Matematica I, Limiti di successioni (II).

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1 Matematica I, Limiti di successioi II) 1 Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2, α R), b, = 0, 1, 2, b R), log b, = 1, 2, b > 0, b 1), si, = 0, 1, 2,, cos, = 0, 1, 2,, per + hao il seguete comportameto + α > 0 α 1 α = 0 0 α < 0 + b > 1 b 1 b = 1 0 b < 1 per b = 1, b o coverge ad alcu limite; e limitata; per b < 1, b o coverge ad alcu limite; e illimitata; { + b > 1 log b 0 < b < 1 si o coverge ad alcu limite, e limitata; cos o coverge ad alcu limite, e limitata Questi fatti si possoo ricooscere come plausibili, cosiderado il grafico delle corrispodeti fuzioi elemetari; quasi tutti si possoo ache dimostrare facilmete Esercizio Si dimostri che le successioi espoeziali si comportao el modo sopra descritto 2 La defiizioe di limite, che da sigificato alla frase ua successioe {a } tede ad u limite l per che tede a + si puo riesprimere cosi : per ogi ε > 0, i termii a della successioe appartegoo defiitivamete all itoro di cetro l e raggio ε : ε > 0, a ]l ε, l + ε[, defiitivamete 3 Nello studio dei limiti, spesso si rivela utile il seguete Teorema 1 dei due carabiieri) Siao {a }, {b }, {c } tre successioi tali che a b c, defiitivamete Se {a } e {c } covergoo ad uo stesso limite l, alllora ache {b } coverge ad l 1

2 Se si immagiao a, b c come le posizioi occupate tre puti materiali a, b, c sulla retta al tempo, viee da pesare a due carabiieri a e c che tegoo a braccetto u ubriaco b e che vao etrambe alla caserma l; ache b suo malgrado adra alla caserma l Dimostrazioe Per semplicita, suppoiamo che a b c per ogi N Sia ε > 0 Per l ipotesi che a e c covergao ad l, si ha che esistoo due idici P, Q N tali che a ]l ε, l + ε[, > P, c ]l ε, l + ε[, > Q; posto R = Max{P, Q} si ha a, c ]l ε, l + ε[, > R Per cio e per l ipotesi a b c per ogi N, si ha da cui b [a, c ] ]l ε, l + ε[, > R, b ]l ε, l + ε[, > R Ad esempio, cosideriamo la successioe si, = 0, 1, 2, 1 si 1, = 1, 2,, 1 0, 1 duque, per il teorema dei due carabiieri si ha si 0 4 Sia c u capitale che viee rivalutato co cadeza auale a u tasso di iteresse auale i, e sia c il capitale allo scadere dell mo ao c 0 = c, e cosi c = c 1 + ic 1 = 1 + i)c 1, c 0 = c; c 1 = 1+i)c; c 2 = 1+i)c 1 = 1+i) 2 c; c = 1+i) c; 5 Numero di Nepero Sia c = 1 u capitale che viee rivalutato u tasso di iteresse del 100% auale Se c viee rivalutato co cadeza auale, alla fie dell ao si avra c 1 = 2; 2

3 se c viee rivalutato co cadeza semestrale, cioe se viee rivalutato al termie di ciascu semestre a u tasso semestrale del 50%, alla fie dell ao si avra c 2 = 1 + 1/2) 2 = 9/4 = 225; se c viee rivalutato co cadeza quadrimestrale, cioe se viee rivalutato al termie di ciascu quadrimestre a u tasso quadrimestrale del 333%, alla fie dell ao si avra c 2 = 1 + 1/3) 3 = 64/27 = 237; Siamo cosi codotti a cosiderare la successioe ), = 1, 2, Si prova che questa successioe e crescete e limitata, duque coverge a u umero reale; questo umero viee detto umero di Nepero ed idicato co e : e = lim ) ; l approssimazioe co 10 decimali e e = Limite e operazioi algebriche Si prova che il limite di successioi covergeti si comporta bee rispetto alle operazioi algebriche Teorema 2 Siao {a } e {b } due successioi Se lim a = a e lim b = b, allora lim a + b ) = a + b, lim a b ) = ab; lim 1/b ) = 1/b, b 0) Il comportameto del limite di successioi covergeti e divergeti rispetto all operazioe di somma e dato dal seguete Teorema 3 Sia: {a } ua successioe, covergete ad u umero a, o divergete a + o ; {b } ua successioe, covergete ad u umero b, o divergete a + o Allora il comportameto della successioe somma {a + b } e dato dalla seguete tabella lim a lim b lim a + b ) a b a + b a + + a ? 3

4 Nel caso i cui lim a = + e lim b = si possoo presetare effettivamete tutte le evetualita, come mostrato dalla seguete tabella a b a + b lim a + b ) ) 1) ) 2 1) Si dice che + e ua forma idetermiata 7 Alcue successio covergeti, come le successioi cresceti limitate ma o solo quelle, covergoo al loro limite mateedosi al di sotto di esso Defiizioe 1 Siao {a } ua successioe, ed l R Diciamo che {a } tede a l per che tede a + se per ogi ε > 0 si ha l ε < a l, defiitivamete Diciamo che {a } tede a l + per che tede a + se per ogi ε > 0 si ha l a < l + ε, Alcui esempi: defiitivamete 1 0 ; 1 0+ ; 0, 1, 1/2, 1, 2/3, 1, 3/4, 1, 1 1) 0; 1) 0 + ; 1) 0 8 Il comportameto del limite di successioi covergeti e divergeti rispetto all operazioe di iversioe e dato dal seguete Teorema 4 Sia {b } ua successioe defiitivamete diversa da 0; se b coverge ad u umero b 0, o a 0 +, o diverge a +, allora 1/b coverge a 1/b, o diverge a +, o coverge a 0 + : lim a lim 1/b b 1/b Vale u aalogo risultato sostituedo tutti i + co - 9 Il comportameto del limite di successioi covergeti e divergeti rispetto all operazioe di prodotto e dato dal seguete 4

5 Teorema 5 Sia: {a } ua successioe, covergete ad u umero a 0, o divergete a ± ; {b } ua successioe, covergete ad u umero b, o divergete a ± ; Allora il comportameto della successioe prodotto {a b } e dato dalla seguete tabella lim a lim b lim a b ) a b ab, a dove il segio di lim a b ) e il prodotto dei segi di lim a e lim b Nel caso i cui lim a = 0 e lim b = ± si possoo presetare effettivamete tutte le evetualita, come mostrato dalla seguete tabella a b a b lim a b ) 1/ 1 1 1) / 1) 1/ 2 1/ 0 1/ 2 + 1) / 2 1) Si dice che 0 e ua forma idetermiata Teorema 6 Siao {a } e {b } due successioi covergeti o divergeti, quest ultima defiitivamete o ulla Il comportameto della successioe divisioe {a /b } e dato dalla seguete tabella lim b b 0 0 lim a a 0 a/b 0 0 0? 0?, dove il segio di lim a /b ) e il prodotto dei segi di lim a e lim b Le celle della tabella co? corrispodoo alle forme idetermiate 10 Algebra dei umeri reali estesi 0 0 ; Cosideriamo l isieme R = R {, + }; su questo isieme defiiamo le segueti operazioi parziali, mediate tabelle: 5

6 somma: differeza: prodotto: e divisioe: b +? a a + b + +? + + b +? a + a b + + +? 0 b ? a 0 0 ab? 0 b 0 0? 0 0 a 0 a/b 0? le celle co? corrispodoo alle operazioi o defiite, e i segi dei prodotti soo determiati co la solita regola Co queste covezioi, i teoremi precedeti si possoo riassumere cosi Teorema 7 Siao {a } e {b } due successioi covergeti o divergeti Valgoo le segueti uguagliaze, quado i termii che compaioo i esse soo defiiti: 11 Esempi lim a + b ) = lim a + lim b ; lim a b ) = lim a lim b ; lim a b ) = lim a lim b ; lim a b = lim a lim b Cosideriamo la successioe 2, = 0, 1, 2, lim 2 ) = lim 2 ) lim = +, ua forma di idecisioe Mettiamo i evideza l addedo di grado massimo 2 = ) lim )) ) = lim 2 ) lim ) = + 1 = + 6

7 Cosideriamo ua successioe della forma r = a2 + b + c, = 0, 1, 2, d + e dove a, d 0 lim r = lim a2 + b + c d + e = lim a2 + b + c) lim d + e) ua forma di idecisioe Mettiamo i evideza gli addedi di grado massimo a 2 + b + c d + e =, = 2 a + b + c ) = a + b + c ) d + e d + e 2 ) 2 ) lim r = lim a + b + c ) = + a =, d + e d dove il sego di e quello di a/d 12 Cosideriamo ua successioe r, = 0, 1, 2, dove r e la frazioe di u poliomio di grado p su u poliomio di grado q : r = ap + b p 1 + = 0, 1, 2, c q + d q 1 +, dove a, c 0 Mettiamo i evideza gli addedi di grado massimo r = p a + b + ) q c + d + ) = a + b + p q c + d + lim r = lim p q a + b + ) c + d + = il sego di e di 0 e quello di a/c 13 Cofroto fra Espoeziali, Poteze, Logaritmi p > q a p = q c 0 p < q Abbiamo visto che le successioi poteza α co α > 1, le successioi espoeziali b co b > 1, e le successioi logaritmo log b co b > 1 divergoo tutte a + La cosiderazioe del loro grafico suggerisce che le successioi espoeziali divergao piu velocemete delle successioi poteza che a loro volta divergao piu velocemete delle successii logaritmo Cosi e Vale il seguete Teorema, che o dimostriamo Teorema 8 Per le successioi divergeti b b > 1) x α α > 1) log b b > 1) si ha b α + α log b +, per + 2 ) 7