SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

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1 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua be defiita regola alla quale ciascu termie soddisfa: ell'esempio scelto, ciascu termie è dato dal precedete aumetato di 3. La regola ci permette di determiare il termie successivo e di estedere la somma all'ifiito. Ua sequeza di umeri che soddisfa a tali codizioi è detta successioe (o progressioe) umerica. Vediamo qualche esempio:,4,6,8,... è ua successioe umerica (regola: ogi termie è dato dal precedete aumetato di ),, 4, 8,... è ua successioe umerica (regola: ogi termie è dato dal precedete moltiplicato per ½),,3,5,,,... o è ua successioe umerica (o esiste ua regola che permetta di determiare il termie successivo di qualuque termie) La successioe, i geerale, si idicherà co: dove: u u... u è il primo termie è il secodo termie è l'eesimo termie u,u,u 3,u 4,...,u,... Se la regola (legge di formazioe) è tale che ciascu termie è dato dal precedete sommato ad ua costate d (detta ragioe) la successioe è detta successioe aritmetica. Se, ivece, la regola è tale che ciascu termie è dato dal precedete moltiplicato per ua costate q (detta ragioe) la successioe è detta successioe geometrica. Esempi:, 5, 8,, 4, 7,... successioe aritmetica di ragioe d=3 e primo termie, 4, 8, 6, 3, 64,... successioe geometrica di ragioe q= e primo termie

2 L'eesimo termie di ua successioe, scritto i maiera geerale mediate l'idice viee detto termie geerale della successioe. La sua espressioe è molto utile quado si voglia scrivere u particolare termie della successioe. Esempio: Calcolare il 5 0 termie della successioe geometrica di ragioe q=/ e primo termie 3. Il termie geerale della successioe è: u termie: u 5 5 =3 4 = 3 4, da cui possiamo calcolare il 5 0 b. Somma parziale -esima di ua successioe Data ua successioe di termie geerale u : u, u,u 3,...,u,... diremo S la somma dei primi termii della successioe e utilizzeremo, per idicarla, il simbolo di sommatoria (che rede più comoda la otazioe della somma di termii): S u u 3... u = u i Esempi: 3... (è la somma dei primi umeri iteri) i = (è la somma dei quadrati dei primi iteri) i i = Le somme S di ua successioe data, co che può assumere ogi valore, soo dette somme parziali della successioe. Notiamo, ifie, che l'operatore di sommatoria gode delle segueti proprietà di liearità: [ f i g i ]= f i g i k f i =k f i

3 c. Somma parziale -esima di ua successioe aritmetica I base alla defiizioe, ua successioe aritmetica avete ragioe d e primo termie u si può scrivere, i geerale: u, u d, u d, u 3d,... e, duque, l'-esimo termie, cioè il termie geerale di ua successioe aritmetica, si può scrivere: u d Cosideriamo la somma dei primi termii di ua successioe aritmetica di primo termie u e ragioe d: S u d u d u 3d... [u d ]= u i d Si può dimostrare che è possibile esprimere la somma dei primi termii di ua qualsiasi successioe aritmetica mediate ua formula semplice, che permette di calcolare il valore di S per qualsiasi : S = u i d= u d Esempio: Calcolare la somma dei primi 50 umeri iteri aturali. Si tratta di ua successioe aritmetica co ragioe d= e primo termie. La somma che vogliamo calcolare è: Utilizzado la formula data, avremo: 50 S 50 = = i i = S 50 = u d =50 50 =50 5 =75 Esempio: Trovare l'espressioe geerale della somma dei primi umeri iteri aturali. Si tratta della stessa successioe aritmetica vista ell'esempio precedete, di ragioe d= e primo termie. Applicado, i geerale, la formula per la somma di termii otteiamo: S = i= =

4 Duque, ell'esempio precedete avremmo potuto ache scrivere: 50 S 50 = i= otteedo, aturalmete, lo stesso risultato. = 50 5 =75 Esempio: Calcolare la somma dei primi 00 umeri dispari. Si tratta di ua successioe aritmetica co ragioe d= e primo termie u =:,3,5,7,9,,3,5,...,,... dove il termie geerale della successioe è. La somma dei primi 00 termii di questa successioe si scrive (mediate l'uso del termie geerale): 00 S 00 = i e possiamo calcolarla co la formula data sopra: S 00 = u d =00 00 =00 99 = d. Somma parziale -esima di ua successioe geometrica I base alla defiizioe, ua successioe geometrica avete ragioe q e primo termie u si può scrivere, i geerale: u,u q,u q,u q 3,... e, duque, l'-esimo termie, cioè il termie geerale di ua successioe geometrica, si può scrivere: u q Cosideriamo la somma dei primi termii di ua successioe geometrica di primo termie u e ragioe q: S u q u q u q 3... u q = u q i Si può dimostrare che è possibile esprimere la somma dei primi termii di ua qualsiasi successioe geometrica mediate ua formula semplice, che permette di calcolare il valore di S per qualsiasi :

5 S = u q i q q Esempio: Trovare la somma dei primi 8 termii della successioe geometrica di ragioe q = ½ e primo termie 3. La successioe è la seguete: 3, 3, 3 4, 3 8, 3 6, 3 3,...,3 Utilizziamo la formula data per calcolare la somma dei primi 8 termii della successioe: S 8 q q =3 / 8 / = 765 8,... e. Altre successioi otevoli Vedremo, ora, ei dettagli, altre due successioi che, per la loro importaza, vale la pea mettere i evideza: Cosideriamo la successioe dei quadrati dei umeri iteri aturali:,, 3, 4,5,...,,... Si può dimostrare che l'espressioe geerale della somma parziale S di questa successioe si può scrivere semplicemete come: S = i = 6 Cosideriamo la successioe dei cubi dei umeri iteri aturali:, 3,3 3,4 3,5 3,..., 3,... Si può dimostrare che la forma geerale della somma parziale S si può scrivere semplicemete come: S = i =[ 3 i = ]

6 Riepiloghiamo, di seguito, l'espressioe geerale della somma parziale -esima di alcue successioi otevoli: S = u d S q q S = i= S = i = 6 S = i =[ 3 i = ] Geerica successioe aritmetica Geerica successioe geometrica Successioe dei umeri iteri aturali Successioe dei quadrati dei umeri iteri Successioe dei cubi dei umeri iteri Esercizio: Data la successioe umerica di termie geerale: u = trovare l'espressioe geerale della somma dei primi termii S e calcolare il valore el caso particolare di = 0. Si ha: S = i i = i = i i= i i e utilizzado le formule riportate ella tabella sopra: S = i i= Nel caso particolare di = 0, si ha: 6 = S 0 = =85 6

7 f. Limite di ua successioe umerica Sia data ua successioe: u,u,u 3,u 4,...,u,... Se, al crescere di, il termie u si avvicia sempre più ad u umero l, questo è detto limite della successioe. Quado ciò avviee, si usa scrivere: lim u =l I geerale, il limite può essere u umero fiito, compreso lo 0, ma può ache essere ifiito. Esempi:. La successioe:,, 3, 4,...,,... ha termie geerale u = successioe è : lim u =0. Il limite di tale cioè, al crescere di, il termie geerale u della successioe diveta sempre più piccolo, co limite 0.. La successioe:, 3, 5 3, successioe si ha: 7 4, 9 5,... ha termie geerale: u = lim =. Per tale cioè, quato più cresce, tato più u si avvicia al umero (per difetto). 3. La successioe, 4,9,6,...,,... di termie geerale u = ha limite ifiito: lim = Naturalmete, questa o è la defiizioe matematica rigorosa del limite di ua successioe.

8 . Serie umeriche a. Defiizioe di serie umerica: covergeza e divergeza Sia data la successioe umerica: u,u,u 3,...,u,... Abbiamo visto, el paragrafo precedete, come viee defiita la somma parziale dei primi termii della successioe: S = u i u... u e come sia possibile, i alcui casi, calcolarla i maiera geerale per ogi. Suppoiamo, ora, di estedere la somma a tutti gli ifiiti termii della successioe: S u... u... La somma S degli ifiiti termii di ua successioe prede il ome di serie, e si usa idicarla co il simbolo di sommatoria: u = Essa può avere valore fiito o ifiito. Nel primo caso la serie è detta covergete, el secodo caso è detta divergete. Ma come fare per calcolare ua somma ifiita? Il procedimeto cosiste el costruire, a partire dalla successioe data, ua uova successioe del tipo: S, S,S 3,...,S,... cioè la successioe delle somme parziali della successioe data, dove abbiamo: S S u S 3 u u 3... S u u 3... u... A questo puto, la somma S degli ifiiti termii della successioe iiziale o è altro che il limite della successioe delle somme parziali per che tede ad ifiito: u =lim S = Se tale limite esiste ed è fiito la serie è covergete (si usa dire che la successioe iiziale

9 è sommabile). Se tale limite o esiste, o esiste ed è ifiito, la serie è divergete (cioè la successioe iiziale o è sommabile). Studiare ua serie (o stabilire il carattere) sigifica verificare la covergeza o la divergeza e, el caso di covergeza, calcolare il valore S. Esempi: 3 Studiare il carattere della serie: =0 = Poiché si tratta di ua successioe geometrica di ragioe q= relativa somma -esima si può scrivere come: S = i =0 3 =6 i e primo termie 3, la e, duque, la serie si può calcolare come il limite per che tede ad ifiito della somma parziale S : 3 =0 =lim 6 =6 Il limite della successioe delle somme parziali esiste ed è fiito. La serie è, duque, covergete e la sua somma vale 6. Studiare la serie = = E' la serie degli iteri aturali che abbiamo visto avere come somma parziale -esima: S = i= Studiamo, ora, il limite della somma parziale -esima per che tede ad ifiito: =lim = = Tale limite è ifiito; duque, la serie è divergete (come ci aspettiamo, la somma degli ifiiti umeri iteri aturali è ifiita). Nota molto importate: Gli esempi di serie calcolate sopra dimostrao che o vi è alcua difficoltà a determiare il carattere di ua serie e a calcolare la somma S se si coosce l'espressioe geerale della somma parziale -esima S. Ifatti, basterà calcolare il limite per che tede ad ifiito: = u =lim S =lim u i

10 La vera difficoltà ello studio delle serie, allora, è proprio quella di scrivere la somma parziale -esima della successioe i forma geerale. Tale difficoltà potrà essere superata i seguito mediate la defiizioe di opportui criteri, i quali ci permetterao di stabilire la covergeza (o la divergeza) di ua serie a partire dallo studio dei sigoli termii u della successioe. b. Codizioe ecessaria per la covergeza U criterio di grade utilità pratica perché serve a stabilire co certezza la divergeza di ua serie (ma o la sua covergeza) è il seguete: codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie è che per che tede ad ifiito il suo termie geerale teda a zero. La codizioe è ecessaria ma o sufficiete. Ciò sigifica che: se lim u 0, allora la serie è sicuramete divergete se lim u =0, allora la serie può essere covergete o divergete la codizioe, duque, è molto utile per stabilire che ua serie è sicuramete divergete. Se, ivece, si ha che lim u =0 ulla si può dire sulla covergeza della serie. U esempio che si presta bee a dimostrare che la codizioe è ecessaria ma o sufficiete è la successioe dei reciproci dei umeri iteri aturali, la cui serie è detta serie armoica: = = Per questa serie vale la codizioe che il limite del termie geerale è zero: lim =0 eppure si può dimostrare che la serie o coverge, cioè la somma degli ifiiti termii della successioe è ifiita.

11 c. Carattere di alcue serie otevoli Serie geometrica E' la serie i cui termii soo quelli di ua successioe geometrica co ragioe q e primo termie u : u q u q u q u q 3... u q... = Notiamo che, a volte, la serie geometrica viee scritta co l'idice della sommatoria che parte da 0; i questo caso la serie si scrive: u q =0 Coosciamo, per questo tipo di successioe, l'espressioe geerale della somma parziale -esima, che vale: S q q Duque, per calcolare quato vale la serie (cioè la somma degli ifiiti termii della successioe) basta trovare il limite per che tede ad ifiito della S. Bisoga, però, distiguere diversi casi, a secoda del valore di q: Se q si ha: u q q =lim S =lim u =0 q = u q la serie è covergete e la sua somma vale S /(-q). Se q si ha: u q q =lim S =lim u =0 q = la serie è divergete e la sua somma vale ifiito. Se q= la serie diveta S u u... u.... La somma parziale -esima+è: S = u, che per che tede ad ifiito diverge. La serie è, duque, divergete. Se q= la serie diveta S u u... u la serie o coverge. I defiitiva, ua serie geometrica coverge solo se ha ragioe compresa tra i valori - ed.

12 Serie armoica geeralizzata La serie armoica geeralizzata si preseta ella forma: = = co α umero reale qualsiasi. Si può dimostrare che tale serie ha u carattere diverso a secoda del valore di α: Se la serie diverge Se = si ottiee la serie armoica, che è divergete: = = Se la serie coverge Serie espoeziale E' ua serie del tipo: =0 a a = a! a3 6 a dove a è u qualsiasi umero reale. Si può dimostrare che questa serie è sempre covergete per ogi valore di a e che vale: =0 a! =ea Notiamo che, el caso particolare di a=, si ottiee ua defiizioe di e (umero di Nepero) come somma ifiita di termii: e= =0! = 4... Serie di Megoli E' ua serie defiita come: = = Si dimostra che tale serie è covergete e la sua somma vale : = =

13 d. Criteri di covergeza e divergeza di ua serie Nel seguito vedremo alcui criteri utili per stabilire il carattere di ua serie. Ci limiteremo, per ora, al caso di serie a termii reali positivi, cioè serie i cui termii soo positivi e ulli oppure egativi e ulli: il secodo caso si ricoduce, ifatti, al primo moltiplicado, come è lecito, per la costate -. I criteri di covergeza soo molto utili i quato permettoo di stabilire il carattere di ua serie seza dover scrivere l'espressioe geerale della somma parziale eesima (cosa che a volte può presetare otevoli difficoltà), ma studiado solo il comportameto dei sigoli termii u della successioe. Criterio del rapporto Ua serie a termii positivi: u è covergete se il limite del rapporto fra u termie = ed il precedete è miore di. E' divergete se il limite di tale rapporto è maggiore di. I sitesi, vale: l=lim u u se l la serie è covergete se l la serie è divergete se l= ulla si può dire sul carattere della serie (bisoga usare u altro metodo) Criterio della radice Ua serie a termii positivi: u è covergete se il limite della radice -esima di = u è miore di. E' divergete se è maggiore di. I altre parole, vale: l=lim u se l la serie è covergete se l la serie è divergete se l= ulla si può dire sul carattere della serie (bisoga usare u altro metodo)

14 Criterio del cofroto Mediate questo criterio è possibile stabilire il carattere di ua serie dal cofroto co u'altra di carattere oto. Sia u ua serie della quale si voglia stabilire il carattere, e = sia v ua serie di cui è ota la covergeza. Se si trova il modo di dimostrare che per = ogi vale: u v allora, ache la serie u è covergete. = Aalogamete, se è ota u serie z divergete e si dimostra che per ogi vale: = u z allora ache la serie u è divergete. I altre parole, se il termie geerale di ua serie = data è sempre miore o uguale al termie geerale di ua serie covergete, allora la serie data è ach'essa covergete. Se, ivece, il termie geerale di ua serie data è sempre maggiore o uguale al termie geerale di ua serie divergete, allora la serie data è ach'essa divergete. Esempi: Studiamo la serie: = = 3... Trascurado, come è lecito, il primo termie essa può essere scritta come: allora: = = = e poiché la serie = data. è ua serie covergete (serie di Megoli) lo è ache la serie

15 e. Somma di serie covergeti Siao date le serie: u e v. Se esse soo etrambe covergeti, allora lo è ache = = la serie somma delle due. I altre parole, se: S = = v = u e S = allora la serie u v è covergete e la sua somma è: = = u v =S S Ifie, è bee rimarcare che il carattere di ua serie rimae ialterato se si moltiplicao i suoi termii per ua costate diversa da zero.