Serie numeriche. Esercizi

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1 Serie umeriche. Esercizi Mauro Saita, aprile 204. Idice Serie umeriche.. Serie a termii defiitivamete positivi Serie a termii di sego altero Serie a termii di sego variabile Soluzioi. 6 Serie umeriche.. Serie a termii defiitivamete positivi Esercizio.. Usado la defiizioe di somma di ua serie, stabilire se le segueti serie umeriche covergoo e, i caso affremativo, determiare la loro somma. = ( + ) b) = 2 (2 )(2 + ) Esercizio.2. Trovare la somma delle segueti serie geometriche: ( 2 3 ) b) = ( 3) Esercizio.3. Stabilire se le serie segueti covergoo e, i caso affermativo, determiare la somma b) c) d) log e) = Per segalazioi di refusi o errori scrivete per favore a: maurosaita@tiscaliet.it Nome del file.tex: Esercizi-serieumeriche-204.tex

2 Esercizio.4. Usado opportue serie geometriche, scrivere sotto forma di frazioe i segueti umeri decimali periodici: 0, 24 b) 2, 3 c), 8 d) 2, 4 Esercizio.5. A cosa è uguale il umero 0, (periodo 9)? Spiegare perché questo esempio mostra che è possibile (e opportuo) evitare il periodo 9. Esercizio.6 (Criterio del cofroto). Siao a e b due serie a termii positivi, per le quali si ha a b, per ogi N. Dimostrare che: o, i modo equivalete se b coverge allora a coverge se a diverge allora b diverge Esercizio.7 (Criterio del cofroto asitotico.). Siao a e b due serie a termii positivi. Dimostrare che: se a b allora le due serie hao lo stesso carattere. Esercizio.8. Dire se le segueti serie umeriche covergoo, divergoo o soo irregolari = 4 b) + c) 3 d) = e 4 e) = log f) = si 2 Esercizio.9 (Criterio del rapporto). Dimostrare la seguete proprietà. Se a + a è ua serie a termii positivi e lim = L + allora si ha: + a - se 0 L <, la serie a coverge; - se L >, la serie a diverge a +. 2

3 Esercizio.0. Dimostrare che la serie 0! è covergete. Esercizio.. Dimostrare che la serie 0! è covergete. Esercizio.2. Determiare il carattere delle segueti serie umeriche = log 3 b) 3 c) = 3! Esercizio.3 (Criterio della radice.). Dimostrare la seguete proprietà. Se a è ua serie a termii positivi e a = L + allora si ha: - se 0 L <, la serie a coverge; - se L >, la serie a diverge a +. lim + Esercizio.4. Utilizzado il criterio della radice stabilire il carattere della seguete serie = ( ) 2 + b) = ( ) Esercizio.5. Dire se le segueti serie soo covergeti, divergeti, idetermiate. = ( ) + [ si = ( )] e / Esercizio.6. Si determii, al variare di x, x > 0, il carattere della serie = ( x 2 2 x + ) 3

4 .2 Serie a termii di sego altero Si ricordi il seguete criterio (sufficiete) per la covergeza di serie a termii di sego altero Criterio di Leibiz Sia ( ) a, (i) a + a per =, 2, 3,... (ii) allora lim a = 0 + (a > 0) ua serie a termii di sego altero. Se ( ) a coverge. Esercizio.7. Stabilire il carattere della segueti serie a termii di sego alterato = ( ) b) cos(π) l c) = ( ) 4 Esercizio.8. Al variare del parametro x si determii il carattere della serie = ( + 3x).3 Serie a termii di sego variabile Si ricordi il seguete Teorema.9. Sia a ua serie a termii di sego qualsiasi. a coverge a coverge cioè se ua serie coverge assolutamete allora coverge semplicemete. Esempio. La serie = si 2 è covergete, ifatti a = si 2 2 Pertato, per il criterio del cofroto, la serie a dei valori assoluti è covergete. Per il teorema (.9) segue che la serie a è covergete. 4

5 Esercizio.20. Per quali valori del parametro x la serie = (x 5) coverge assolutamete? Per quali x coverge semplicemete? Per quali x diverge? 2 5

6 2 Soluzioi. Esercizio. Suggerimeto: ( + ) = +. Esercizio.2 Esercizio.3 allora lim a = 0. d) + ( 2 = 3. b) 3) + ( ) = /2. 3 = = , b) = + 4, c) Suggerimeto: se ua serie a coverge, = Esercizio b) 99. c) d) 90. log = +. e) Notare che = 5 + 3( 3 5 ). Esercizio.5 0, (9) = 0, =. Se si evita il periodo 9 c e corrispodeza biuivoca tra i umeri reali e gli allieameti decimali. Esercizio.6 Siao {s } e {S } le successioi delle somme parziali rispettivamete delle serie a e b. Se si idica co S la somma di b, da s S si ricava s S. Quidi la successioe delle somme parziali s è mootoa crescete e superiormete limitata. Pertato s (e a ) coverge. Esercizio.8 d) = = e 4 coverge; e) coverge; b) = + + = + ; c) log + = + f) si 2 coverge. = 3 = + Esercizio.9 Si ha la seguete catea di disuguagliaze a La L 2 a 2 L a 0. Poichè la serie L a 0 coverge, per il criterio del cofroto coverge ache la serie a. Esercizio.0 Esercizio. Usare il criterio del rapporto. Utilizzado il criterio del rapporto si ottiee: La serie coverge. Esercizio.2 a + a = ( + )! ( + ) +! = ( + )! ( + ) ( + )! = ( + ) e < a = log 3 3 = + 2. Quidi, per il criterio del cofroto, la serie a coverge. = 6

7 a + b) Si ha: lim = lim + a + ( + ) = lim + La serie coverge per il criterio del rapporto. + 3 = 3. c) Co il criterio del rapporto: a ( + )! ( ) ( lim = lim + a + ( + ) + 3! = lim 3 = lim ) = 3e + La serie diverge. Esercizio.4 a = ( + ) ( + ) ( = = + ) <. La serie coverge per il criterio della radice. e b) Utilizzado il criterio della radice si ottiee: lim + ( ifatti lim = lim e log + + a = = ). Quidi la serie coverge. ( ) lim = 0 + Esercizio.5. Si oti che la serie è a termii positivi. Utilizzado il criterio asitotico si ha, per : a Quidi la serie coverge La serie è a termii positivi. Utilizzado il criterio della radice si ha: per tede a +. Quidi la serie coverge. Esercizio.6 a = 3 (e ) 3 ( + ) 3 La serie è a termii positivi. Per ogi fissato x > 0 e per +, si ha: ( ) a + ( + )2 x = a 2 2(x + ) ( ) Dall ipotesi x > 0 segue che il limite x 2(x+) coverge. Esercizio.7 ( x 2(x + ) ) miore di. Quidi, per il criterio del rapporto, la serie Utilizzado il criterio di Leibiz è immediato verificare che tutte e tre le serie covergoo. Per quato cos(π) riguarda la serie b) si osservi che = ( ) l l. Esercizio.8 Sia a = = ( + 3x) Se x > 0 la serie è a termii positivi e il termie geerale a diverge a +. Quidi a = + ; ( se x = 0 la serie data è la serie armoica a = = 7 ). Quidi a = + ;

8 se 3 < x < 0, la serie è a termii positivi e a < ( + 3x), dove 0 < ( + 3x) <. Allora ( + 3x) è ua serie geometrica covergete; per il criterio del cofroto ache la serie a coverge; se x = 3 i termii della serie soo tutti ulli, quidi a coverge; se 2 3 x < 3 la serie è a termii alterati. Utilizzado il criterio di Leibiz si verifica che a coverge; se x < 2 3 il termie geerale a della serie o tede a zero e quidi a o coverge. Esercizio.20 La serie dei valori assoluti è a = ( ) x 5. Utilizzado il criterio del rapporto (o equivaletemete quello della radice) si ricava: se 3 < x < 7 se x < 3 x > 7 se x = 3 x = 7 = la serie a coverge. la serie a diverge. a =, la serie diverge. Per quato riguarda la serie a si ha: se 3 < x < 7 se x < 3 x > 7 se x = 3 se x = 7 2 la serie a coverge (perchè coverge assolutamete). il termie geerale a della serie o tede a zero, quidi a o coverge. a = ( ), la serie coverge. a =, la serie diverge. 8