1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n

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1 Esercizi preparati e i parte svolti martedì 0.. Calcolare al variare di α > 0 Soluzioe: + ) α Per α il ite è e; se α osserviamo che da + /) < e segue che α + ) α [ + ) ] α < e α Per α > le successioi e α e α tedoo a +, e questo è il ite cercato; per α > le due successioi hao u espoete che tede a 0, ed etrambe hao ite, e il ite è.. Calcolare la parte pricipale ripetto a per 0 + di f) e + e. Soluzioe: Usare direttamete il ite otevole o fuzioa; otado che e + e e e + e ) e e ) e e ) otteiamo che la parte pricipale di f) è. 3. Studiare la successioe defiita per ricorreza da { a0 α > 0 a + +a per 0 Soluzioe: Da α > 0 segue per iduzioe che a > 0 per ogi. Studiamo la mootoia, cercado codizioi affiché sia a < a +. e Cerchiamo di vedere se Quidi a < + a a + a < 0 a + a 0 a o a + a < a + 0 < a < a < a + + a < < ) a > 3 a > 3 + a per cui i termii della successioe per α > 0 diversa da ) soo alterativamete maggiori e miori di ; e segue che se a 0 α è miore di tale valore, tutti i termii di idici pari sarao miori. Scriviamo la relazioe ricorrete che produce la successioe b a dei termii di posto pari: b 0 α > 0 b + + +b + b 5 + b Mootoia: b < + b 5 + b b + b < 0

2 e Cerchiamo di vedere se Quidi che equivale a b + b 0 b o b + b < b + 0 < b < b < b + + b 5 + b < + b 5 + b < 3) b > ) b < 5 7 Quidi, se α < si ha per ogi b < ) 3 + ) α < < b a < b + a + < < la successioe b è crescete e ha u ite l fiito, che verifica per cui l ; d altra parte a + e quidi a ; aalogamete se α >. l + l 5 + l + b +. Calcolare la parte pricipale rispetto a per 0 di se + cos. Soluzioe: La parte pricipale di se è, la parte pricipale di cos è. No c è cacellazioe, e quidi la risposta è Trovare la parte pricipale di f) 3 se se3). Soluzioe: f) se3 ) 3 se se3 ) ) se3 ) 3 se se3 ) 3 se se3 ) Il primo fattore tede a ; per il secodo si ha che tede a log. Per il terzo fattore si ha 3 se se3 ) 3 se se3 ) elog 3 se se3 )) log 3 se se3 )) log se3 ) se cos ) + cos) se ) se cos se 3 + se cos 3 se cos se 3 3 se se 3 3 se se3 ) se 3 se3 3 3 per cui la parte pricipale di f) è data da log 3. 3 se se3 ))

3 6. Data la successioe defiita per ricorreza da a 0 α a β a + a + a + ) per 0 dimostrare che a è itata e che coverge; determiare il ite. Soluzioe: Prima osservazioe: se sommiamo c ad α e a β la successioe che otteiamo si ottiee dalla precedete per ua traslazioe di c; possiamo ridurci al caso co α 0 e β β α. Notiamo che a < a + a < a + < a + a < a + < a +3 < a + e che a + a + a + a + ) a + a + a ) per cui e quidi a + a 0. Se a 0 0 < a β avremo a + a ) a a 0 ) a < a +, a < a +, a +3 < a + per cui la successioe è itata, la sottosuccessioe degli idici pari cresce ed ha u ite fiito l metre la sottosuccessioe degli idici dispari decresce ed ha u ite fiito che coicide co l per quato visto sopra. Se a 0 0 > a β, la successioe a sarà decrescete e la successioe a + sarà crescete, e covergerao allo stesso ite. Per calcolare il ite, otiamo che a a 0 + a a 0 ) + a a ) + + a a ) a 0 + h0 a h+ a h ) a 0 + a a 0 ) h0 ) h Per cui a β + ) 3 β ) ) a 3 β oppure α + β α) se α Calcolare massimo e miimo ite di f) arccoscos ) per 0. Soluzioe: quado La fuzioe arccos assume valori i [0, ]; vale 0 quado il suo argometo vale e duque k, ± k per k itero o ullo, e vale quado il suo argometo vale e duque quado k + ), ± k + ) Quidi su ogi itoro di 0 il massimo di f) è e il miimo è 0 e dumque ma 0 f), mi 0 f) 0 8. Sappiamo che se a l e b l allora ache le successioi a + b e a b covergoo e i iti soo rispettivamete l + l e l l ). Possiamo dire che se a + b e a b covergoo allora covergoo ache a e b? E se si sa che a b? 3

4 Soluzioe: Sia a ) e b ) + ; la somma è ideticamete 0 e il prodotto è sempre -, per cui tali iti esistoo metre le successioi a e b o hao ite. Chiamiamo s a + b e p a b ; allora { {a, b } { R : s ± } s s + p 0} p Co la codizioe aggiutiva che a b otteiamo che a s s p, b s + s p dove s p a +b ) a b a b ) 0, per cui se s S e p P, sarà acora S P 0 e a S S P, b S + S P 9. Dire se esiste il ite per + di f) []) [], e i caso cotrario calcolare il massimo e il miimo ite. Si determiio poi due successioi s e t i modo che fs ) mi f), ft ) ma f) + + Soluzioe: La fuzioe assume valori i [0, ); su ogi itervallo [, +) la fuzioe è mootoa crescete, assume il miimo, 0, el primo estremo e tede ad per +. Quidi l estremo superiore su ogi semiretta [a, + ) è e l estremo iferiore, che è ache miimo, è 0, per cui mi + f) 0, ma + f) Nei termii della successioe s la fuzioe assume il valore del miimo ite; per trovare t [, + ) predo t + i modo che [t α ] e ft ) + α ) ) α e per questo è ecessario e sufficiete che sia α >, per esempio α. 0. Data ua successioe reale tale che + 0, dimostrare che + 0. Soluzioe: Applichiamo il teorema di Cesaro ella forma Se + l allora l. separatamete alle successioi e +. L ipotesi dice che + 0 e quidi e deduciamo che 0,

5 . Ordiare i modo crescete rispetto all ordie i segueti ifiiti per + ) Soluzioe: 3,,,, + a k + per ogi α > e per ogi k N; quidi ha ordie iferiore a che ha ordie iferiore a 3 che ha ordie iferiore a. + ) ) perché la base tede a + ed è quidi defiitivamete maggiore di ; quidi gli ifiiti i ordie crescete soo,, 3,,. Ordiare i modo crescete rispetto all ordie i segueti ifiitesimi per 0 + ) log, log, se + ), log cos, / Soluzioe: + ) se ) se per cui se + ) è ifiitesima dello stesso ordie di log cos log cos log + cos ) cos cos e quidi log cos ha come parte pricipale. 0 + log per cui log ha ordie iferiore ad, metre 0 + log 0 + log) 0 + log 0 per cui / log ha ordie superiore a. Cofrotado log co / si ha 0 + log / 0 + / log y 0 + y logy ) y 0 + y logy) 0 e quidi / ha l ordie più basso. Per cofrotare 0 + log co log cos posso cofrotarlo co : log 0 + log 0 e quidi e duque log cos ) ha ordie maggiore. Quidi, i ordie di ifiitesimo crescete, abbiamo /, log, se +, log, log cos 5

6 3. Calcolare il ite Soluzioe: Da per ogi segue che ) + ) + e quidi il ite proposto è +. < + + ) ) + ) < e [ ) + ] [ ) + ] > e e ). Calcolare i segueti iti cos ) se se 3/ log + ) + arctg 3/ + log + e ) + Soluzioe: Per il primo ite: la fuzioe se/) è itata; la parte pricipale di cos è / e il ite è 0. Per il secodo ite: 0 + se 3/ log + ) + arctg 3/ se 3/ + 3/ 3/ arctg 3/ Per il terzo: per il umeratore è itato e il deomiatore tede a + per cui la fuzioe tede a 0. Ivece log + e ) loge ) + loge + )) / e esistoo i iti a + e a ma o quello per. 5. Calcolare il ite ) tg ). Soluzioe: Cambiameto di variabile: t ) tg ) t tg + ) t + t cos t) se t) + t si t) cos t) cos + t) t se t) 6. Calcolare la parte pricipale rispetto a / degli ifiitesimi se cos, logse ) Soluzioe: La parte pricipale di se cos per è k ) α se e solo se k 0 e ) ) se cos se t + k cos t + ) α k t α cos t cos t k t α k t α 6

7 per cui α e k /. La parte pricipale di log se ) per è k ) α se e solo se k 0 e Per α si ha e quidi k. log se ) k log se ) α log cos t) k t α cos t) k t α cos s s 0 k s ) t + k t α log + cos t) )) cos t) cos s s 0 k ) s α cos s s 0 s k k cos t) k t α k 7