Interesse e formule relative.

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1 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del flusso di cassa corrispodete alla situazioe descritta è il seguete: F P Se si iveste oggi ua somma P ad u tasso di iteresse semplice pari ad i per ai si ottiee alla fie del periodo il rimborso dell ivestimeto iiziale P più ua quota di iteressi pari a I=Pi I tutto, quidi, alla fie del periodo si avrà F=P+Pi=P(+i) Nel caso i esame si ottiee: F=0000(+0,05*7)=3500 Esercizio 2 Determiare il motate di u ivestimeto di 5000 della durata di 6 ai cosiderado: u tasso di iteresse semplice pari all 8%; 2 u tasso di iteresse composto aualmete pari all 8% Esercitazioe: Iteresse e formule relative

2 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Soluzioe 2 Il diagramma del flusso di cassa corrispodete alla situazioe descritta è il seguete: F P La differeza fra i due casi è solamete el tasso di iteresse, che matiee lo stesso valore, ma passa dall essere semplice all essere composto su base auale co u tasso di iteresse semplice alla fie del periodo il motate sarà: F=P(+i)=5000(+0,08*6)= co u tasso di iteresse composto aualmete alla fie del periodo il motate sarà: F=P(+i) =5000(+0,08) 6 =7934,37 Per il calcolo del motate è stato utilizzato il fattore di capitalizzazioe composta per u sigolo pagameto, idicato ache co ( F/P,i, ) e pari a (+i) Il fattore di capitalizzazioe composta per u sigolo pagameto è determiabile co il seguete ragioameto: se si iveste P al tempo t 0 alla fie del primo periodo di iteresse (quidi al tempo t ) si dovrà avere come rimborso la quota P più i relativi iteressi, che ammotao a i*p Pertato, alla fie del primo periodo di iteresse si disporrà della quota complessiva F =P+iP=P(+i) Si immagii, ora, di ivestire uovamete al tempo t tutta la quota i proprio possesso, ossia P(+i): alla fie del secodo periodo di capitalizzazioe dell iteresse (quidi al tempo t 2 ) si dovrà avere come rimborso la quota ivestita P(+i) più i relativi iteressi, che ammotao a i*[p(+i)] Pertato, alla fie del secodo periodo di iteresse si disporrà della quota complessiva F 2 =P(+i)+i*[P(+i)]=P(+i)(+i)=P(+i) 2 Esercitazioe: Iteresse e formule relative

3 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Se si estede il ragioameto a periodi si ottiee che il motate alla fie del periodo dovrà essere pari a F =P(+i) Poiché il periodo è ache l ultimo periodo dell ivestimeto il flusso di cassa F corrispode al motate F della somma ivestita iizialmete Esercizio 3 Determiare il motate di u ivestimeto di 2500 i 7 ai al tasso di iteresse composto aualmete del 3% Soluzioe 3 Come visto ell esercizio precedete, il motate di ua somma P ivestita per periodi ad u tasso di iteresse composto sulla stessa base temporale i è dato da: F=P(+i) Nel caso i esame si ha: F=2500(+0,03) 7 =3074,68 Esercizio 4 Determiare il valore attuale di u pagameto di 8900 effettuato fra 4 ai dal presete cosiderado u tasso di iteresse composto aualmete pari al 7% Soluzioe 4 Si chiede di cercare l equivaleza fra i due diagrammi dei flussi di cassa sotto riportati: P F Esercitazioe: Iteresse e formule relative

4 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Per determiare il valore attuale di ua somma F pagata fra ai cosiderado u tasso di iteresse composto aualmete i è possibile utilizzare il fattore di attualizzazioe per u sigolo pagameto, idicato ache co ( P/F,i, ) e pari a i Il fattore di attualizzazioe per u sigolo pagameto è direttamete desumibile dal fattore di capitalizzazioe per u sigolo pagameto, semplicemete esprimedo P i fuzioe di F Nel caso i esame, quidi, si ha: P=F i = ,07 =6789,77 Esercizio 5 Si determii il valore raggiuto da ua serie di 7 pagameti uguali di importo pari a 280 ciascuo alla fie dei 7 ai, cosiderado u tasso di iteresse composto aualmete pari al 2,5% Soluzioe 5 Si chiede di cercare l equivaleza fra i due diagrammi dei flussi di cassa sotto riportati: A A A A A A A F Per determiare il motate F di ua serie di pagameti tutti uguali fra loro e di importo pari ad A della durata di ai cosiderado u tasso di iteresse composto aualmete i è possibile utilizzare il fattore di capitalizzazioe composta per ua serie di pagameti uguali, idicato ache co ( F/A,i, ) e pari a i i Esercitazioe: Iteresse e formule relative

5 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Il fattore di capitalizzazioe composta per ua serie di pagameti uguali è determiabile semplicemete cosiderado tutti i pagameti A come flussi etti di cassa a sé stati e capitalizzabili separatamete Secodo questo ragioameto il motate dopo ai sarà: F=A(+i) - +A(+i) -2 ++A(+i) +A(+i) 0 Se si moltiplicao etrambi i membri della precedete relazioe per (+i) si ottiee: F(+i)=A(+i) +A(+i) - ++A(+i) 2 +A(+i) Sottraedo la prima equazioe dalla secoda si ottiee: F(+i)-F=A(+i) +A(+i) - ++A(+i) 2 +A(+i)-[A(+i) - +A(+i) -2 ++A(+i) +A] F(+i-)=A(+i) +A(+i) - ++A(+i) 2 +A(+i)-A(+i) - -A(+i) -2 +-A(+i) -A Se si elidoo i termii simili si ottiee: F*i=A(+i) -A=A[(+i) -] Pertato: F=A i i Nel caso i esame si ha: F=280 0,025 0,025 7 =23,28 Esercizio 6 Quale serie di pagameti tutti uguali fra loro deve essere versata per otteere alla fie di 0 mesi u importo pari a 8000? Si cosideri u tasso di iteresse composto mesilmete pari al 4% Esercitazioe: Iteresse e formule relative

6 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Soluzioe 6 Si chiede di cercare l equivaleza fra i due diagrammi dei flussi di cassa sotto riportati: A A A A A A A A A A F Per determiare il valore di ciascu pagameto facete parte di ua serie di pagameti uguali a partire da ua somma F pagata fra ai cosiderado u tasso di iteresse composto aualmete i è possibile utilizzare il fattore delle rate di ammortameto per ua serie di pagameti uguali, idicato ache co ( A/F,i, ) e pari a i i Il fattore delle rate di ammortameto per ua serie di pagameti uguali è direttamete desumibile dal fattore di capitalizzazioe composta per ua serie di pagameti uguali, semplicemete esprimedo A i fuzioe di F Nel caso i esame, quidi, si ha: 0, 04 i A=F =8000 i 0,04 0 =666,33 ATTENZIONE: si oti che i questo esercizio le rate soo mesili, aziché auali Questo fatto o crea alcu problema perché il tasso di iteresse è composto sulla stessa base temporale secodo la quale vegoo determiati i pagameti, ossia su base mesile Se il periodo di iteresse ed i periodi dei pagameti o fossero stati coicideti si sarebbe dovuto esprimere il tasso di iteresse su ua base temporale coerete co l erogazioe dei pagameti Esercitazioe: Iteresse e formule relative

7 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Esercizio 7 Qual è il valore attuale di ua serie di pagameti pari a 520 al mese ciascuo per 24 mesi ad u tasso di iteresse composto mesilmete del 2%? Soluzioe 7 Si chiede di cercare l equivaleza fra i due diagrammi dei flussi di cassa sotto riportati: A A A A A A P Per determiare il valore attuale P di ua serie di pagameti uguali fra loro e di importo A di durata pari a ai ad u tasso di iteresse composto aualmete pari a i è possibile utilizzare il fattore di attualizzazioe per ua serie di pagameti uguali, idicato ache co ( P/A,i, ) e pari a i i i Il fattore di attualizzazioe per ua serie di pagameti uguali è facilmete desumibile ua volta ote le relazioi del fattore di capitalizzazioe composta per ua serie di pagameti uguali ( F/A,i, ) e del fattore di attualizzazioe per u sigolo pagameto ( P/F,i, ) Ifatti si ha: i per ( F/A,i, ): F=A i i per ( P/F,i, ): P=F Se si mettoo a sistema le due relazioi si ottiee: ( P/A,i, ): P=A i i i Nel caso i esame si ha: P= ,02 0,02 0,02 24 =9835,24 Esercitazioe: Iteresse e formule relative

8 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Esercizio 8 Quale serie di pagameti uguali è ecessaria per rimborsare ua somma attuale di 2000 i 0 ai ad u tasso composto aualmete del 5%? Soluzioe 8 Il diagramma del flusso di cassa corrispodete alla situazioe descritta è il seguete: P A A A A A A Per determiare il valore di ciascu pagameto facete parte di ua serie di pagameti uguali a partire da ua somma attuale P cosiderado u tasso di iteresse composto aualmete i è possibile utilizzare il fattore di recupero del capitale per ua serie di pagameti uguali, idicato ache co ( A/P,i, ) e pari a i i i Il fattore di recupero del capitale per ua serie di pagameti uguali è direttamete desumibile dal fattore di attualizzazioe per ua serie di pagameti uguali, semplicemete esprimedo A i fuzioe di P Nel caso i esame, quidi, si ha: A=P i i i 0 0,05 0,05 = ,05 =554,05 Esercizio 9 I quati ai u ivestimeto triplica il proprio valore se il tasso di iteresse composto aualmete è pari al 6%? Esercitazioe: Iteresse e formule relative

9 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Soluzioe 9 Si cosideri u ivestimeto effettuato oggi di importo pari a P Si vuole sapere dopo quati ai l ivestimeto raggiuge il valore F=3P dato u tasso di iteresse composto aualmete pari al 6% Si deve, quidi, impostare la seguete relazioe: Poiché si ha ache: risulta: F=3P F=P(+i) 3P=P(+i) 3P=P(+0,06) 3=,06 Per determiare basta applicare la fuzioe logaritmo all equazioe precedete Si ottiee: l 3 = l,06 l(3)=*l(,06),0 0,06 8,85 Poiché rappreseta il umero di ai è ecessario arrotodare il risultato otteuto all estremo superiore: e cosegue che la soluzioe è =9 ai Esercizio 0 Si cosideri ua serie di 0 rate uguali di importo pari a 00 che vegoo pagate aualmete Per i primi 3 ai il tasso di iteresse composto aualmete è pari a 0%, metre ei successivi 7 ai dimiuisce fio al valore 8% Determiare il valore attuale di questa serie di rate Soluzioe 0 Le prime 3 rate vao attualizzate co il tasso di iteresse iiziale e si ottiee: Esercitazioe: Iteresse e formule relative

10 Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado i P =A i i =00 3 0,0 0,0 0,0 3 =248,69 Le rimaeti 7 rate vao attualizzate al tasso di iteresse dell 8% Si ottiee: 2 i2 P 2 =A i i =00 7 0,08 0,08 0,08 7 =520,64 Il valore P 2 è u flusso equivalete alla secoda serie di rate che si maifesta, però, all iizio di questa secoda serie e, quidi, all istate t=3: pertato il flusso P 2 va attualizzato all istate iiziale t=0 utilizzado il tasso di iteresse che caratterizza i primi 3 periodi (i=0%) Si ottiee: P 2 =P 2 (+0,0) -3 P 2 =520,64*0,75=39,6 Il valore attuale dell itera serie di pagameti, quidi, è: P=P +P 2 =248,69+39,6=639,85 Esercitazioe: Iteresse e formule relative