Analisi Funzionale 1 - a.a. 2012/2013

Transcript

1 Secodo appello Esercizio Sia H spazio di Hilbert reale separabile. Aalisi Fuzioale - a.a. 202/203. Si euci il teorema di caratterizzazioe di ua base hilbertiaa per H. 2. Si provi che H ha ua base hilbertiaa umerabile. Sia ora F = {u } ua famiglia ortoormale umerabile i H. Sia {λ } ua successioe di umeri reali ifiitesima. Sia T : H H defiito da T u = λ j (u, u j ) u j. 3. Provare che T u è be defiito per ogi u H. 4. Provare che T L(H). 5. Provare che T è compatto e autoaggiuto. Svolgimeto. Omesso. 2. Omesso. 3. Per dimostrare che la serie che defiisce T u coverge i H, è sufficiete dimostrare che la successioe {λ j (u, u j )} appartiee ad l 2 (N) per ogi u H. Poiché {(u, u j )} appartiee ad l 2 (N), essedo F famiglia ortoormale, e posto λ = sup λ j, si ha λj (u, u j ) 2 λ 2 (u, uj ) 2, e si coclude. 4. La liearità di T discede dalla liearità del prodotto scalare e dal fatto che la serie che defiisce T u coverge i H: se α, β R e u, v H, allora [ ] T (αu + βv) = lim λ j (αu + βv, u j ) u j = α λ j (u, u j ) u j + β λ j (v, u j ) u j = αt u + βt v, essedo α λ j (u, u j ) u j + β lim λ j (v, u j ) u j αt u + βt v α λ j (u, u j ) u j T u + β λ j (v, u j ) u j T v 0

2 per +. Riguardo alla cotiuità, si ha T u 2 = λ j 2 (u, u j ) 2 λ 2 (u, u j ) 2 λ 2 u 2, e si coclude. 5. Defiiamo T : H H come T u = λ j (u, u j ) u j. T è baalmete lieare ed ioltre T K(H) avedo rago fiito. Ioltre, se u, si ha T u T u 2 = λ j 2 (u, uj ) 2 sup λ j 2 (u, uj ) 2 u 2 sup λ j 2, da cui [ ] /2 T T sup λ j 2 0 per +. Allora T è compatto essedo limite di operatori compatti i L(H). Proviamo ora che è autoaggiuto. Sfruttado la cotiuità del prodotto scalare rispetto alla orma di H, si ha come si voleva. Esercizio 2 ( ) (T u, v) = lim λ j (u, u j ) u j, v = lim = lim ( u, λ j (v, u j ) u j ) = (u, T v),. Si euci e dimostri il teorema di Baach-Steihaus. λ j (u, u j ) (v, u j ) 2. Siao E spazio di Baach, F spazio ormato e T : E F, N, ua successioe di operatori lieari e cotiui. Dimostrare che sup T < + se e solo se per ogi serie x () covergete i E si ha T x 0 i F. Svolgimeto. Omesso. 2. Sia M = sup T. Allora T x M x 0 per +, essedo (baalmete!) x = j=0 x j x j 0. j=0 2

3 Viceversa, assumiamo che T x 0 per ogi successioe {x } N tale che la serie () coverge i E. Per assurdo, assumiamo che sup T = +. Per ogi k esiste u umero aturale k k tale che T k > k 2. Ioltre, è possibile scegliere k+ > k. Allora, per ogi k esiste y k E, y k, tale che Sia ora Allora e quidi la serie x = T k y k k 2. { 0 se k per ogi k. y k /k 2 se = k per qualche k. x = k k 2 y k k x k 2 < +, coverge i E essedo E completo. Ma T k (x k ) = T k (y k /k 2 ) k, e quidi T x 0 per +. Esercizio 3 Siao < p < e W. = { u C 0 ([, ]) : u è assolutamete cotiua, u() = u() = 0 e u L p (, ) }.. Provare che ( u = u (t) p dt ) /p defiisce ua orma i W e che co tale orma W è spazio di Baach. 2. Provare che se u u i W, allora u u i L p (, ). 3. Sia j : W L p (, ) l isometria defiita da j(u) = u. Provare che j(w ) è chiuso i L p (, ) e dedurre che W è riflessivo. 4. Si defiisca F (u) = u (t) p dt, u W. Provare che F è semicotiuo iferiormete rispetto alla topologia debole di W e dedurre che ha miimo i W. 3

4 Svolgimeto. Ua volta osservato che u = u p, per verificare che sia ua orma è sufficiete provare che, se u = 0, allora u 0. Ma u = 0 implica u = 0 q.o. e quidi u (t) dt = 0 x [, ], come si voleva. Sia ora {u } N successioe di Cauchy i W. Allora {u } N è di Cauchy i L p (, ) e quidi coverge ad ua certa fuzioe g i L p (, ). Poiché 0 = u () = u (t) dt, si ha g(t) dt = lim u (t) dt = 0, perché la covergeza i L p (, ) implica quella i L (, ). Posto g(t) dt, x [, ], si ha allora u W e u u i W, da cui la coclusioe. 2. Ci soo (almeo) due modi di procedere. (a) Fissata ϕ L q (, ), q espoete coiugato di p, il fuzioale T ϕ, u = ϕ(t)u (t) dt è be defiito grazie alla disuguagliaza di Hölder, è baalmete lieare ed ioltre T ϕ, u ϕ q u p = ϕ q u. Allora T ϕ W. Se e deduce che, se u u i W, allora T ϕ, u T ϕ, u, e quidi lim ϕ(t)u (t) dt = ϕ(t)u (t) dt, da cui u u i L p (, ), grazie alla caratterizzazioe del duale topologico di L p (, ) e all arbitrarietà di ϕ L q (, ). (b) Osserviamo che j : W L p (, ) defiita da j(u) = u è lieare, per la liearità della derivata, e cotiua, essedo j(u) p = u p = u u W. Allora j è cotiua ache se muiamo W e L p (, ) delle rispettive topologie deboli, e quidi se u u i W, j(u ) = u j(u) = u i L p (, ). 4

5 3. Ache qui ci soo (almeo) due modi di procedere. (a) Sia {u } N successioe i W e suppoiamo che j(u ) g i L p (, ). quato osservato sopra si ha ed ioltre, posto si trova g = j(u), da cui la chiusura di j(w ). g(t) dt = 0, g(t) dt, x [, ], Grazie a (b) j è u isometria e quidi mada successioi di Cauchy i successioi di Cauchy, e viceversa. Allora segue facilmete che j(w ) è chiuso, essedo W completo. Ifatti, se j(u ) g i L p (, ), allora {u } N è di Cauchy i W e quidi coverge ad u elemeto u W. Per la cotiuità di j ecessariamete deve essere j(u) = g, da cui la coclusioe. Poiché L p (, ) è riflessivo, perché < p <, e j(w ) è chiuso i L p (, ), allora ache j(w ) è spazio di Baach riflessivo. Essedo j u isometria lieare tra due spazi di Baach, segue che B W (0) è debolmete compatta i W, e quidi per il teorema di Kakutai W risulta essere riflessivo. 4. Si osservi che F è u fuzioale covesso, essedo tale la fuzioe R x x p. Ioltre, F è cotiuo ella topologia forte di W perché se u u i W, allora u u i L p (, ) e quidi u u i L p (, ). Allora F è semicotiuo iferiormete per la topologia debole di W. Per provare che ha miimo basta verificare che i suoi sottolivelli soo limitati. I tal caso, questi sarebbero compatti ella topologia debole essedo chiusi ed essedo W uo spazio riflessivo. Fissata C > 0, se F (u) C, allora u p p u p C /p, da cui e si coclude. u = u p C /p +, 5