LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

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1 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe: ua fuzioe Y = f(), cotiua i 0, si dice crescete el puto 0 se si può trovare u itoro di 0 tale ce per tutti i suoi puti si a ce:. se < 0 allora f() < f( 0 ) 2. se > 0 allora f() > f( 0 ) f(x) Graficamete f( 0 ) Aalogamete per la decresceza co le disuguagliaze ivertite fig. f(x) ( ) 0 x 0 x Da questa defiizioe e segue ce la caratteristica di ua fuzioe crescete i 0 è ce (i liguaggio aturale), preso u puto di ascissa più grade ma sufficietemete vicio a 0, il valore della fuzioe deve risultare più grade del valore i 0 U puto poco più grade di 0 si può trovare aggiugedo u piccolo valore (icremeto) all ascissa 0, icremeto idicato di solito co ; la relazioe 2 ci assicura ce, passado dall ascissa 0 all ascissa 0 +, si a f( 0 +) f( 0 ) > 0 (vedi fig. 2) f( 0 +) B f( +) f( ) f( 0 ) A Ripetedo lo stesso icremeto el puto si vede ce vale acora la positività fig. 2 f( +) f( ) > 0 (la fuzioe è crescete ace i ) ma la differeza dei valori della fuzioe è seza dubbio miore ce el caso precedete. Appare evidete ce se si attribuisce u icremeto molto più grade a ace la differeza delle f() risulta più grade. Duque, rapportado tale differeza all icremeto dato otteiamo u umero ce, se positivo, ci dice ce la fuzioe cresce (se egativo la fuzioe decresce) e, più è grade più è veloce la cresceza della fuzioe! Defiizioe: Il rapporto Δf() f( 0 +) f( 0 ) f( 0 +) f( 0 ) = = Δ ( 0 +) 0 è ciamato rapporto icremetale. Purtroppo, le coclusioi appea trovate soo state dedotte dai valori della fuzioe ei puti A e B o curadosi di quello ce può accadere el mezzo! Ifatti, tra A e B la fuzioe a tutte le possibilità di crescere, decrescere e poi crescere di uovo seza ce vega evideziato dal valore del rapporto icremetale. Questo è u grave errore al quale si può però rimediare: è sufficiete pesare di predere l icremeto molto piccolo per ridurre la possibilità ce la fuzioe faccia saliscedi tra A e B, ma quado avremo la certezza ce le coclusioi trovate per il rapporto icremetale soo corrette? Solo quado è piccolo a piacere, ossia tede a zero!

2 Defiizioe: La derivata di ua fuzioe Y = f() i u suo puto 0 (cotiua i 0 ) è il limite del rapporto icremetale (se esiste fiito) f ( 0 ) = Lim f( 0 +) f( 0 ) Da quello ce abbiamo osservato sul rapporto icremetale, ora possiamo affermare ce la derivata della fuzioe i u puto ci dice se, i quel puto, la fuzioe cresce o decresce; più esattamete, Se f ( 0 ) > 0 allora la fuzioe è crescete i 0 Se f ( 0 ) < 0 allora la fuzioe è decrescete i 0 e ioltre Se f ( 0 ) i valore assoluto è grade allora la fuzioe cresce velocemete i 0 Se f ( 0 ) i valore assoluto è piccolo allora la fuzioe cresce letamete i 0 t Defiiremo meglio questi termii approfodedo s il sigificato grafico della derivata i u puto. Y B Il rapporto icremetale defiito prima altro o è ce il rapporto Y Y 0 Y 0 B A 0 ossia, il coefficiete agolare della retta s secate il grafico ei due puti A e B cosiderati 0 0 Ora, se facciamo tedere a zero l icremeto, il valore tede a 0, cioè il puto B tede a coicidere col puto A e la retta AB diveta la retta tagete al grafico el puto 0, per cui La derivata della fuzioe el suo puto 0 è il coefficiete agolare della retta tagete al grafico i quel puto! Si svela pertato il percé la derivata è u ottimo idicatore della cresceza o decresceza di ua fuzioe; o solo, le ultime due affermazioi si possoo precisare meglio ricordado ce il coefficiete agolare della retta bisettrice è Se f ( 0 ) > allora la fuzioe cresce i 0 più velocemete della bisettrice Se f ( 0 ) < allora la fuzioe cresce i 0 più letamete della bisettrice B Esempio: Data la fuzioe Y = 2 determiare la derivata el suo puto di ascissa 2 0 = 2 f( 0 ) = 4 2 = = 2+ f( 0 +) = (2+) 2 (2+) = = f( 0 +) f( 0 ) ( ) ( + 3) f (2) = Lim = Lim = Lim = Lim = 3 Duque, la fuzioe el puto (2 ; 2) cresce (percé la derivata è positiva) velocemete (percé il suo valore assoluto è maggiore di ) Co u calcolo perfettamete aalogo si vede ce f (0) = per cui la fuzioe el puto (0 ; 0) è decrescete (la derivata è egativa) proprio come la bisettrice (percé il suo valore assoluto è )

3 I coclusioe, data la fuzioe Y = f() si può studiare la cresceza (o decresceza) i u suo puto 0 purcé sia cotiua i quel puto: basta applicare la defiizioe e calcolare il limite. Ora, poicé ci iteressa studiare la cresceza della fuzioe i tutti i suoi puti (ove è cotiua), ivece di calcolare ua sequeza (ifiita!) di limiti tutti simili tra loro, coviee eseguire il calcolo i u puto geerico 0, così si può dedurre la derivata ovuque piaccia! Esempio: Prededo la fuzioe Y = 2 dell esempio precedete 0 f( 0 ) = f( 0 +) = ( 0 +) 2 ( 0 +) = f( 0 +) f( 0 ) ( ) ( ) f ( 0 ) = Lim = Lim = (2 0 + ) = Lim = Lim = 2 0 Tralasciado lo zero i pedice, ce è servito solo per redere meo ambigui i calcoli, il risultato della derivazioe o è u umero, ma ua fuzioe: la fuzioe derivata. Essa viee idicata geericamete co vari simboli. df I più usati soo Y = 2 ; f () = 2 ; = 2 dx Ua volta calcolata, la fuzioe derivata ci permette di studiare la cresceza (o decresceza) della fuzioe i tutti i suoi puti. Nell esempio precedete f (2) = 2 2 = 3 (come calcolato direttamete) f (0) = 2 0 = f ( ) = 2 ( ) = 3 e così via Notare ce i e 2 la derivata a lo stesso valore assoluto per cui la fuzioe a le rette tageti co la stessa icliazioe (ua decrescete e l altra crescete) Purtroppo, basta cambiare ace di poco l equazioe della fuzioe (ad esempio Y = 2 ) ce bisoga rifare tutto daccapo! Come si può calcolare la fuzioe derivata per ua fuzioe qualsiasi evitado di rifare i cotiuazioe i calcoli? Si esegue il calcolo del limite del rapporto icremetale per le fuzioi elemetari coosciute Si studiao alcui teoremi ce ci permettoo di calcolare la derivata di ua fuzioe qualuque combiado le derivate delle fuzioi elemetari

4 LE DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI STUDIATE ) fuzioe costate y = k y = 0 2) fuzioe lieare semplice y = x y = 3) fuzioe quadratica semplice y = x 2 y = 2x 4) fuzioe cubica semplice y = x 3 y = 3x 2 ) fuzioe poteza Y = Y = - 6) fuzioe radice quadrata y = x y = /2 x 7) fuzioe radice -sima y = x y = / x - 8) fuzioe iperbolica y = /x y = - /x 2 9) fuzioe espoeziale y = a x y = a x log e a 0) fuzioe espoeziale y = e x y = e x ) fuzioe logaritmo y = log a x y = /x log a e 2) fuzioe logaritmo aturale y = log e x y = /x Nota Bee: le derivate 2, 3, 4, 6, 7, 8 si possoo ricavare tutte dalla regola. esprimedo opportuamete le fuzioi sotto forma di poteza Dimostrazioe della REGOLA. Data la fuzioe Y =, come ell esempio precedete, usiamo la defiizioe di derivata el puto geerico f( 0 ) = 0 f( 0 +) = ( 0 +) = a a a a a Ricordado ce ello sviluppo della poteza di u biomio il primo e l ultimo coefficiete soo sempre metre il secodo ed il peultimo soo sempre uguali a (Triagolo di Tartaglia) f( 0 +) f( 0 ) a a a a a 0 f ( 0 ) = Lim = Lim a = Lim ( a ) - = Lim = 0 raccogliedo Duque Y = -

5 I PRINCIPALI TEOREMI SULLE OPERAZIONI DI DERIVAZIONE Date due fuzioi y = f(x) e y = g(x) derivabili ed ua costate reale K si ao le segueti proprietà (teoremi di derivazioe): I. Prodotto di ua fuzioe per ua costate y = K f(x) II. Somma (o differeza) di due fuzioi y = f(x) ± g(x) y = K f (x) y = f (x) ± g (x) III. Prodotto di due fuzioi y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) + f(x) g (x) IV. Quoziete di due fuzioi f(x) f (x) g(x) + f(x) g (x) y = y = g(x) [ g(x) ] 2 V. Fuzioe di fuzioe y = f (g(x)) y = f (g(x)) g (x) ESEMPI ED OSSERVAZIONI: Y = 3 Y = 3 2 Teor. I Y = 4 3 Y = Teor. II Combiado i primi due teoremi si può derivare u qualuque poliomio: la fuzioe derivata è acora u poliomio di grado iferiore di Y = Y = Y = Co la regola si possoo derivare ace K Y ce scritta come Y K a derivata K 2 Y ' K ossia Y ' 2 K Y ce scritta come Y K a derivata K ( ) Y ' K ossia Y ' Y ce scritta come Y a derivata Y ' ossia 7 Y ce scritta come 7 7 Y a derivata Y ' ossia 6 Y ' 7 Y ' 6 La derivata di ua fuzioe composta si può applicare ace co più aidameti Es. Y log 2 a derivata (Teor. V) Y ' 2 (3 2) derivata del logaritmo derivata della radice derivata del poliomio