Progressioni geometriche

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1 Progressioi geometriche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 6,,, 8, 96 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo moltiplicado il precedete per. Si dice ache che la successioe precedete è ua progressioe geometrica. è il primo termie della progressioe, 96 è l ultimo termie e (il umero che moltiplica u termie per avere il successivo) si chiama ragioe della progressioe. Ioltre, visto che i termii aumetao sempre, la progressioe cosiderata è crescete. Esempio Cosideriamo la successioe di umeri: 6,,, 6 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo moltiplicado il precedete per ½. La successioe precedete è ua progressioe geometrica di ragioe ½. I termii della successioe dimiuiscoo sempre e la progressioe cosiderata è decrescete. Possiamo geeralizzare quato visto egli esempi co la seguete defiizioe: Ua progressioe geometrica é ua successioe di umeri reali tali che il rapporto tra due termii cosecutivi della successioe è costate. Questa costate si chiama ragioe della progressioe stessa: se la ragioe è positiva e maggiore di, la successioe è crescete; se la ragioe è compresa tra zero e ( escluso), la succesioe è decrescete; se la ragioe è uguale a la successioe é costate (tutti i suoi termii soo uguali); se la ragioe é egativa la successioe é oscillate (i suoi termii soo alterativamete positivi e egativi). Simbolicamete, idicado co a il termie -simo della successioe e co q la sua ragioe, possiamo scrivere: a = a q a = a q = a qq = a q a = a q = a q q = a q... a = a - q = a q - q = a q - dove l ultima espressioe: ½ R. SANTORO: Progressioi geometriche 0/07/0 ½ ½

2 a = aq () forisce ua relazioe geerale per calcolare il termie di posto (a ) di ua progressioe geometrica di cui si coosce il primo terie (a ) e la ragioe (q). Esempio Calcolare il quito termie di ua progressioe geometrica per cui il primo termie vale e la ragioe vale ¾. Applicado la formula precedete, abbiamo subito: a = aq = 8 8 = 6 = 8. Esempio Calcoliamo l iteresse composto di u capitale C 0 depositato i baca per ai co u iteresse percetuale auo uguale a i. Alla fie di ogi ao abbiamo la seguete situazioe: Ao Capitale C 0 + i C 0 = C 0 (+i) = C C + i C = C 0 (+i)+i C 0 (+i) = C 0 (+i)(+i) = C 0 (+i) = C C + i C = C 0 (+i) +i C 0 (+i) = C 0 (+i) (+i) = C 0 (+i) = C C 0 (+i) = C Possiamo allora otare che la successioe: C 0, C, C, C,..., C é ua progressioe geometrica il cui primo termie é C 0 e la cui ragioe é + i; il capitale C alla fie dell -simo ao di deposito é dato da ( ) C = C + i Allora se C 0 = ML (u milioe di lire) e i = 7%, dopo 0 ai il capitale sarà uguale a: C 0 = + = ML. ML, 00 cioé quasi raddoppiato (ma certamete svalutato!). La relazioe () puó essere utilizzata per calcolare uo qualuque degli elemeti preseti a partire dagli altri. Cosí possiamo scrivere ache le relazioi: R. SANTORO: Progressioi geometriche 0/07/0

3 a a = q () a q= a () a = logq + a () Esempio Calcolare la ragioe di ua progressioe geometrica di cui si coosce il primo termie uguale a ed il quito termie uguale a 8. Applicado la formula () precedete, abbiamo subito: 8 q= = =. Esempio 6 Di ua progressioe geometrica si sa che il primo termie vale 8/7, che il suo termie -simo vale 7 e che la ragioe vale /. Calcolare. Applicado la formula () precedete, abbiamo subito: = ( ) + = + = 7 log log log + = + = Esempio 7 Di ua progressioe geometrica si sa che a = e a 8 = 7. Calcolare: ) la ragioe q; ) il primo termie a. Applicado la formula () precedete due volte, abbiamo: a8 = q 7 q= q= 7 a = aq a. 7 a = = 8 aq a a a a = = a ( 7) q q Esempio 8 Dati due umeri, e, determiare altri due umeri (compresi tra i due dati), i modo da otteere quattro umeri i progressioe geometrica. Per risolvere il problema, basta teer coto del fatto che, dei sei umeri i R. SANTORO: Progressioi geometriche 0/07/0

4 progressioe geometrica, a = e a = e =. Applichiamo allora la formula () precedete ed abbiamo: q = = 6. I due umeri richiesti soo allora: =, a ( ) a = =. Calcoliamo la somma S dei primi termii di ua progressioe geometrica. Possiamo scrivere: S = a + aq+ aq + K + aq qs = a q+ aq + aq + K + aq + a q e, sottraedo membro a membro: S qs = a aq S ( q) = a ( q ) ifie, S = a q q () Esempio 9 Calcolare la somma dei primi 0 termii di ua progressioe geometrica sapedo che a = e q = ½). Applicado la formula () precedete, abbiamo subito: S 0 = 0 = = =. 0 Cosideriamo le poteze successive di due umeri miori di, ad esempio /0 e /: R. SANTORO: Progressioi geometriche 0/07/0

5 = =. = =. = =. = =. Possiamo otare che ma mao che l espoete aumeta, il valore della poteza diveta sempre più piccolo; al limite, quado l espoete diveta gradissimo, la poteza diveta piccolissima. I termii matematici più precisi, scriviamo: q < lim q = 0 (da leggere: se il valore assoluto di q é miore di, allora il limite per che tede all ifiito di q é uguale a zero). La cosiderazioe precedete é importate per calcolare la somma di ifiiti termii di ua successioe geometrica la cui ragioe (i valore assoluto) é miore di. Abbiamo subito: q a q < lims = lim a =. (6) q q La (6) é, tra l altro, utile per calcolare la frazioe geeratrice di u umero decimale periodico come egli esempi che seguoo. Esempio 0 Calcolare la frazioe geeratrice del umero 7. _. Abbiamo: _ 7. = = = = L espressioe i paretesi può essere cosiderata come la somma degli ifiiti termii di ua progressioe geometrica co primo termie uguale a e co ragioe uguale a /0. Essedo la ragioe miore di, possiamo applicare la formula (6) precedete ed abbiamo: Queste cosiderazioi sul limite di ua successioe soo molto ituitive. Lo studete avrà occasioe di studiare, i termii molto piú precisi, il limite di ua successioe. R. SANTORO: Progressioi geometriche 0/07/0

6 _ = 7+ = 7+ = 7+ = Esempio Calcolare la frazioe geeratrice del umero.. Abbiamo:. = = = = = + = + = = 00 9 = = dove l espressioe i paretesi idica la somma degli ifiiti termii di ua progressioe geometrica (primo termie uguale a, ragioe uguale a /00) e l ultima uguagliaza richiama la regola empirica di scrittura della frazioe geeratrice di u umero decimale periodico. Nota storica Zeoe (96 a.c. - 0 a. C.) ato a Elea, città dell Italia meridioale, ci ha lasciato alcui paradossi celebri che lui utilizzava per dimostrare che i metodi della logica erao isufficieti per reder coto ache di fatti molto baali (e sosteere, i tal modo, le idee del filosofo, suo maestro, Parmeide). Il più celebre dei suoi paradossi é quello di Achille e la Tartaruga. Il piè veloce Achille, pur corredo ad ua velocità 0 volte superiore a quella della Tartaruga, o potrà mai raggiugerla ache se questa ha u solo stadio di vataggio su di lui. Ifatti, metre Achille percorre lo stadio di svataggio, la Tartaruga percorre /0 di stadio; metre Achille percorre il decimo di stadio che gli resta, la Tartaruga percorre /00 di stadio e così via, all ifiito: Achille o raggiugerà mai la Tartaruga. Fiumi di ichiostro soo stati cosumati su questo paradosso (e su altri aaloghi), per cercare di dimostrare dov era l igao el ragioameto. Oggi sappiamo risolvere il paradosso co l ausilio delle progressioi geometriche e co il passaggio al limite utilizzato per dimostrare la formula (6). Ifatti, se poiamo uguale a il tempo che Achille impiega a percorrere uo stadio, abbiamo che il tempo che impiega a raggiugere la Tartaruga é: 0 t = = = =. (fiito) I realtà, ache la dimostrazioe della formula (6) ha delle difficoltà logiche ascoste e solo recetemete (egli ultimi decei) é stata trovata ua soluzioe più soddisfacete co la teoria dell aalisi o-stadard (vedi l articolo di William I. McLaughli i Scietific America, November 99: Resolvig Zeo s Paradoxes) R. SANTORO: Progressioi geometriche 0/07/0

7 7 Esercizi Scrivere i primi sei termii di ua progressioe geometrica il cui primo termie è uguale a e la cui ragioe è uguale a /. Calcolare il vetesimo termie della progressioe geometrica dello esercizio. Ua progressioe geometrica è tale che a 7 = 8 e q = /. Calcolare a e a. Calcolare il umero dei termii di ua pogressioe geometrica di ragioe, sapedo che a = 8 e a =. Per l esercizio precedete, calcolare S (somma dei primi termii della progressioe). Di ua progressioe geometrica si coosce a = 6 e q = -/. Calcolare: a) a ; b) S ; c) S. Tra i umeri e iserire umeri (compresi tra i due dati), i modo da otteere ua progressioe geometrica: a) crescete; b) decrescete. Di ua progressioe geometrica si sa che a = e a 9 = 96. Calcolare: a) la ragioe q; b) il primo termie a ; c) S. Calcolare x i modo che i umeri x +, x +, x - siao termii cosecutivi di ua progressioe geometrica. Scrivere ache i tre umeri i progressioe. Determiare la frazioe geeratrice di. 7 e di 7.. U capitale di 0 ML viee depositato i baca co u iteresse composto auo del 9%. Determiare l evoluzioe auale del capitale fio alla fie dei primi sette ai di deposito. Determiare dopo quati ai raddoppia u capitale C, depositato i baca co u iteresse composto auo del 9%. U capitale di 0 ML viee depositato i baca co u iteresse auo del 0%. Calcolare il capitale alla fie del secodo ao di deposito se R. SANTORO: Progressioi geometriche 0/07/0

8 8 gli iteressi vegoo calcolati (e capitalizzati): a) aualmete; b) ogi mesi; c) mesilmete; d) ogi settimaa A partire dal 990, Fracesca deposita i baca, il primo geaio di ciascu ao, ML, co u iteresse composto auo del 9%. Calcolare la somma di cui disporrà Fracesca al dicembre dell ao 000. Determiare cique umeri i progressioe geometrica tali che la somma dei primi tre é uguale a 0 e la somma degli ultimi tre é uguale a 0. Ua pallia viee lasciata cadere da u altezza di u metro ed esegue ua serie di rimbalzi fio a / dell altezza precedete. Calcolare lo spazio complessivo percorso dalla pallia dopo cique rimbalzi. I primi due termii di ua progressioe geometrica soo e 8. Calcolare: a) la ragioe; b) il sesto termie; c) la somma dei primi sei termii; d) il prodotto dei primi sei termii. Si dispoe di ua scacchiera 8 8. Partedo dal primo quadratio i alto a siistra e proseguedo verso destra e poi verso il basso, si poe u chicco di grao el primo quadratio, due chicchi el secodo quadratio, otto el terzo e così via, fio al sessataquattresimo quadratio. Calcolare il umero dei chicchi di grao posti (!) sulla scacchiera. R. SANTORO: Progressioi geometriche 0/07/0