SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)

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1 SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log ) d) b) 0 ) 3. Utilizzado la serie geometrica, discutere il comportameto delle serie segueti e calcolare la somma. Determiare ioltre per quali valori del parametro α IR la somma delle serie b) e c) risulta 3. a) 3 0 b) log α), α > 0 c) 0 α) 4. Utilizzado i criteri del rapporto, della radice, del cofroto e del cofroto asitotico, dire se le segueti serie a termii positivi) covergoo: a) c) e) g) i) 3 b) d)!) f) ) ) j) h) 3 )!!)! log log ) / cos k) 3 4 l) m) o) ) ) log p) 3

2 . Utilizzado il criterio di covergeza assoluta e il criterio di Leibiz, discutere la covergeza delle segueti serie: a) ) b) ) c) ) 00 ) d) 3 ) log 3 e) cosπ) 3 3 f) si g) ) 3 ) h) ) si 6. Utilizzado il fatto che e 0 )!, determiare e co u errore miore di Calcolare la somma della serie ) e a meo di Studiare la covergeza delle segueti serie: a) ) ) b) ) ) c) arcta d) 3 cos e) ) 3 cos f) g) ) log 3 h) ) 37! 9. Studiare la covergeza della serie ) a, dove { / se pari a / se dispari. 0. Studiare la covergeza della serie ) a, dove a ).. Studiare la covergeza della serie ) a, dove a ).

3 SOLUZIONI degli esercizi sulle SERIE NUMERICHE. a) Applichiamo il metodo di risoluzioe delle serie telescopiche. Scompoiamo a i fratti semplici): ). Calcolado le ridotte -esime s s a 3, s a a s 3 a a a 3 ) 3 3 s 4 a a a 3 a 4. come somma di due frazioi usiamo il metodo di decomposizioe a k otteiamo: k ) 4 3 4, ) ) 4 3 ) 4, 3 ) 4 ) s a a a. Poiché s 3, la serie coverge e la sua somma è S 3. 3 ) 4 ) 6 6, b) a. Procededo come sopra otteiamo: s a, s a a s 3 a a a 3 ) ), 3 3 ) ) 3 ), s a a Poiché s,. la serie coverge e ha per somma S.

4 . Codizioe ecessaria ma o sufficiete) affiché la serie a) a ) b) 0 a coverga è che a 0.. Questo ite o esiste i quato a, a. Poichè il ite o esiste, e duque o è zero, la serie o coverge. Duque c) Poiché d) Poiché e log log ricordiamo che 0 ). a 0 e la serie o coverge diverge a perchè è a termii positivi). log ) 0 la serie o coverge diverge a perché, IN, / log ) > 0 ). ) e 0, la serie o coverge. Essedo a termii positivi essa diverge. 3. a) [ ) ) 3 ] 0 ) 0 ) 3. Si tratta della somma di due serie geometriche etrambe covergeti la ragioe è miore di ). Duque la serie iiziale coverge alla somma delle due: ) S 0 ) 3 3, S 0 3, S 3 S S b) Si tratta di ua serie geometrica di ragioe log α. Duque coverge se: log α < < log α < e < α < e. Per tali valori di α la somma della serie è S log α) 0 log α. Osserviamo che < log α < 0 < log α < < S ; duque o log α esistoo valori di α per cui S 3. c) E ua serie geometrica di ragioe α α, che coverge se e solo se : < < < α < oppure α > 0. α Per tali valori di α la somma della serie Pertato la ostra somma vale S 0 α) è S α α) α) α α. 0 α α α. S 3 3 α α 3 valore di α accettabile).

5 4. a) Usiamo il criterio del rapporto. a a ) 3 3 ) 3 3 <. Duque la serie coverge. Si può ache usare il criterio della radice. b) Usiamo il criterio del rapporto. a a [ )]!!) [ )!] )! )! )! ) ))! )! Duque la serie diverge.!! )! )! ) 4 6 ) 4 >. c) Usiamo il criterio della radice. ) ) a 0 <. Pertato la serie coverge. d) Usiamo il criterio del rapporto. a a )! )! ) ) ) ) e <. ) Duque la serie coverge. e) Usiamo il criterio del rapporto. )!) )!) )! )!!! Pertato la serie coverge. f) Usiamo il criterio del cofroto. Poiché 3, log >, si ha che log >. ) 0 <. Duque la ostra serie è ua maggiorate di ua serie divergete, e pertato diverge. g) Usiamo il criterio della radice. a ) ) Duque la serie coverge. h) Usiamo il criterio della radice. [ ] a log ) Duque la serie coverge. e ) <. log ) 0 <. log

6 i) Usiamo il criterio della radice. ) a 0 <. Ifatti Pertato la serie coverge. e log e 0 ). j) Usiamo il criterio del cofroto. Poiché cos cos. Ricordado che la serie IN), si ha: serie covergete, e duque coverge. k) Usiamo il criterio del cofroto asitotico. Osserviamo che per, Poiché 3 l) Usiamo il criterio del cofroto. Poiché >, si ha è covergete, la ostra serie risulta essere ua miorate di ua coverge, ache la ostra serie coverge. >. Duque la serie Pertato ache è ua maggiorate della serie armoica diverge., che diverge. m) Usiamo il criterio del cofroto asitotico. Poiché per, e poiché 3/ ) 3/ coverge essedo 3/ > ), ache la ostra serie coverge. ) Usiamo il criterio del cofroto asitotico. Poiché per,, e poiché diverge, ache diverge. o) Utilizziamo il seguete criterio: a se a e b soo due successioi a termii positivi tali che 0 e b coverge, allora b ache a coverge. I altri termii: se a ob ) e b coverge, ache a coverge. Questa è ua parte del criterio del cofroto asitotico. Per la dimostrazioe basta applicare la defiizioe di ite: fissato, ad esempio, ε, esiste N tale che >, a /b <, cioè a < b. Duque a è defiitivamete miore di b, ed il risultato segue dal criterio del cofroto la serie a è maggiorata defiitivamete) dalla serie b ).

7 Cofrotiamo allora la successioe a log co la successioe b. Si ha 3/ log 3/ log 0. / Ricordiamo il ite fodametale log 0, α > 0.) α Poichè la serie 3/ coverge, ache la serie log coverge. p) Osserviamo che il criterio della radice o dà alcua iformazioe i quato a /3. Aalogamete si verifica che ulla. a a, e quidi ache il criterio del rapporto o ci dice Proviamo a utilizzare il criterio visto al puto precedete. Cofrotiamo la successioe a /3 co la successioe b /. Si ha cioè 3 3 log log 3 e e 0, 3 o ). Poichè la serie coverge, ache la serie 3 coverge.. a) La serie Quidi la serie coverge assolutamete, e duque coverge per il criterio di covergeza assoluta. coverge essedo ). b) Si ha 0. Ioltre, poiché ) ) >, si ha è mootoa decrescete. Per il criterio di Leibiz, la serie ) Ivece essa o coverge assolutamete. Ifatti, essedo <, si ha > i quato maggiorate di ua serie divergete. c) La serie Pertato la serie ) 00 coverge : ifatti 3 < coverge. 00 ; ; duque la serie 3 ) 00 ) coverge assolutamete. 3 ) 3 <. duque la successioe diverge

8 d) Si ha log 0. La fuzioe logaritmo i base e è mootoa crescete. Quidi,, log ) > log, e duque per ), log ) < log. ) Pertato la successioe è strettamete decrescete. log Per il criterio di Leibiz, la serie 3 ) log 3 coverge. Ivece o coverge assolutamete; ifatti, 3, log < e duque log > ; pertato la serie diverge i quato maggiorate di ua serie divergete. log 3 cosπ) e) Si ha 3 ) Poiché per, f) Notiamo che la serie 3 3, e / >, la ostra serie coverge assolutamete. / Essedo si, si ha Duque la serie si si o è a segi alteri, è a termii positivi. si. coverge perchè è maggiorata dalla serie covergete Cocludiamo che la serie proposta coverge assolutamete. g) Si ha 3 ) 3 ) 0 La successioe 3 / è decrescete. Pertato ache la successioe duque per il criterio di Leibiz ) 3 ) coverge. La serie o coverge assolutamete. Ifatti ricordado che, ) < 3 < 3 3 >. Utilizzado il criterio del cofroto abbiamo allora che la serie maggiorate di ua serie divergete. ) 3. è decrescete; ) < 3, si ha: 3 ) diverge, i quato U altro metodo per vedere che la serie o coverge assolutamete è quello di utilizzare la seguete equivaleza che vedremo più avati el corso): per 3 e log 3 log 3.

9 Poiché la serie log 3 diverge, ache la ostra serie diverge assolutamete. h) Notiamo che la ostra serie è a segi alteri. Ifatti, posto a si, poiché 0 < < π ), e poichè si t > 0 per 0 < t < π/, si ha a > 0. Ioltre si ha x, valida x R.) a 0. Questa si dimostra facilmete utilizzado la disuguagliaza si x Ifie la successioe a è decrescete. Ifatti ft) si t è crescete per t < < si < si. 0, π ), e quidi Pertato si può applicare il criterio di Leibiz e cocludere che la serie proposta coverge. Essa o coverge ivece assolutamete cioè o coverge la serie si ). Ifatti dimostreremo più avati el corso che, per, si. Poichè la serie armoica diverge, ache la serie si diverge. 6. Per ua serie a segi alteri ) a covergete, l errore R che si commette approssimado la somma S della serie co la ridotta -esima s cioè del valore assoluto del primo termie trascurato i s ). Si ha duque R S s ) k a k a. k Scrivedo la ostra serie come sez altro verificato se : a! < 00! > 00. ) k a k è miore o uguale del termie a k ) )!, abbiamo a Duque si commette u errore sicuramete miore di e s! 3! 4! 3 8. )!. Vogliamo R < 00 ; questo è 00 approssimado e co il valore s : 7. Per la serie a segi alteri R S s < a. ) e ) a covergete a S si ha : Si avrà u approssimazioe di S sicuramete miore di 0 4 richiededo che a )e ) < da cui S s 3 e 3. e 4 e 9

10 8. a) Applichiamo il criterio di covergeza assoluta. Posto a a ) e ) ) si ha /) dove abbiamo usato il ite fodametale /) e. Per il criterio del cofroto asitotico la serie a coverge. Per il criterio di covergeza assoluta ache a coverge. b) Sia a a ). Procededo come ell esercizio precedete otteiamo /) ) e ). I questo caso la serie a diverge e il criterio di covergeza assoluta o ci dice ulla. Studiamo la covergeza della ostra serie a segi alteri) a ) a tetado di applicare il criterio di Leibiz. Chiaramete a 0. Ricordiamo che la successioe /) tede a e crescedo. Ne segue che ache /) è crescete, e quidi la successioe a /[/) ] è decrescete. La serie proposta coverge allora per il criterio di Leibiz. c) Essedo arcta π/ ), si ha arcta π/ π/ 3/ ). La serie coverge per il criterio del cofroto asitotico essedo 3/ > ). d) Osserviamo che la serie è a termii positivi. Si ha dove abbiamo usato il fatto che cofroto asitotico. 3 cos 3 cos 3 3 ), cos 0. Quidi la serie coverge per il criterio del e) Posto a /3 cos ), si ha a > 0 e abbiamo ua serie a segi alteri. Il criterio di covergeza assoluta o ci dice ulla i quato 3 cos 3 ), e quidi la serie dei valori assoluti diverge. Si ha Dimostriamo che a è decrescete. Si ha a a a 0. 3 ) cos ) 3 cos 3 3 cos ) 3 cos 3 cos cos ). Questa disuguagliaza è verificata N. La serie coverge per il criterio di Leibiz. f) Ricordado che, abbiamo ), e la serie diverge per il criterio del cofroto asitotico.

11 g) La serie o coverge assolutamete i quato e duque 3 log Si ha log log > 3, per il criterio del cofroto). 0 ite fodametale). Verifichiamo che la successioe a log è decrescete. Si ha log ) a a log log ) ) log log [ ) ] log [ ] ) ) ). Questa è vera per ogi 3 si ricordi che /) tede a e crescedo e che < e < 3). La serie coverge per il criterio di Leibiz. U altro metodo per dimostrare la decresceza di a è di ricorrere alla fuzioe fx) log x x. Si ha a f). Calcolado la derivata f x) si vede che f x) < 0 x > e, e quidi f è strettamete) decrescete sull itervallo e, ). Questo implica che a è decrescete o appea 3. h) La serie coverge assolutamete. Ifatti posto a ) 37 e applicado il criterio del rapporto! alla serie dei valori assoluti a si ha ) a )37! 37 a )! Essedo 0 < la serie a coverge e quidi ache a coverge. 9. Si ha a,, 9, 4,, 6,.... È evidete che a tede a zero ma o è decrescete. [Si disegio le due fuzioi fx) /x e gx) /x ; si ha a f) per pari, a g) per dispari.] Il criterio di Leibiz o si può duque applicare. Dimostriamo che ) a. Procediamo direttamete dalla defiizioe di serie, calcolado le somme parziali di idice pari e di idice dispari. Si ha s ) k a k 9 4 ) k 4 ) ) 9 ) k k ), k k

12 e aalogamete s k k ) k a k s a s k k ). k ) Passado al ite per, osserviamo che metre Posto c k ), otteiamo k k k k ) coverge i quato k ) 4k, k. s s c. Ricordado che cocludiamo che { s s l l s l, ) a k ) k a k s. 0. Si ha ) a ) ) ) ) l, ) ) avedo idicato co l R la somma della serie quato / tede a zero decrescedo). ) covergete per il criterio di Leibiz i Duque la serie ) a diverge positivamete. Notiamo che a che è positiva per > e tede a zero per ) o può essere mootoa decrescete: se lo fosse potremmo applicare il criterio di Leibiz cocludedo che ) a coverge, cotrariamete a quato appea visto. I effetti ciò si ituisce scrivedo i primi termii della successioe a : a { se pari se dispari 0,, 3 3, 4 4,.... Notiamo ache che si ha a b, essedo a b ).

13 Abbiamo quidi u esempio di due successioi a, b positive > ) ed equivaleti, che o hao la stessa mootoia e tali che ) a diverge metre ) b coverge. Il criterio del cofroto asitotico vale duque solo per serie a termii positivi: se a, b > 0 e a b, allora le due serie a, b hao lo stesso comportameto, metre le due serie a segi alteri) ) a, ) b o hao ecessariamete lo stesso comportameto.. Si ha a { se pari se dispari,, 4, 3, 6,,.... È immediato verificare che a tede a zero ma o è decrescete. [Si disegio le due fuzioi fx) /x ) e gx) /x ); si ha a f) per pari, a g) per dispari.] Il criterio di Leibiz o si può duque applicare. Notiamo che a, ma questo o implica ecessariamete che la ostra serie ) a si comporti come la serie armoica a segi alteri ) / che coverge per il criterio di Leibiz), si veda l esercizio precedete. Ioltre, il fatto che a implica che la serie dei valori assoluti a diverge, e quidi il criterio di covergeza assoluta o ci dice ulla. No resta che procedere direttamete. Calcoliamo le somme parziali di idice pari e di idice dispari: s ) k a k 4 3 k 4 ) 3 ) k [ k k ] k k k s k k kk ), ) k Passado al ite per, osserviamo che la serie 4k. Posto l kk ), otteiamo k ) k a k s a s. k s s l, coverge i quato kk ) kk ) Cocludiamo che la serie proposta coverge a l): ) ) s l.