Esercitazione 2 Soluzione di equazioni non lineari

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1 Esercitazioe 2 Soluzioe di equazioi o lieari Scopo di questa serie di esercizi è quella di trovare ove possibile gli zeri di fuzioe di equazioi o lieari utilizzado i vari metodi spiegati a lezioe. I metodi utilizzati soo tre: Dicotomico, Newto-Raphso e Secate Variabile. Es. Trovare u approssimazioe dell evetuale soluzioe reale delle segueti equazioi scegliedo u puto iiziale opportuo. e x x 2 = 0 Prima di tutto occorre disegare il grafico per trovare l itervallo el quale si trova la radice: La figura è iutilmete grade. Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe Restrigedo l itervallo del grafico è possibile avere ua visioe migliore di dove si trova la radice Cioè?

2 Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe Metodo dicotomico Sia fx ua fuzioe cotiua ell itervallo [a,b] che assume valori di sego opposto agli estremi; allora esiste almeo u puto α itero all itervallo i cui vale fα=0. Suppoedo che queste ipotesi siao verificate e che quidi si abbia fa*fb<0 la fuzioe si aulla i almeo u puto itero all itervallo. Si può costruire ua successioe di umeri reali che coverga ad α i questo modo: a + b k 0 x k = 2 Se fx k =0 allora α = x k SUPERFLUO Se fa*fx k <0 allora α [a, x k ], b= x k Se fa*fx k >0 allora α [x k, b], a= x k L errore che si commette al passo k=0 co α=x o è al più uguale a metà ampiezza dell itervallo e b a b a vale 0 = α x0, al passo -esimo Per otteere ua stima approssimata della radice si fermerà l algoritmo al passo k se l errore k è iferiore ad ua tolleraza prefissata.

3 Per quato riguarda la fuzioe e x x 2 = 0 si può scegliere l itervallo pari a [-0.9,-0.5] i cui risulta f-0.9*f-0.5<0 e procedere co le iterazioi del metodo stimado l errore co la formula b a 2 X + 0?= 2 Si può provare prima co ua tolleraza di 0.5e-5 otteedo come zero di fuzioe la radice Rad x = e-00 e fx= e-006; il tutto calcolato co 9 iterazioi. Poi vedere cosa succede Dimiuedo la tolleraza e portadola a 0.5e-7 otteedo ottego : rad= e-00 e frad= e-00 co 25 iterazioi. Quidi. Metodo di Newto Raphso Sia fx ua fuzioe cotiua e derivabile co derivata cotiua ell itervallo [a,b], x u approssimazioe della radice α ed h ua correzioe per la quale si abbia fx +h=0 per lo meo el seso dello sviluppo di Taylor arrestato al primo ordie. Il valore di h si può ricavare dalla: f x + h f x + hf x suppoedo α radice semplice ed h piccolo, da f α 0 segue f x 0 e vale h successioe: f x =. A partire da ua stima iiziale del puto x o si costruisce la f x f x x+ = x CALCOLARE L algoritmo co la TUA fuzioe f x L errore può essere calcolato NO, STIMATO come la differeza tra x + e x. Per risolvere l esercizio occorre scegliere u puto iiziale vicio alla radice, prediamo ad esempio il puto iiziale x o =2 Perché? Se sai che la radice sta ell itervallo [-0.9,-0.5] proviamo ad utilizzare ua tolleraza di 0.5e-5. Si ottiee rad= e-00 e frad=0? di macchia co 8 iterazioi, co la tolleraza a 0.5e- 7 si hao esattamete gli stessi valori. COSA VUOL DIRE???? Metodo della Secate Variabile Questo metodo è stato otteuto da quello di Newto Raphso approssimado il valore della derivata f x co il rapporto icremetale. A partire da due valori x o e x per i quali risulti fx o *fx <0 si costruisce ricorsivamete la successioe: COME STIMI L ERRORE?

4 x x x + = x f x. SCRIVERE L ALGORITMO f x f x Occorre ora predere u itervallo per cui sia soddisfatta l ipotesi del problema, quidi posso utilizzare lo stesso usato per il metodo dicotomico [-0.9,-0.5]. Co la solita tolleraza 0.5e-5 si ha rad= e frad= e-00 i 6 iterazioi e co tolleraza 0.5e-7 rad= e-00 co frad=0 e 7 iterazioi. 2 x 2 + CI VUOLE IL GRAFICO PER VEDERE CHE NOPN CI SONO RADICI REALI???? Come si può vedere sia graficamete che algebricamete l equazioe o ha soluzioe el campo dei reali e per questo o è possibile applicare i metodi di risoluzioe. Il risultato el campo dei umeri complessi vale ± i x 3 2 log2x + e =0 Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe

5 Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe Ora scegliamo prima l itervallo da usare per il metodo di bisezioe e per il metodo della secate variabile stado sempre atteti che siao soddisfatte le ipotesi dei teoremi cioè. U buo itervallo può essere [0.,] VERFICARE fafb<0 e come al solito facciamo variare la tolleraza da 0.5e-5 a 0.5e-7. toll 0.5e-5 Dicotomico Newto Secate Itervallo [0.,] 0.4 [0.,] Radice e e e-00 Frad e e-00 Iterazioi SCRIVERE L ERRORE EFFETTIVAMENTE STIMATO toll 0.5e-7 Dicotomico Newto Secate Itervallo [0.,] 0.4 bruttio [0.,] Radice e e e-00 Frad e e-06 Iterazioi x 0 * e 4 = 0 0

6 Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe E possibile scegliere come itervallo [0.,0.5] essedo sicuri che fa*fb<0 e costruire ua tabella come la precedete toll 0.5e-5 Dicotomico Newto Secate Itervallo [0.,0.5] grade! 0.3 [0.,0.5] Radice e e e-00 Frad e e-0 Iterazioi SCRIVERE L ERRORE EFFETTIVAMENTE STIMATO toll 0.5e-7 Dicotomico Newto Secate Itervallo [0.,0.5] 0.3 [0.,0.5] Radice e e e-00 Frad e Iterazioi

7 2 5 log + x = 0 x + FIGURA INUTILMENTE GRANDE Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe Scegliedo come itervallo [0.5,] si ottegoo i segueti risultati: toll 0.5e-5 Dicotomico Newto Secate Itervallo [0.5,] 0.25 brutto!!! [0.5,] Radice e e e-00 Frad e Iterazioi SCRIVERE L ERRORE EFFETTIVAMENTE STIMATO toll 0.5e-7 Dicotomico Newto Secate Itervallo [0.5,] 0.25 [0.5,] Radice e e e-00 Frad e Iterazioi

8 6 si x x = 0 5 Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe Come si può vedere dal grafico la fuzioe preseta tre radici reali, per quato riguarda x=0 o c è bisogo di aggiugere molto ifatti è possibile trovare questa radice i modo algebrico molto semplicemete. Per la radice più a siistra el grafico si può scegliere u itervallo pari a [-4,-2] otteedo: toll 0.5e-5 Dicotomico Newto Secate Itervallo [-4,-2] -3 [-4,-2] Radice Frad e e-00 Iterazioi SCRIVERE L ERRORE EFFETTIVAMENTE STIMATO toll 0.5e-7 Dicotomico Newto Secate Itervallo [-4,-2] -3 [-4,-2] Radice

9 Frad e Iterazioi Per l altra ivece si può scegliere u itervallo [2,4]: toll 0.5e-5 Dicotomico Newto Secate Itervallo [2,4] 3 [2,4] Radice Frad.7092e e-00 Iterazioi SCRIVERE L ERRORE EFFETTIVAMENTE STIMATO toll 0.5e-7 Dicotomico Newto Secate Itervallo [2,4] 3 [2,4] Radice Frad e Iterazioi log 4x tg x = 0

10 Il logaritmo NON E DEFINIOTO per X<=!!!!!!! Come si può vedere l equazioe ha più radici, restrigiamo il grafico prededo u itervallo più piccolo ed adado a valutare ua sola radice. E megli far vedere i Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe GRAFICO INUTILMENTE GRANDE

11 Scegliedo u itervallo [0.2,0.4]: toll 0.5e-5 Dicotomico Newto Secate Itervallo [0.2,0.4] 0.3 [0.2,0.4] Radice e e e-00 Frad e e-0 Iterazioi toll 0.5e-7 Dicotomico Newto Secate Itervallo [0.2,0.4] 0.3 [0.2,0.4] Radice e e e-00 Frad -.706e Iterazioi Cosiderazioi fiali Il vero fie di questi esercizi era di valutare l efficieza dei tre tipi di algoritmi: Bisezioe, Newto Raphso e Secate Variabile. Per valutare questo aspetto è utile spiegare il cocetto di ordie di covergeza e quello di efficieza computazioale. PERCHE??? Si dice che la successioe x coverge ad α co ordie p e costate asitotica dell errore C se lim + = C p. Oltre questo si può vedere co quate iterazioi il metodo arriva alla soluzioe fissata ua certa tolleraza e ache la sua efficieza computazioale cosiderado il umero di volte i cui viee calcolata la fuzioe o la sua derivata. Il metodo dicotomico è sicuramete il più leto per calcolare lo zero di fuzioe, questo b a dovuto al fatto che ad ogi passo l ampiezza dell itervallo si dimezza, e l ordie di covergeza p= è lieare. I ogi esercizio riesce ad arrivare alla soluzioe co u

12 elevato umero di iterazioi ed è quidi sempre meo efficiete di Newto Raphso e della secate variabile. Netwo Raphso, uito al metodo della bisezioe per la ricerca di u buo puto iiziale, è risultato sicuramete l algoritmo più efficiete co il mior umero di iterazioi utilizzate. Se α è radice semplice e quidi f α 0 si ha f α 2 f α e 2 + f α lim = quidi p=2, il 2 2 f α metodo ha covergeza quadratica. Per quato riguarda la secate variabile ha ua covergeza di tipo superlieare co p.68 ed ottiee quidi delle prestazioi che si avviciao a quelle di Newto Raphso o riuscedo comuque mai a superarlo. U criterio che potrebbe portare a preferirlo rispetto al metodo di Newto è il fatto che per calcolare l algoritmo o si deve calcolare la derivata, computazioalmete più oerosa, ma si usa ua approssimazioe col rapporto icremetale. PER VALUTARE L EFFICIENZA AVRESTI DOVUTO CONFRONTARE IL TEMPO IMPIEGATO Es Dato il seguete poliomio p x = x x + 39x 45 utilizzare il metodo di Newto Raphso co parametro di molteplicità r=, r=2 e r=3 e puto iziale x o =3.5. Utilizzado la fuzioe di matlab solve x 3 x x 45 =0 si trovao tre radici di cui ua x =5 ed u'altra doppia x 2 =3. SOLVE E UNA PROCEDURA SIMBOLICA E ache possibile vedere u grafico della fuzioe

13 Iserire l asse x per vedere dov è l itersezioe GRAFICO INUTILMENTE GRANDE Adiamo ad utilizzare il metodo di Newto co le diverse molteplicità e co ua tolleraza di 0.5e-5 e 0.5e-7: toll 0.5e-5 r= r=2 r=3 Radice Frad e e-02 Iterazioi SCRIVERE L ERRORE EFFETTIVAMENTE STIMATO toll 0.5e-7 r= r=2 r=3 Radice Frad Iterazioi Come si può vedere scegliedo come molteplicità della radice r=2 si arriva alla soluzioe co 5-6 iterazioi metre utilizzado le molteplicità r= ed r=3 si arriva ad ua soluzioe molto letamete.

14 Questo può essere spiegato attraverso lo schema di Newto Raphso modificato ifatti se si utilizza il metodo ormale co ua radice di molteplicità r>, 0... = = = α α r f f e 0 α r f ha covergeza lieare, r r + e r r lim = +. Questo tipo di covergeza è troppo leta ed ifatti si avvicia al metodo di Bisezioe; utilizzado lo schema di Newto modificato i questo modo x f x f r x x = + si tora ad ua covergeza quadratica ed il metodo arriva alla soluzioe i pochi passi.