Cosa vogliamo imparare?

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2 Cosa vogliamo imparare? risolvere i modo approssimato equazioi del tipo f()=0 che o solo risolubili i maiera esatta ed elemetare tramite formule risolutive. Esempio: log( ) 1= 0

3 Iterpretazioe grafica Come sappiamo, risolvere u equazioe f()=0 equivale a risolvere il sistema y = f ( ) y = 0 e quidi equivale a trovare le itersezioi del grafico di f() co l asse. Queste itersezioi vegoo ache chiamate le RADICI dell equazioe f()=0.

4 Presupposti teorici Diciamo derivata secoda di ua fuzioe f() la derivata della derivata: f ()=(f ()). Se f ()>0 allora la fuzioe volge la cocavità verso l alto, se f ()<0 allora la fuzioe volge la cocavità verso il basso.

5 1 passo: separazioe delle radici Separare le radici Separare le radici sigifica idividuare, per ciascua radice (cioè per ciascua soluzioe) c dell equazioe f()=0, u itervallo [a,b] che la cotega e che o cotega alcu altra radice.

6 Come riuscire a separare le radici?

7 Per via grafica Esempio: log()-1=0. Scrivo questa equazioe ella forma log()=1/ e rappreseto sullo stesso piao cartesiao il grafico di log() ed il grafico di 1/: Vediamo duque graficamete che vi è u uico puto di itersezioe tra le due curve, la cui ascissa c è compresa fra 1 e 2: 1<c<2

8 oppure per via teorica Teorema di esisteza della radice. Se f() è cotiua i [a,b] e se assume valori di sego opposto agli estremi dell itervallo [a,b], allora l equazioe f()=0 ammette almeo ua radice c itera all itervallo [a,b].

9 Primo teorema di uicità della radice Se f() è cotiua i [a,b] e derivabile i (a,b), se f assume valori di sego opposto agli estremi di [a,b] e se f () 0 i (a,b), allora esiste ua UNICA radice dell equazioe f()=0 ell itervallo (a,b).

10 Secodo teorema di uicità della radice Se f() è cotiua i [a,b] e derivabile 2 volte i (a,b), se f() assume valori di sego opposto agli estremi di [a,b] e se f () è sempre positiva o sempre egativa i (a,b) allora l equazioe f()=0 ammette ua e ua sola radice i (a,b).

11 2 passo: approssimare la soluzioe Si tratta di applicare alcui metodi che ci permettao di trovare u valore approssimato di c, dopo aver dimostrato che c è l uica radice dell equazioe f()=0 ell itervallo cosiderato [a,b].

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13 Suppoiamo di avere già separato le radici e di sapere che l equazioe f()=0 ha ua sola soluzioe c ell itervallo (a,b). Costruiamo allora ua successioe a di approssimazioi per difetto ed ua successioe b di approssimazioi per eccesso della soluzioe c, el modo seguete:

14 Poiamo a 0 =a e b 0 =b. Suppoedo di aver determiato i termii -esimi a e b, i termii successivi soo così defiiti: Se f((a +b )/2) ha lo stesso sego di f(a ) poiamo a + b a + 1 =, b + 1 = 2 Se f((a +b )/2) ha lo stesso sego di f(b ) poiamo a + 1 a =, + 1 Se risulta f((a +b )/2) =0, il valore (a +b )/2 è la soluzioe cercata ed il procedimeto termia. b = a + 2 b b

15 Se ivece dopo iterazioi del procedimeto o si verifica quest ultima evetualità, avremo trovato ua successioe di itervalli di idetermiazioe per la soluzioe c: a<c<b a 1 <c<b 1.. a <c<b L ampiezza dell ultimo itervallo è b a b a = 2 Duque a e b soo rispettivamete u approssimazioe per difetto e per eccesso di c, affette da u errore assoluto o superiore a b a 2

16 Esempio Risolvere i maiera approssimata l equazioe e -1=0 co il metodo di bisezioe.

17 Separazioe delle radici Usiamo il metodo grafico. Scriviamo e =1/ e rappresetiamo sullo stesso piao cartesiao il grafico di e ed il grafico di 1/. Esiste ua sola itersezioe tra i 2 grafici e quidi ua sola soluzioe c dell equazioe e -1=0 e tale soluzioe è compresa fra 0 e 1: 0<c<1

18 Metodo di bisezioe Dividiamo a metà l itervallo [0,1] e prediamo i cosiderazioe il puto 0.5 e calcoliamo la f() i =0, =0.5 e =1: f(0)=-1<0, f(0.5) <0, f(1)=e-1>0 Quidi avremo che 0.5<c<1

19 Dividiamo a metà l itervallo [0.5,1] e calcoliamo la f() i =(0.5+1)/2=0.75: f(0.5)<0, f(0.75) >0, f(1)>0 Quidi avremo che 0.5<c<0.75

20 Procededo i questo modo, dopo 14 iterazioi del metodo descritto, si avrà Possiamo perciò assumere il valore 0<c<1 0.5<c<1 0.5<c< <c< <c< come approssimazioe della soluzioe c dell equazioe e -1=0, esatta fio alla terza cifra decimale. L errore assoluto commesso i questa approssimazioe sarà sicuramete iferiore a

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22 y f(b) B(b,f(b)) f() O f(a) a A(a,f(a)) c b

23 Suppoiamo f() cotiua i [a,b], derivabile 2 volte i (a,b), f(a)<0, f(b)>0 e f ()>0 i (a,b). Sappiamo allora, per il secodo teorema di uicità della radice, che la radice c dell equazioe f()=0 è uica. Per determiare u approssimazioe, dopo aver disegato il grafico di f, tracciamo il segmeto di estremi A(a,f(a)) e B(b,f(b)). L ascissa 1 del puto d itersezioe di tale segmeto co l asse può essere cosiderata come ua prima approssimazioe della soluzioe vera c. Facedo i calcoli, troviamo il valore di 1 : b a = a f ( ) 1 f ( b) f ( a) a

24 Possiamo allora applicare uovamete il procedimeto prima descritto all itervallo ( 1,b), per otteere ua secoda approssimazioe 2. Si ricava: e risulta 2 <c<b. Cotiuado i questo modo si costruisce ua successioe ricorsiva così defiita: ) ( ) ( ) ( f f b f b = = = + ) ( ) ( ) ( 1 0 f f b f b a

25 Ovviamete avremo a= 0 < 1 < 2 < 3 < <b Si dimostra che la successioe coverge, quado tede a ifiito, proprio alla soluzioe esatta c che vogliamo approssimare: lim = c

26 Osservazioi La ostra formula è valida ache quado f(a)>0, f(b)<0 e f ()<0 i (a,b). y A f() O a 1 2 c b B

27 Quado ivece abbiamo f(a)<0, f(b)>0 e f ()<0 i (a,b). y f() B O a c 2 1 b A

28 oppure abbiamo f(a)>0, f(b)<0 e f ()>0 i (a,b) y A O a c b f()

29 allora la formula del metodo delle secati diveta 0 = + 1 b = f a ( a) f ( ) f ( )

30 I defiitiva (regola): Il metodo delle secati parte dall estremo i cui la fuzioe ha sego opposto a quello della derivata secoda.

31 Esempio Risolvere i maiera approssimata l equazioe 2-2-log()=0 co il metodo delle secati.

32 Separazioe delle radici Scriviamo l equazioe data come 2-2=log() e rappresetiamo sullo stesso piao cartesiao il grafico di 2-2 ed il grafico di log(). Esistoo 2 puti di itersezioe tra i 2 grafici. A oi iteressa quello compreso fra 2 e 2. Cerchiamo duque u approssimazioe di c, co 2 <c<2.

33 Metodo delle secati Comiciamo a calcolare f( 2), f(2) e f (): f( 2)=( 2) 2-2-log <0 f(2)=4-2-log2 1,30685>0 f ()=2-1/=2- -1 f ()=2+1/ 2 >0 i ( 2,2) Il metodo duque parte da 0 =a= 2.

34 Applichiamo la formula del metodo delle secati 0 = = f ( ) f ( 2 ) f ( ) Otteiamo così: = 2 f ( 2) 2 ( ) f (2) f ( 2) = 1 f ( 1) ( ) f (2) f ( ) ( ) 1

35 Proseguedo i questo modo si ha Come si vede, le prime 4 cifre decimali si soo stabilizzate. E perciò ragioevole assumere il valore Come approssimazioe, esatta fio alla quarta cifra decimale, della soluzioe c dell equazioe 2-2-log()=0 ell itervallo ( 2,2).

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37 y f(b) B(b,f(b)) a O c b f()

38 Suppoiamo f() cotiua i [a,b], derivabile 2 volte i (a,b), f(a)<0, f(b)>0 e f ()>0 i (a,b). Sappiamo allora, per il secodo teorema di uicità della radice, che la radice c dell equazioe f()=0 è uica. Ua prima approssimazioe di c, dopo aver disegato il grafico di f, sarà data dall itersezioe 1 della retta tagete alla curva el suo puto B(b,f(b)) co l asse. L equazioe della tagete suddetta è y-y B =m(- B ) y-f(b)=f (b)(-b) Poedo y=0 ell ultima equazioe scritta, si ottiee 1 : 1 = b f ( b) f '( b)

39 Possiamo applicare uovamete il procedimeto prima descritto al puto B 1 ( 1,f( 1 )), per otteere ua secoda approssimazioe 2. Si ricava: e risulta a<c< 2 < 1 <b. Cotiuado i questo modo si costruisce ua successioe ricorsiva così defiita: ) '( ) ( f f = = = + ) '( ) ( 1 0 f f b

40 Ovviamete avremo a< < 3 < 2 < 1 < <b= 0 Si dimostra che la successioe coverge, quado tede a ifiito, proprio alla soluzioe esatta c che vogliamo approssimare: lim = c

41 Osservazioi La ostra formula è valida ache quado f(a)>0, f(b)<0 e f ()<0 i (a,b). y O A a f() c 2 1 b B

42 Quado ivece abbiamo f(a)<0, f(b)>0 e f ()<0 i (a,b). y f() O a 1 2 c b A

43 oppure abbiamo f(a)>0, f(b)<0 e f ()>0 i (a,b) y B O a c 2 1 b f()

44 allora la formula del metodo delle tageti diveta 0 = + 1 a = f f ( '( ) )

45 I defiitiva (regola): Il metodo delle tageti parte dall estremo i cui la fuzioe ha lo stesso sego della derivata secoda.

46 Esempio Risolvere i maiera approssimata l equazioe 2-2-log()=0 co il metodo delle tageti.

47 Separazioe delle radici Scriviamo l equazioe data come 2-2=log() e rappresetiamo sullo stesso piao cartesiao il grafico di 2-2 ed il grafico di log(). Esistoo 2 puti di itersezioe tra i 2 grafici. A oi iteressa quello compreso fra 2 e 2. Cerchiamo duque u approssimazioe di c, co 2 <c<2.

48 Metodo delle tageti Comiciamo a calcolare f( 2), f(2) e f (): f( 2)=( 2) 2-2-log <0 f(2)=4-2-log2 1,30685>0 f ()=2-1/=2- -1 f ()=2+1/ 2 >0 i ( 2,2) Il metodo duque parte da 0 =b=2.

49 Applichiamo la formula del metodo delle tageti Otteiamo così: 0 = = f ( f '( f ( 0) f (2) = 0 = f '( ) f '(2) ) ) f ( 1 ) f ( ) = f '( ) f '( )

50 Proseguedo i questo modo si ha Come si vede, le prime 4 cifre decimali si soo stabilizzate dopo solo 4 iterazioi. E perciò ragioevole assumere il valore come approssimazioe, esatta fio alla quarta cifra decimale, della soluzioe c dell equazioe 2-2-log()=0 ell itervallo ( 2,2).

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52 Il metodo delle secati forisce sempre u approssimazioe per difetto della soluzioe cercata, metre il metodo delle tageti forisce sempre u approssimazioe per eccesso. Questa osservazioe ci suggerisce la possibilità di usare cotemporaeamete i 2 metodi.

53 Esempio Determiare la soluzioe dell equazioe =0 coteuta ell itervallo (-1,0), co u errore iferiore a 10-4.

54 Separazioe delle radici Scriviamo l equazioe ella forma 1-= 10 e rappresetiamo sullo stesso piao cartesiao i grafici di 1- e di 10 : Come si può vedere, vi soo 2 radici: ua compresa fra -1 e 0 (quella cui siamo iteressati) e ua compresa fra 0 e 1.

55 Metodo cogiuto secati-tageti Cosideriamo la fuzioe f()= Calcoliamo f ()=1-10 9, f ()=-90 8 <0, f(-1)=-1<0, f(0)=1>0. Chiamiamo t e s le successioi di approssimazioi della radice c compresa fra -1 e 0, otteute rispettivamete co il metodo delle tageti e co il metodo delle secati. Essedo f ()<0, il metodo delle tageti parte da t 0 =-1 e il metodo delle secati parte da s 0 =0.

56 Eseguiamo il primo passo co il metodo delle secati: 1 s s1 = s0 f ( s0) = 0 1= 0.5 f ( 1) f ( s ) 1 1 Eseguiamo il primo passo co il metodo delle tageti: Abbiamo così otteuto u uovo itervallo di idetermiazioe per la soluzioe c: <c<-0.5 L errore assoluto da cui soo affette tali approssimazioi o è superiore a (-0.5) = f ( t0) 1 t1 = t0 = f '( t ) 11 0

57 Applichiamo uovamete il metodo delle secati e delle tageti a tale itervallo: s t 2 2 = = t s ( 0.5) f ( ) f ( 0.5) f ( t f '( t 1 ) ) 1 = f ( 0.5) f ( ) f '( ) Abbiamo quidi u approssimazioe per difetto e per eccesso di c: <c< Tali approssimazioi soo affette da u errore o superiore a ( ) =

58 Cotiuado el modo descritto si hao i risultati riassuti i questa tabella: t s ε= t -s Le approssimazioi otteute al 4 passo soo affette duque da u errore assoluto iferiore a 10-4 Duque possiamo affermare che il valore approssimato della soluzioe c, co 4 cifre decimali esatte, è

59 Valutazioe dell errore Ua volta determiata ua soluzioe approssimata dell equazioe da risolvere è importate valutare il grado di precisioe. Co il metodo di bisezioe o co l uso cogiuto di secati-tageti tale problema è già risolto perché i etrambi i casi si determia u approssimazioe per eccesso e per difetto della soluzioe. Se ivece o si applica uo di questi metodi, si costruisce, co i metodi studiati, ua successioe di approssimazioi, fio a determiare 2 cosecutive che coicidoo per il umero di cifre decimali che ci iteressa. Tale metodo è empirico: l esattezza delle cifre decimali così determiate è altamete probabile, ma o matematicamete certa.

60 Velocità di covergeza Segaliamo che il metodo delle tageti è quello che garatisce la covergeza più rapida, cioè è quello co il quale si ottiee ua buoa approssimazioe della soluzioe cercata i u umero relativamete basso di iterazioi. Il metodo di approssimazioe più leto è ivece rappresetato da quello di bisezioe. Tali differeze però divetao irrilevati quado i metodi studiati vegoo applicati co l uso di u computer o di ua calcolatrice programmabile.