il fattore (4 ) produce due valori limite, + e, etrambi dispari, co molteplicità Il fattore produce u valore limite, 0, dispari, co molteplicità Il fattore produce u valore limite, +, pari, co molteplicità + Il fattore produce due valori limite, + e, dispari, co molteplicità +/ ( = ( + ) ( ) ) Ifie, per grade, tutti i fattori soo positivi ad eccezioe di (4 ) e quidi l itera espressioe risulta egativa. Teoria delle molteplicità Agelo Torchitti

4 L asse completo delle molteplicità è così costituito + - _ + 0 _ + _ A secodo del verso della disequazioe di parteza verrao scelti gli itervalli opportui. E da risaltare il fatto che il metodo utilizzato, come vedremo più avati, ci forisce u isieme molto vasto di iformazioi e oi e usiamo solo ua parte per risolvere ua disequazioe. Esercizi guidati D(-) D(+/) D(-) P(+) D(-) D(+/) D(+4/) ( ) ) 0 + _ _ D(+) P(+) P(0) D(-) I questo esercizio le soluzioi soo date da S = { > }. Si deve far otare che l espressioe algebrica si aulla i tutti (e solo) i puti limite o esclusi dalle codizioi di esisteza. Nel caso di disequazioi co relazioe d ordie o essi vao iclusi ella soluzioe. ( + ) ) 0 _ _ D() P(/) P(/) D(-) Questo esercizio risulta piuttosto istruttivo perché mostra ua espressioe algebrica co u fattore irrazioale pari e quidi bisogerà cosiderare bee le codizioi di esisteza. Ebbee, co questo metodo, ua volta ricoosciuti pari i valori limite =0 e = (provegoo da u radicale pari, e quidi sempre positivo), si procede ormalmete, icollado le CE solo alla fie, dopo aver determiato i segi ei sigoli itervalli.. + ) < _ + + D() D(+/) P(-/) N.B. Il metodo delle molteplicità così come spiegato o preseta sigificative differeze dalla cosueta regola dei segi utilizzata per risolvere le stesse disequazioi, azi, quest ultima è spesso ecessaria, ad esempio per risolvere la disequazioe + >0. E importate far riflettere gli studeti sul perché quest ultima espressioe o possa essere ( + ) trattata (semplicemete) co le molteplicità isistedo sul fatto che il umeratore o è scritto ella forma P () co P() poliomio di primo o secodo grado. Di P() o è facile, i geerale, calcolarsi il valore limite e la sua molteplicità. Il vataggio del metodo delle molteplicità cosiste, ache se limitatamete ai casi trattabili, ella sua estrema semplicità ( + )( + )( + )( + 4)( + 5) e liearità ( si può proporre la disequazioe > 0, impropoibile co la regola dei segi), ell utilizzo successivo che porterà alla rappresetazioe grafica delle fuzioi, alla possibilità di aticipare scrit- ( )( )( )( 4)(5 ) ture e cocetti degli ai successivi, al cosolidameto ello studete dello stretto legame che esiste tra algebra e geometria, all immediata acquisizioe di metodi di calcolo approssimato. 4 Teoria delle molteplicità Agelo Torchitti

5 APPLICAZIONI DELL ASSE DELLE MOLTEPLICITA : la rappresetazioe grafica delle fuzioi Suppoiamo di avere ua fuzioe =f(). Il grafico della fuzioe è l isieme dei puti (,) del piao cartesiao che soddisfao l equazioe =f(). U grafico può essere disegato i vari modi, basta disporre di u coveiete umero di puti della fuzioe stessa. Il modo più semplice per ricavarseli è quello di predere u isieme di valori i, sostituirli ell espressioe della fuzioe ricavado il corrispodete valore i. Es. = Questo metodo o forisce u grafico esatto i ciascu puto, ma per molti problemi è più che sufficiete. L asse delle molteplicità cosete di rappresetare graficamete ua fuzioe utilizzado u approccio diverso. Sia assegata la fuzioe =. ( )( ) ( ) L asse delle molteplicità, su cui soo idicate ache le molteplicità all ifiito, è rappresetato a fiaco: Seguiamo i passi ecessari per studiare la fuzioe. L uica cosa di cui avremo bisogo sarà solo l asse delle molteplicità. - P(-) D() D(-) D() - Primo passo Metodo delle regioi: l asse delle molteplicità ci idica dove l espressioe è positiva e dove è egativa. Sappiamo cioè che, per i valori di compresi i u certo itervallo, l espressioe algebrica assume valori positivi o egativi. Di cosegueza, poiché oi vogliamo rappresetare sul grafico tali valori, sappiamo già se si trovao sopra o sotto l asse e quidi possiamo elimiare dal piao quelle regioi i cui sicuramete o si trovao puti della fuzioe P(-) D() D(-) D() - Secodo passo I valori delle molteplicità idicate sull asse ci permettoo di rappresetare la curva i prossimità dei valori limite. Esistoo a tale proposito tutta ua serie di proprietà delle fuzioi che possoo essere, a giudizio del docete, o elecate, o verificate co u programma per computer, o giustificate elemetarmete. La dimostrazioe rigorosa è u problema di aalisi (classe quita). Teoria delle molteplicità Agelo Torchitti 5

6 Di seguito viee forita la tabella che associa al valore della molteplicità i possibili adameti grafici. L isegate o deve far studiare memoicamete i vari casi, ma far capire come essi vegoo realizzati. Adameto della fuzioe i u puto limite 0 Molteplicità m>: a secoda dei segi idicati sull asse delle molteplicità si sceglie uo degli adameti segueti o o o o tageza orizzotale tageza orizzotale flesso orizzotale flesso orizzotale discedete ascedete Molteplicità m=: a secoda dei segi idicati sull asse delle molteplicità si sceglie uo degli adameti segueti o o o o passaggio stadard passaggio stadard puto agoloso puto agoloso Molteplicità 0<m<: a secoda dei segi idicati sull asse delle molteplicità si sceglie uo degli adameti segueti o o o o flesso verticale flesso verticale cuspide cuspide discedete ascedete Molteplicità m=0: si igora il puto limite. La molteplicità m=0 idica che i fattori che hao prodotto il puto limite soo preseti, co lo stesso grado, sia al umeratore che al deomiatore. L espressioe algebrica è semplificabile ed è quidi possibile calcolare esattamete il valore el puto limite Molteplicità m<0: a secoda dei segi idicati sull asse delle molteplicità si sceglie uo degli adameti segueti o o o o Asitoto verticale asitoto verticale asitoto verticale asitoto verticale 6 Teoria delle molteplicità Agelo Torchitti

7 Adameto della fuzioe all ifiito Molteplicità m>: a secoda dei segi idicati sull asse delle molteplicità si scelgoo gli adameti compatibili. La curva assume l adameto tipico di u ramo di parabola avete asse verticale. Molteplicità m=: a secoda dei segi idicati sull asse delle molteplicità si scelgoo gli adameti. La curva assume u adameto rettilieo, vale a dire tede a cofodersi co ua retta obliqua =k+q E semplice calcolare l icliazioe di questa retta, detta ache asitoto obliquo. E sufficiete cosiderare solo, ell espressioe algebrica della fuzioe, al umeratore il termie di grado massimo complessivo, e lo stesso al deomiatore. Il rapporto tra i due coefficieti corrispode al coefficiete agolare dell asitoto. Es. ( + ) = = k Molteplicità 0<m<: a secoda dei segi idicati sull asse delle molteplicità si scelgoo gli adameti compatibili. La curva cresce o decresce co ua certa letezza. Si può illustrare os- servado la crescita della fuzioe =. L adameto è tipico dei rami di ua parabola avete asse orizzotale. k Molteplicità m=0 La curva si stabilizza lugo ua retta orizzotale di equazioe =k detta asitoto orizzotale. Il valore di k si ricava come el caso (m=) facedo il rapporto dei termii di grado massimo complessivo sia al umeratore che al deomiatore. I segi sull asse delle molteplicità o dao iformazioi utili su quali siao i rami da scegliere ( se quelli al di sopra o al di sotto dell asitoto): la scelta va fatta, i u primo mometo, i base a cosiderazioi di semplicità. Molteplicità m<0: a secoda dei segi idicati sull asse delle molteplicità si scelgoo gli adameti compatibili. La curva si stabilizza lugo l asse, che viee apputo detto asitoto orizzotale. Teoria delle molteplicità Agelo Torchitti 7

8 Completiamo lo studio della fuzioe proposta ( )( ) =. ( ) Aggiugiamo i corrispodeza dei puti limite e degli ifiiti gli adameti calcolati co le regole precedeti: otterremo il grafico seguete. Siamo giuti alla fie della rappresetazioe. Ricordadoci le proprietà delle fuzioi o resta che uire, el modo più semplice possibile, gli adameti già fissati sul piao, otteedo quello che si defiisce grafico prelimiare della fuzioe P(-) D() D(-) D() - ( + ) = L asse delle molteplicità è rappresetato sotto il piao cartesiao. Seguiamoe l iterpretazioe a) Nell itervallo 0<< la fuzioe o esiste. L itera zoa può essere elimiata b) Negli itervalli <- e > la fuzioe è egativa: è possibile elimiare le zoe positive del piao cartesiao c) Negli itervalli <<0 e << la fuzioe è positiva: è possibile elimiare le zoe egative del piao. d) La molteplicità all ifiito vale +: la fuzioe ha u adameto rettilieo e) Nel puto di ascissa la fuzioe ha molteplicità + (attraversameto stadard) f) Nei puti di ascissa 0 e, elle zoe di esisteza, la molteplicità è ½. Si ha ua tageza verticale g) Nel puto di ascissa la molteplicità è egativa (asitoto verticale) Lo studete può provare a tracciare il grafico. _ _ + D() P(/) P(/) D(-) + 8 Teoria delle molteplicità Agelo Torchitti