MATEMATICA FINANZIARIA

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1 Capializzazioe semplice e composa MATEMATICA FINANZIARIA Immagiiamo di impiegare 4500 per ai i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del, % auo. Quao avremo realizzao alla fie dell operazioe? I u coeso simile alla siuazioe preseaa l imporo ivesio ( 4500 è il capiale C, quello che l operazioe frua è l ieresse I; la somma ra ieresse e capiale è il moae M. Ci soo due modalià di calcolo degli ieressi: L ieresse viee calcolao alla fie di ogi ao sul capiale iiziale. I al caso si parla di capializzazioe semplice L ieresse viee calcolao alla fie di ogi ao sul moae già realizzao. I al caso si parla di capializzazioe composa. Esamiiamo i due casi ell esempio proposo. Capializzazioe semplice: ieresse del primo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse del secodo ao 4500*0,0= 10,5 moae = ,5. = 4707 Capializzazioe composa: ieresse del primo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse del secodo ao ( ,5 *0,0= 105,8805 moae = ,5+105,8805= 4709,805 Immagiiamo ora di impiegare 4500 per ai e mesi i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del, % auo. Quao avremo realizzao alla fie dell operazioe? Esamiiamo i due casi el uovo esempio proposo. Capializzazioe semplice: ieresse del primo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse del secodo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse per mesi ,0 = 5,875 moae = ,5. +5,875= 47,875 Capializzazioe composa: ieresse del primo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse del secodo ao ( ,5 0, 0 = 105,8805 ieresse per mesi ( ,5+105,8805 0, 0 7,079 moae = ,5+105,8805+7,079= 476,46 = Esrapoliamo il procedimeo: idicado co il umero di ai, co f la frazioe di ao e co i il asso auo uiario Capializzazioe semplice: moae dopo +f ai M = C + I = C + C i + C i + C i C i f + i + i f Ieresse dopo +f ai I = C i ( + f Capializzazioe composa: moae alla fie del primo ao M = C( 1 moae alla fie del secodo ao M = C( 1+ i + C(1 i (1 moae dopo +f ai M = C( 1+ i + C(1 i f (1+ if

2 Ques ulima procedura viee dea capializzazioe co covezioe lieare. E possibile ache adoare la covezioe espoeziale, ossia calcolare il moae el modo f + f seguee: M (1 Nello specifico esempio si oiee M=4500*(1+0,0 +/ = 476, Geeralizziamo: idicado co il empo oale espresso i ai e co i il asso auo uiario, si ha: Capializzazioe semplice: Ieresse dopo ai I = C i Moae dopo ai M = C( 1+ i Capializzazioe composa: Moae dopo ai M espoeziale ESEMPI N.B Se o idicao espressamee, useremo l ao commerciale = C( 1+ i (covezioe 1 Calcolare il moae di 000, impiegai per 5 ai e 11 mesi, al % auo 11 - i capializzazioe semplice M = 000 (1 + 0,0(5 + = 5, i capializzazioe composa M = 000(1 + 0,0 = 57,44059 Calcolare i quao empo u capiale, al asso del % auo, si raddoppia - i capializzazioe semplice C + i, quidi = 1 + 0,0 ai e 4 mesi - i capializzazioe composa C + 0,0, quidi log =log ( 1+ 0,0 = ai 5 mesi giori (1 + = 0,0 Calcolare quale capiale, impiegao per 7 mesi e 15 giori, al asso del % auo, forisce u ieresse di 0 - i capializzazioe semplice 0 = C 0,0 C= i capializzazioe composa I = M C 0 + 0,0 C 0 = C((1 + 0,0 1 C= 645,7 4 Calcolare a quale asso auo di ieresse 00 dao u moae di 100, se impiegai per ai. - i capializzazioe semplice 100 = 00(1 + i i =0, circa 11,59 % - i capializzazioe composa 100 oppure: log( = log(1 00 i= 0, circa 10,46 % 100 i = 00( i = i = 0,

3 Tassi equivalei Ipoizziamo di ivesire 4500 per ai e mesi i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del 6 % auo. Ci chiediamo se il moae realizzao si oerrebbe ugualmee co u asso dello 0,5% (6/ mesile. - i capializzazioe semplice al 6% auo, per,5 ai, si ha: M = 4500(1 + 0,06,5 = 510 oppure allo 0,005 mesile per 7 mesi M = 4500(1 + 0,005 7 = i capializzazioe composa al 6% auo, i covezioe espoeziale, per,5 ai, si,5 ha: M = 4500 (1 + 0,06 = 510,9901 oppure, 7 allo 0,005 mesile per 7 mesi M = 4500 (1 + 0,005 = 5148,688 Si vede che i due assi o soo equivalei, iededo per assi equivalei quelli che, a parià di capiale e di empo, dao lo sesso moae. Applicado quesa defiizioe ad u capiale C, ad u asso auo i e ad u asso mesile i, per u ao, si oiee: - i capializzazioe semplice: M = C( 1+ i 1+ i = 1+ i i = i quidi, per u geerico asso periodico i, si ha i = i Ad esempio per u asso semesrale i = i, per u asso quadrimesrale, i = i - i capializzazioe composa: i = ( 1+ 1 ed ache (1 + i 1 = i i M 1 + i i = (1 i Spesso, i capializzazioe composa si usa il cosiddeo asso auo omiale coveribile, che ha solo valore covezioale; o può essere uilizzao ei calcoli, ma deve essere appuo coverio i asso periodico. Se ad esempio parliamo del 6% omiale coveribile bimesralmee, per fare i calcoli useremo il asso bimesrale dell 1% oeuo dividedo il omiale per 6. I geerale il asso auo omiale è idicao co ESEMPI j ed è i 1 Calcolare il moae realizzao co l impiego di per ai e 5 mesi allo 0,6 % mesile. - i capializzazioe semplice M = 17000(1 + 0, = 6118,8 5 oppure M = (1 + 0,04 (+ = 6118, i capializzazioe composa, M =17000 (1 + 0,006 = 909,0147 oppure, poiché i = (1 + i 1=0, , M = 17000(1 + 0, (+ = 909,0147 Calcolare l ieresse realizzao co l impiego di 1570 per ai 4 mesi e 16 giori al asso auo omiale 5% coveribile semesralmee. = j

4 0,05 Coveriamo il asso: i = j = = 0, 05 è il asso semesrale, quidi: - usiamo il asso semesrale ed esprimiamo il empo i semesri 4 16 (4+ + M = 1570(1 + 0, = 1765,6145 oppure - rasformiamo il asso semesrale i auo equivalee ed esprimiamo il empo i ai i = (1 + i 1=0,05065 e M = 1570(1 + 0, ( USO DI EXCEL = 1765,6145 Il foglio di calcolo può essere usao per risolvere alcui dei problemi precedei, mediae lo srumeo Ricerca obieivo. Ad esempio, dao il problema: Calcolare a quale asso auo di ieresse 00 dao u moae di 100, se impiegai per ai, si possoo digiare i dai i quesa forma Nella cella D si digia la formula =A*(1+C*B e ella cella E si digia la formula =A*(1+C^B ed il valore,elle celle B e B, oeedo Si va sulla cella D, poi dalla barra dei meu, Srumei Ricerca obieivo OK OK Si va sulla cella E, poi dalla barra dei meu, Srumei Ricerca obieivo

5 Il risulao oeuo per il asso è uguale a quello oeuo precedeemee co la risoluzioe di equazioi: