Richiami sulle potenze

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1 Richiami sulle poteze Dopo le rette, le fuzioi più semplici soo le poteze: Distiguiamo tra: - poteze co espoete itero - poteze co espoete frazioario (razioale) - poteze co espoete reale = Domiio delle poteze - le poteze co espoete itero positivo hao domiio R - le poteze co espoete itero egativo hao domiio R le poteze co espoete frazioario soo del tipo m = x = x m - le poteze co espoete reale soo defiite solo per x positivo a x Domiio delle poteze co espoete frazioario - se è pari, la poteza è defiita per x positivo, ad esempio f = 4 ) 4 ( x) = x, = x, f ( x x - se è dispari e l espoete m/ è positivo, il domiio è R, ad esempio f = ( x) = x, = x, x - se è dispari e l espoete m/ è egativo, il domiio è R- 0, ad esempio 3 3 = x =, = x = 3 x 3 Dove è l errore ella seguete catea di uguagliaze? = 3 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = 6 x

2 Grafici delle poteze co espoete itero positivo Grafici delle poteze co espoete itero egativo

3 Grafici delle poteze co espoete frazioario Fuzioi pari e fuzioi dispari Ua fuzioe si dice pari se soddisfa la relazioe f(-x) = f(x). I grafici delle fuzioi pari soo simmetrici rispetto all asse delle y; ifatti i puti -x e +x hao la stessa immagie: f(-x)=f(x). Gli esempi più semplici di fuzioi pari soo proprio le poteze co espoete pari. Ua fuzioe si dice dispari se soddisfa la relazioe f(-x)= -f(x). I grafici delle fuzioi dispari soo simmetrici rispetto all origie (0,0); ifatti per otteere l immagie del puto x devo riflettere la immagie di x: f(-x)=-f(x). Gli esempi più semplici di fuzioi dispari soo le poteze co espoete dispari. No tutte le fuzioi soo o pari o dispari; la maggior parte delle fuzioi (ad esempio, f(x)=x+) o è é pari é dispari. Può ua fuzioe essere cotemporaeamete pari e dispari? Sapreste fare altri esempi di fuzioi pari e dispari, che o siao poteze? 3

4 Fuzioi mootoe Molte delle fuzioi che abbiamo icotrato fiora soo cresceti o decresceti; diamo le defiizioi precise: f : D R è crescete si ha f(x ) f(x ) se x, x D, co x < x, f : D R è decrescete si ha f(x ) f(x ) se x, x D, co x < x, f : D R è strettamete crescete si ha f(x ) < f(x ) se x, x D, co x < x, f : D R è strettame si ha f(x ) > f(x ) te decrescet e se x, x D, co x < x, Fuzioi mootoe / Per defiizioe, ua fuzioe strettamete crescete è ache crescete; metre ua fuzioe strettamete decrescete è decrescete. Si tratta di u rafforzameto della stessa proprietà. Le fuzioi cresceti o decresceti si chiamao fuzioi mootoe; le fuzioi strettamete cresceti o strettamete decresceti si chiamao fuzioi strettamete mootoe. Ua fuzioe può essere cotemporaeamete crescete e decrescete? Può essere cotemporaeamete strettamete crescete e strettamete decrescete? Ua fuzioe mootoa è sempre iiettiva? Ua fuzioe strettamete mootoa è sempre iiettiva? Quali tra le fuzioi fiora icotrate soo mootoe? 4

5 La parabola ha equazioe y = ax + bx + c La parabola ci basta ricordare che l ascissa del vertice è b/a e che la cocavità è rivolta verso l alto (diremo più avati che la fuzioe è covessa ) se a>0, è rivolta verso il basso (la fuzioe è cocava) se a<0. Grafici deducibili Spesso cooscedo il grafico di ua fuzioe f(x) possiamo determiare u certo umero di altri grafici che soo immediatamete deducibili da questo mediate semplici operazioi quali: ribaltameti attoro all asse delle x ribaltameti attoro all asse delle y traslazioi lugo l asse delle y traslazioi lugo l asse delle x dilatazioi/restrigimeti lugo l asse delle y dilatazioi/restrigimeti lugo l asse delle x riflessioe della porzioe di grafico al di sotto dell asse delle x 5

6 Ribaltameti attoro all asse delle x Il grafico di f(x) corrispode al grafico di f(x) ribaltato attoro all asse delle x. Nell esempio che segue f(x)=x -3x. Ribaltameti attoro all asse delle y Il grafico di f(-x) corrispode al grafico di f(x) ribaltato attoro all asse delle y. Nell esempio che segue f(x)=x -3x. 6

7 Traslazioi lugo l asse delle y Il grafico di f(x)+k corrispode al grafico di f(x) traslato verso l alto se k>0, verso il basso se k<0. Nell esempio che segue f(x)=x -3x. Traslazioi lugo l asse delle x Il grafico di f(x+k) corrispode al grafico di f(x) traslato verso destra se k<0, verso siistra se k>0. Attezioe a o fare cofusioe. Nell esempio f(x)=x -3x. 7

8 Cambiameti di scala / Il grafico di k*f(x), co k>0, corrispode al grafico di f(x) dilatato lugo l asse delle y se k>, ristretto se k<. Nell esempio f(x)=x -3x. Fabio Bellii 00 Cambiameti di scala / Il grafico di f(k*x), co k>0, corrispode al grafico di f(x) dilatato lugo l asse delle x se k<, ristretto se k>. 8

9 Cambiameti di scala /3 Per maggiore chiarezza facciamo u altro esempio co f(x)=six Grafici co i valori assoluti / Ricordado la defiizioe di valore assoluto (o modulo) x se x 0 x = abbiamo che x se x < 0 se f(x) 0 = se f(x) < 0 Quidi il grafico di f(x) si ottiee prededo la porzioe di grafico di f(x) al di sotto dell asse delle x e ribaltadola al di sopra. Fabio Bellii 00 9

10 Abbiamo ioltre che se x 0 f ( x ) = f ( x) se x < 0 Grafici co i valori assoluti / Quidi il grafico di f( x ) si ottiee prededo la porzioe di grafico di f(x) A destra dell asse delle y e ribaltadola a siistra; f( x ) è pari per costruzioe. Fabio Bellii 00 Grafici co i valori assoluti /3 E se avessi dovuto disegare f( x )?. Fabio Bellii 00 0

11 La fuzioe espoeziale La fuzioe espoeziale è ua delle più importati fuzioi della matematica; la sua espressioe è f ( x ) = e x dove e è ua delle costati fodametali della matematica, e=,78 Il grafico della fuzioe espoeziale è il seguete: Fabio Bellii 00

12 La fuzioe espoeziale / Alcui grafici immediatamete deducibili da quello della fuzioe espoeziale soo i segueti: Fabio Bellii 00 Fuzioe iversa Abbiamo visto che se ua fuzioe è iiettiva e suriettiva, cioè se è ivertibile, ogi valore y ha esattamete ua cotroimmagie. La fuzioe che associa ad y il suo corrispodete x si chiama fuzioe iversa di f e si idica co x = f ( y) Ovviamete abbiamo che f ( f ( y)) = y e f ( ) = x Nel caso dell espoeziale abbiamo che D = R e Im(f) = ( 0, + ) la fuzioe espoeziale o è pertato suriettiva. Fabio Bellii 00

13 Fuzioe iversa / Tuttavia se riguardiamo il grafico vediamo che si tratta di ua fuzioe iiettiva (due elemeti del domiio hao sempre immagii distite). Possiamo quidi limitatamete all immagie defiire la fuzioe iversa: f ( y) è quel valore di x per cui e cioè x = l y = y Il logaritmo è quidi la fuzioe iversa dell espoeziale. x Fabio Bellii 00 Il sigificato fiaziario dell espoeziale Cosideriamo u coto i baca che paghi iteressi aui del 00%. Se il capitale iiziale è, il capitale fiale (motate) sarà pari a. Se ivece avessi l accreditameto degli iteressi dopo 6 mesi (0,5 ai), C0,5 =,5 e C =,5,5 =,5 I geerale, se accredito gli iteressi volte durate l ao ottego C ) = + e C = ( + quado diveta molto grade (diremo, quado tede a più ifiito) abbiamo lim + ( + ) = e =, Fabio Bellii 00 3

14 Il sigificato fiaziario dell espoeziale / Nel caso più realistico di u tasso i diverso dal00%, otteiamo i i C ) = + e C = ( + lim + i i ( + ) = e I realtà per i valori abituali dei tassi la differeza è molto piccola; ad esempio se i=% abbiamo che +i=,0 metre exp(i)=,00.. Fabio Bellii 00 4