SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

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1 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE LORENZO BRASCO Idice. Criteri di covergeza per successioi 2. Teoremi di Cesàro per successioi 4 3. Serie umeriche 9 4. Criteri di covergeza per serie umeriche a termii positivi Criterio del cofroto Criterio del cofroto asitotico 4.3. Criterio della radice esima Criterio del rapporto Criterio di codesazioe di Cauchy 3 5. Criteri di covergeza per serie a termii di sego variabile Criterio dell assoluta covergeza Criterio di Leibiz 4 6. La costate di Nepero e 6 7. Esercizi Successioi Serie 29 Appedice A. Classificazioe di ifiiti 34 Appedice B. Successioi defiite per iduzioe 35. Criteri di covergeza per successioi Teorema. Successioi mootoe). Sia {a } R ua successioe mootoa. Allora essa ammette ite, dato da sup a, se a è crescete, a = if a, se a è decrescete. Dimostrazioe. Facciamo la dimostrazioe el caso i cui a sia crescete lo studete faccia per esercizio il caso i cui a sia decrescete). Suppoiamo per semplicità che {a } sia itata superiormete, quidi l = sup a < +. Dalla defiizioe di estremo superiore, per ogi ε > 0 esiste u elemeto della successioe, chiamiamolo a ε, tale che l ε < a ε.

2 2 LORENZO BRASCO D altrode a è crescete, quidi a a ε per ogi ε. Abbiamo quidi l ε < a, per ogi ε. Sempre dalla defiizioe di estremo superiore, sappiamo che l è u maggiorate di {a }, quidi a l, per ogi N. Osservado che si ha baalmete l < l + ε, abbiamo quidi dimostrato che ε > 0, ε N tale che l ε < a < l + ε, per ogi ε, ovvero che a = l. Teorema.2 Criterio del cofroto). Siao {a }, {b }, {c } R tre successioi, tali che a b c, per ogi N e.) a = c = l. Allora si ha ache b = l. Dimostrazioe. Sia ε > 0, allora per l ipotesi.) esistoo 0, N tali che e l ε < a < l + ε, per ogi 0, l ε < c < l + ε, per ogi. Se defiiamo 2 = max{ 0, }, allora abbiamo che le due codizioi precedeti valgoo cotemporaeamete per ogi 2. Avremo duque che implica i particolare Questo dimostra la tesi. l ε < a b c < l + ε, per ogi 2, l ε < b < l + ε, per ogi 2 Il seguete risultato è talvolta utile per dimostrare che ua successioe è ifiitesima. Teorema.3 Criterio della radice esima). Sia {a } N R ua successioe di umeri reali, tali che: i) a 0, per ogi N; ii) Allora a <. a = 0.

3 Dimostrazioe. Sia l = SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 3 a, poichè per ipotesi l <, si avrà che 0 < l 2. Dalla defiizioe di ite, prededo ε = l 2, sappiamo che esiste 0 N tale che per ogi 0, risulta a l < ε, e quidi, i particolare, per ogi 0 si ha a < l + ε = l + l 2 = l + 2. Abbiamo quidi provato che esiste 0 N tale che per ogi 0 ) l + 0 a <, 2 e quidi la tesi segue dal Teorema.2 Criterio del cofroto), osservado che il termie a destra, ella precedete disuguagliaza, tede a 0, per che tede a. Osservazioe.4. Nel caso i cui la successioe soddisfi ivece a >, se e può cocludere che deve aversi a = +. È ifatti sufficiete cosiderare la successioe defiita da b = a, la quale verifica le ipotesi del Teorema precedete, per cui = a b = 0, ovvero {a } N deve tedere a +. Niete si può ivece cocludere sulla successioe, el caso i cui a =. Teorema.5 Criterio del rapporto). Sia {a } N R ua successioe di umeri reali, tali che: Allora i) a > 0, per ogi N; ii) vale a + <. a a = 0. Dimostrazioe. Poiamo l = a + /a. Come per il criterio della radice esima, usiamo la defiizioe di ite co ε = l 2,

4 4 LORENZO BRASCO che è positivo,visto che per ipotesi l <. Abbiamo quidi che esiste 0 N tale che l l 2 I particolare, abbiamo < a + a < l + l 2, per ogi 0. a + < l + a, per ogi 0. 2 Possiamo iterare questa stima partedo da = 0 ed otteere che ) l + m 0.2) a m < a 0 2, per ogi m 0. Si osservi adesso che per costruzioe l + ) < ed è ua quatità positiva, quidi ) l + m 0 = 0. m 2 Usado questo i.2) e ricordado che a > 0, si ottiee il risultato dal Criterio del cofroto ovvero dal Teorema.2). Osservazioe.6. Valgoo le stesse osservazioi fatte per il criterio della radice esima. Se la successioe è tale che a + >, a allora deve aversi a = +. Di uovo, o si può dire iete se a + =. a Esempio.7 Espoeziali VS. poteze). Sia b > ua base e α > 0 u espoete positivo. Usado il Teorema.5, si vede facilmete che α = ob α ) ovvero che b = 0. Ifatti, se chiamiamo a = α /b si ha a + a + ) α = α b b + = b + 2. Teoremi di Cesàro per successioi ) α = b <. Teorema di Stolz-Cesàro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste il ite a + a, b + b allora esiste ache il ite e i valori dei due iti coicidoo. a, b

5 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 5 Dimostrazioe. Se idichiamo co l il valore del ite di a + a )/b + b ), dalla defiizioe di ite otteiamo che per ogi ε > 0, esiste u idice ε tale che per ogi ε risulti l ε < a + a b + b < l + ε. Sfruttado il fatto che b + > b, possiamo moltiplicare la disuguagliaza precedete per il fattore b + b ), otteedo quidi l ε)b + b ) < a + a < l + ε)b + b ), per ogi ε. Se adesso sommiamo questi termii, per che va da ε ad u certo idice k > ε, otteiamo k k k l ε) b + b ) < a + a ) < l + ε) b + b ), = ε = ε = ε ovvero, osservado che le somme che abbiamo fatto comparire soo telescopiche, questa può essere riscritta ache come 2.) l ε)b k b ε ) < a k a ε < l + ε)b k b ε ), che è valida per ogi k > ε. A questo puto dividiamo la 2.) per b k, otteedo quidi l ε) b ) ε < a k a ε < l + ε) b ) ε, b k b k b k b k ovvero acora 2.2) l ε) b ) ε + a ε < a k < l + ε) b ) ε + a ε, per ogi k > ε. b k b k b k b k b k Osserviamo che a questo puto siamo molto vicii alla coclusioe della dimostrazioe, dal mometo che siamo riusciti a stimare il termie geerico della successioe che ci iteressa, ovvero a /b, sia dal basso che dall alto, co qualcosa che è molto vicio al valore ite l. Ifatti, osserviamo che i termii b ε b k e che compaioo i 2.2) divetao sempre più piccoli, al crescere dell idice k, dal mometo che soo dei rapporti tra ua quatità fissa i umeri b ε e a ε, rispettivamete) e ua successioe di umeri ilitata qui gioca u ruolo fodametale l ipotesi di o itatezza su {b } N ). Detto rigorosamete, abbiamo che esiste u idice k ε > ε tale che per ogi k k ε si abbia b ε b k < ε e a ε b k < ε, ovvero sfruttado questa iformazioe i 2.2), otteiamo che per ogi k k ε, si ha a ε b k, l ε) ε) < a k b k < l + ε) + ε),

6 6 LORENZO BRASCO e dal mometo che possiamo supporre che sia ε <, la precedete implica che l ε2 + l) < a k < l + ε2 + l), per ogi k k ε, b k ovvero a k l b k < ε2 + l), per ogi k k ε, che coclude quidi la dimostrazioe. Osservazioe 2.. È facile vedere che la dimostrazioe precedete si adatta ache al caso i cui si abbia a + a a + a = + oppure =. b + b b + b Lo studete provi a scrivere tale dimostrazioe come esercizio. Euciamo quidi i cosidetti Teoremi di Cesàro, che come vedremo o soo altro che semplici cosegueze del Teorema di Stolz-Cesàro. I Teorema di Cesàro. Suppoiamo che la successioe {a } N sia tale che a + a ) = l. Allora vale ache a = l. Dimostrazioe. Ache questa è ua facile cosegueza del Teorema di Stolz-Cesàro, ifatti se come {b } N cosideriamo uovamete la successioe b =, per ogi N, osservado che b + b =, abbiamo che l ipotesi implica a + a = b + b a + a = l, e quidi a di uovo grazie al Teorema di Stolz-Cesàro. = a b = l. Esempio 2.2 Logaritmi VS. poteze). Sia b > ua base, allora usado il II Teorema di Cesàro si vede facilmete che log log b = o) ovvero che b = 0. Basta svolgere u po di coti: dove abbiamo usato ε 2 < ε, dal mometo che ε <. l ε) ε) = l ε εl + ε 2 > l 2ε εl, l + ε) + ε) = l + εl + ε + ε 2 < l + lε + 2ε,

7 Si chiami a = log b, allora a + a ) = quidi per il II Teorema di Cesàro SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 7 log b + log b a = = a + a ) = 0. I realtà, si può dimostrare la stima asitotica più forte log b = o α log ) ovvero b α = 0, valida per ogi α > 0. Il caso i cui α > è ua baale cosegueza del caso α =, visto che = o α ). Il caso 0 < α < ecessita ivece di strumeti u po più sofisticati che o tratteremo qui il lettore iteressato può comuque trovare ua dimostrazioe elemetare elle prossime pagie, si vedao l Esercizio 7.4 e l Osservazioe 7.5). II Teorema di Cesàro. Data ua successioe {a } N, cosideriamo la successioe {α } N delle sue medie, ovvero la successioe defiita da α = a k, N. Se {a } N coverge al valore l, allora ache {α } N coverge allo stesso ite, ovvero 2.3) a = l = α = l. Dimostrazioe. Sfruttiamo il Teorema di Stolz-Cesàro, el modo seguete: cosideriamo le successioi {c } N e {b } N defiite tramite = 0, c = a k, e b =, per ogi N, allora possiamo ache riscrivere α c =. b D altrode le due successioi {c } N e {b } N soddisfao le ipotesi del Teorema di Stolz- Cesàro, dal mometo che b è strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata ed esiste il ite a k c + c = b + b e quidi i coclusioe si ottiee a k + α c = = l. b = a = l,

8 8 LORENZO BRASCO Osservazioe 2.3. Ovviamete o vale il viceversa di 2.3). Ad esempio, prededo la successioe {a } N defiita da a = ), N, si vede facilmete che la successioe delle medie coverge a 0, metre {a } N o ammette ite. III Teorema di Cesàro. Suppoiamo che la successioe {a } N abbia ite l e che si abbia a > 0, per ogi N. Allora a k = l. Dimostrazioe. Si defiisca la successioe {b } N come b = log a, N, ovviamete questa successioe tede a log l, per ipotesi. D altrode la successioe delle sue medie {β } N è data da β = b k = log a k = ) log a k = log a k, e per il I Teorema di Cesàro si avrà che β = b = log l, ovvero = log l, che implica la tesi. log IV Teorema di Cesàro. Sia {a } N ua successioe tale che a > 0 per ogi N. Vale la seguete implicazioe: a + 2.4) = l = a = l. a a k Dimostrazioe. Si defiisca la successioe {b } N poedo b = a + a e b 0 = a 0. Applicado il III Teorema di Cesàro sappiamo che b k = b = l,

9 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 9 e d altrode si vede subito che b k = a k = a a k. a0 Possiamo quidi cocludere, osservado che k= a a0 = a. Osservazioe 2.4. Usado il IV Teorema di Cesàro si può otteere ua dimostrazioe pià rapida del criterio del rapporto ovvero del Teorema.5). Ifatti, l ipotesi del Teorema.5 afferma che a <. Si ottiee subito la tesi usado il criterio della radice esima, ovvero il Teorema Serie umeriche Sia {a } R, cosideriamo formalmete la sommatoria ifiita 3.) a. Essa è detta serie dei termii a. Per dare u seso a questa somma ifiita, defiiamo la uova successioe {s k } k R tramite k s k = a k, k N. Ogi s k è detto somma parziale k esima della serie 3.). Defiizioe 3.. Diremo che la serie 3.) è covergete se la successioe {s k } k della sue somme parziali è covergete. I tal caso, porremo k a = s k = a. k k Diremo che la serie 3.) è divergete se la successioe {s k } k della sue somme parziali è divergete. I tal caso, porremo di uovo a = s k, k e tale ite sarà + o, a secoda che {s k } k diverga a + o a. Ifie, diremo che la serie 3.) è irregolare se {s k } k è irregolare, ovvero o ammette ite.

10 0 LORENZO BRASCO Osservazioe 3.2. Se la serie è a termii positivi, ovvero se a 0 per ogi N, allora abbiamo solo due possibilità: o è covergete oppure è divergete. Ifatti, si osservi che la successioe delle somme parziali è mootoa crescete, i.e. k+ s k+ = a = k a + a k+ k a = s k. Quidi dal Teorema. si ottiee che {s k } k ammette ite. Le stesse coclusioi si hao el caso i cui la serie sia a termii egativi i tal caso la successioe delle somme parziali è mootoa decrescete). 4. Criteri di covergeza per serie umeriche a termii positivi 4.. Criterio del cofroto. Siao {a } e {b } due successioi di umeri reali positivi. Suppoiamo che 0 N tale che a b, per ogi 0. Allora e b < + = a = + = a < +, b = + Dimostrazioe. Suppoiamo che la serie dei b sia covergete. Cosideriamo le successioi delle somme parziali S k = k a e T k = k b. Sappiamo già che {S k } k ammette ite, i quato successioe mootoa. Ci basta dimostare che essa è superiormete itata. Per ipotesi, abbiamo per ogi k > 0 0 S k = a + k = a a + 0 k b = a + T k a + b < +. Questo dimostra che la successioe delle somme parziali degli a è itata.

11 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 4.2. Criterio del cofroto asitotico. Siao {a } e {b } due successioi positive, co b > 0. Suppoiamo che a < +, b allora e b < + = a = + = Dimostrazioe. Per ipotesi, abbiamo a < +, b = +. a 0 l = < +. b Dalla defiizioe di ite, abbiamo quidi che per ogi ε > 0 esiste u idice ε N tale che l ε < a b < l + ε, per ogi ε. I particolare, si ha Otteiamo quidi per ogi k ε k a = a < l + ε) b, per ogi ε. ε k a + a = ε ε a + l + ε) k = ε b. Passado al ite per k che va a, si ottiee la tesi: ifatti, usado l ipotesi di covergeza della serie associata a {b }, si ottiee che ache la serie degli a deve essere covergete. Viceversa, se la serie degli a è divergete, allora dalla stima precedete si ha ache Questo coclude la dimostrazioe. k k = ε b = +. Osservazioe 4.. Suppoiamo che {a } N e {b } N siao asitotiche, i.e. a b. I questo caso, come cosegueza del criterio precedete abbiamo che le due serie e b, a hao la stesso carattere, ovvero soo etrambe covergeti o etrambe divergeti.

12 2 LORENZO BRASCO 4.3. Criterio della radice esima. Sia {a } N R ua successioe di umeri reali positivi, tali che a <. Allora la serie a coverge. Se ivece si ha a >, allora la serie diverge. Dimostrazioe. Sia l = a, poichè per ipotesi l <, si avrà che 0 < l 2. Dalla defiizioe di ite, prededo ε = l)/2, sappiamo che esiste 0 N tale che per ogi 0, risulta a l < ε, e quidi, i particolare, per ogi 0 si ha a < l + ε = l + l = l Abbiamo quidi provato che esiste 0 N tale che per ogi 0 ) l + 0 a <, 2 La tesi segue adesso dal criterio del cofroto, se si osserva che ) l + < +, 2 perché si tratta di ua serie geometrica di ragioe l + )/2 < Criterio del rapporto. Sia {a } N R ua successioe di umeri reali, tali che: Se vale a > 0, per ogi N. a + <, a allora la serie a coverge. Se ivece si ha allora la serie diverge. a + a >, Dimostrazioe. È sufficiete usare il IV Teorema di Cesàro. Se il rapporto tra due termii successivi tede a l <, allora per la 2.4) si ha > l = a + a = a e si coclude quidi usado il Criterio della radice esima.

13 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE Criterio di codesazioe di Cauchy. Sia {a } N R ua successioe di umeri reali positivi, tali che a + a, per ogi N. Allora si ha che a coverge = 2 a 2 coverge. Dimostrazioe. Suppoiamo che la serie codesata coverga e dimostriamo che coverge ache la serie degli a. Usado la mootoia degli a, si ha a = a + a 2 + a 3 + a }{{} 4 + a 5 + a 6 + a }{{} = 2 a 2 4 a 4 a + 2 a a 4 + = 2 a 2 < +, che dimostra la covergeza della serie. Mostriamo adesso l implicazioe iversa: suppoiamo che la serie degli a coverga, si ha allora 2 a 2 = a + 2 a a a 8... = a + a }{{} 2 + a 2 + a 4 + a }{{} 4 + a }{{} 4 2 a 2 a 2 2 a 3 + a 4 + a }{{} 8 + a 8 + a 8 + a }{{} 8 + a 8 + a }{{} 8 + a 8 +a }{{} a 4 2 a 5 2 a 6 2 a 7 2 a. = Questo coclude la dimostrazioe Osservazioe 4.2. Si osservi che la dimostrazioe precedete forisce ache la stima a 2 a 2 2 a. = 5. Criteri di covergeza per serie a termii di sego variabile Defiizioe 5.. Sia {a } R, si dice che la serie a,

14 4 LORENZO BRASCO coverge assolutamete se è covergete la serie dei moduli, ovvero se a < +. N 5.. Criterio dell assoluta covergeza. Sia {a } R, se la serie associata è assolutamete covergete, allora è ache covergete. Vale ioltre a a. Dimostrazioe. Defiiamo le due successioi a termii positivi { { a, se a b = 0, a, se a e c 0, se a < 0, = < 0, 0, se a 0. Si osserva che b a e c a, quidi per il Criterio del cofroto etrambe le serie a termii positivi e c, b soo covergeti. Risulta quidi essere covergete ache la serie origiale degli a, visto che questa coicide co b c. Questo coclude la dimostrazioe Criterio di Leibiz. Sia {a } R ua successioe tale che a > 0, per ogi N; a a +, per ogi N; a = 0. Allora la serie a segi alteri ) a coverge. Dimostrazioe. Cosideriamo la successioe delle somme parziali k s k = ) a. Sarà sufficiete dimostrare che s 2 k = s 2 k+ = l, co l ± k k Osserviamo che {s 2 k } k è mootoa decrescete, metre {s 2 k+ } k è mootoa crescete. Ifatti, si ha s 2 k+2 = 2 k ) a = ) a a 2 k+ + a 2 k+2 s }{{} 2 k, 0 2 k+2

15 dove si è usato la mootoia degli a. Similmete, si ha 2 k+3 s 2 k+3 = ) a = SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 5 2 k+ ) a +a 2 k+2 a 2 k+3 }{{} 0 s 2 k+. Possiamo quidi usare il Teorema. ed affermare che {s 2 k } k e {s 2 k+ } k covergoo, ovvero s 2 k = l ad s 2 k+ = l 2. k k Si osservi che questi iti soo fiiti, visto che e che s 2 k s 0 e s 2 k+ s 5.) s 2 k+ s 2 k, ifatti s 2 k+ = 2 k 2 k ) a = ) a a 2 k+ ) a s 2 k. 2 k+ Questo implica che s s 2 k+ s 2 k s 0, ovvero etrambe le successioi soo itate. Acora da 5.), risulta che l l 2 per il Teorema della permaeza del sego, dobbiamo dimostrare che l = l 2. Suppoiamo per assurdo che si abbia l l 2 > 0, dalla defiizioe di ite otteiamo i particolare che se scegliamo allora esiste u idice k ε N tale che ε = l l 2, 4 s 2 k > l l l 2 e s 2 k+ < l 2 + l l 2, per ogi k k ε. 4 4 Usadole isieme, abbiamo quidi s 2 k s 2 k+ > l l l 2 l 2 l l 2 = l + l 2, per ogi k k ε Ricordado la defiizioe delle due successioi, questo mostra a 2 k+ = s 2 k s 2 k+ > l + l 2, per ogi k k ε. 4 L ultima stima cotraddice l ipotesi che la successioe {a } sia ifiitesima. Osservazioe 5.2. Si osservi che il criterio di Leibiz garatisce la covergeza della serie, ma o la covergeza assoluta. Ifatti, i geerale o è vero che sotto le ipotesi del Criterio di Leibiz si abbia assoluta covergeza. Come cotroesempio, si preda la serie ), =

16 6 LORENZO BRASCO la cui serie dei valori assoluti coicide co la serie armoica che è divergete, si veda Esercizio 7.23). Dall Esercizio 7.2, sappiamo che 6. La costate di Nepero e 6.) 2 = 2, Utilizzado questo fatto e si veda l Esercizio 8 della dispesa Pricipio di iduzioe )! 2, per ogi N, abbiamo dal criterio del cofroto ache Più precisamete, si ha!! < +. 2 = 2 Useremo questo fatto per dimostrare il seguete Lemma 6.. La successioe {a } N\{0} defiita da a = 2 = 4. + ), per ogi N \ {0}, ammette ite. Ioltre, si ha 6.2) + = + ) k!.

17 a + a = SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 7 Dimostrazioe. No è difficile mostrare che {a } è crescete. Ifatti, per ogi N \ {0} si ha + ) + + ) = = + ) 2 + ) 2 = + ) 2 = = = ) + ) ) 2 + ) 2 ) + ) + ) + ) + ) ) + + ) + + ) ) + + ) 2 ). + Se usiamo la disuguagliaza di Beroulli 2, abbiamo ) + + ) 2 + ) + ) 2 = +, otteiamo ifie a +, a come voluto. Per il Teorema., sappiamo quidi che + ) = sup N\{0} + ), ) + ) 2 e il ite è + oppure è fiito. Per escludere la prima possibilità, è sufficiete dimostrare 6.2), visto che già sappiamo che k! = k! < +. 2 Ovvero, se N \ {0} e x, allora vale + x) + x.

18 8 LORENZO BRASCO Per dimostrare 6.2), usiamo la formula del biomio di Newto + ) ) = k k =! k! k)! k ove abbiamo usato che = + + )... k + ) k! k + + k=2 k=2 k! = k!, )... k + ) )... k + ) k = = } {{... } k volte... k + e l ultima disuguagliaza segue dal fatto che ogi fattore del prodotto è miore di. Per il mometo, abbiamo mostrato che + ) Si osservi che questo mostra già che il ite della successioe {a } è fiito. Al fie di provare la disuguagliaza iversa, prediamo due idici 2 m e osserviamo che + ) )... k + ) = + + k! k Come prima, si osservi che + + k=2 m k=2 k!. )... k + ) k! k. )... k + ) k = k=2... k + =, quidi mateedo m fisso e prededo il ite per che va a, si ottiee + m + + ) m k! = k!. Ifie, si preda il ite per m che tede a. Defiizioe 6.2. Si idicherà co e la costate di Nepero, defiita da e = + = ) k!.,

19 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 9 Osservazioe 6.3. Abbiamo visto tramite il cofroto co la serie di geometrica di ragioe /2 che! 4. Si ha duque e 4. D altra parte, si ha ache e >, per ogi N. k! Quidi se si prede per esempio = 3, si ottiee ache e > > I ogi caso, si può dimostrare che e Q ed u suo valore approssimato è e Osservazioe 6.4 U ifiitesimo importate!). Si osservi che dal ite appea calcolato, si ottiee che log e + ), per. Ifatti si ha log e + ) Più i geerale, se b > è ua base si ha 6.3) log b + ) 7.. Successioi. Esercizio 7.. Dimostrare che = [ log e + )] = log e + ) = log e e =. log b e, per. 7. Esercizi =. Soluzioe. Si osservi iazitutto che si tratta di ua forma idetermiata del tipo 0. Scriviamo la successioe i forma espoeziale, ovvero 3 Si osservi che dall Esempio 2.2 si ha = 2 log 2, per N \ {0}. ) log 2 = 0, 3 Abbiamo scelto di usare la base 2, ma ua qualsiasi altra base b > adrebbe bee.

20 20 LORENZO BRASCO da cui come si voleva. = 2 log 2 = 2 0 =, Esercizio 7.2. Calcolare ) +. Soluzioe. Si tratta di ua forma idetermiata del tipo +. Ricordiamo la ota formula a b) a + b) = a 2 b 2, possiamo quidi riscrivere la successioe di cui dobbiamo calcolare il ite come + ) = + +. L astuzia di moltiplicare e dividere è servita a far sparire l idetermiazioe +. Siamo ridotti a calcolare il ite di ua successioe della forma diviso ua successioe ifiita e quidi il ite fa 0, ovvero ) + = = Si osservi che si può ache usare il Teorema del cofroto, per dire che , e le due successioi alle estremità soo etrambe ifiitesime. Si osservi che o abbiamo solo dimostrato che la successioe iiziale è ifiitesima, ma abbiamo ache mostrato la stima asitotica + ) 2. Questo coclude l Esercizio. Esercizio 7.3. Co u argometo simile a quello utilizzato el precedete esercizio, si dimostri che ) + ) k k = 0, per ogi k N \ {0}. Si classifichi ache l ordie di ifiitesimo.

21 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 2 Soluzioe. L argometo è esattamete aalogo a quello usato per il caso k = 2 ell esercizio precedete. Dovremo usare il fatto che per ogi a, b R si ha 4 k 7.) a b) a i b k i = a k b k. Dalla formula precedete co si ha ) + ) k k = Abbiamo quidi Adesso possiamo osservare che e quidi I defiitiva, si ha i=0 a = + ) k e b = k, ) + ) k k k + ) i k i k k i=0 + = k + ) i k i k k k + ) i k i k k i=0 ) + ) k k = i=0. k + ) i k i k k i=0 + ) i k i k + ) i k i k k k + ) i k i k k i=0 k k. k k k, 4 Si osservi che per k = 2 questo formula è solitamete ota fi dalle scuole superiori come formula del falso quadrato, dato che coicide co la formula a b) a 2 + a b + b 2 ) = a 3 b 3. I aalogia, potremmo chiamare la 7.) formula del falso biomio di Newto. Si osservi ifatti che i termii della sommatoria coicidoo co quelli dello sviluppo del biomio a + b) k, co la differeza che macao i coefficieti biomali ) k. La dimostrazioe di 7.) segue facilmete dall formula pe le somme parziali della serie geometrica: si suppoga b 0 altrimeti la dimostrazioe è immediata), allora si ha k k a a b) a i b k i = a b) b k a ) i = a b) b k b b i=0 i=0 a b ) k = a k b k.

22 22 LORENZO BRASCO visto che la sommatoria cotiee k termii, tutti asitotici alla stessa poteza di. Possiamo duque cocludere che ) + ) k k = = 0. k k k Si osservi che il calcolo precedete mostra ache che ) 7.2) + ) k k. k k k Questo coclude l esercizio. Esercizio 7.4. Siao b > ua base e k N \ {0}, si dimostri che log b = o /k ). Soluzioe. Usiamo il Teorema di Stoltz-Cesàro co le scelte Osserviamo che a + a = b + b a = log b e b = k. log b = log b + ) + ) k k + ) dove abbiamo usato 6.3) e la stima 7.2), per dire che 7.3) + ) k k + ) k k = 0. Possiamo duque applicare il Teorema di Stoltz-Cesàro ed otteere come volevamo. log b a a + a = = = 0, k b b + b = 0, Osservazioe 7.5. Dall esercizio precedete otteiamo il risultato più geerale log b = o α ), per ogi b >, α > 0. Ifatti, se α l abbiamo già osservato. Per 0 < α <, basta predere u k N \ {0} grade abbastaza i modo che risulti α > k.

23 A questo puto, usado l esercizio precedete abbiamo SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 23 log b log α = b k Esercizio 7.6. Sia b > ua base, dimostrare che ovvero che = olog b!), α k log b!) = +. Soluzioe. Si tratta di ua forma idetermiata del tipo /. Cosideriamo la successioe {a } N defiita da a = log b,, = 0 la quale, per che tede a, tede a +. Se formiamo la successioe {α } N delle sue medie, ovvero α = a k, ci accorgiamo subito, per le proprietà dei logaritmi, che si ha α = log b k = log b + log b log b ) = k= k= = log b 2 ) = log b!) ovvero {α } N è proprio la successioe di cui vogliamo calcolare il ite. Per il II Teorema di Cesàro, abbiamo quidi che α = a, ovvero come volevamo. Esercizio 7.7. Dimostrare che log!) = +,! = +. Soluzioe. Osserviamo che si tratta di ua forma idetermiata del tipo 0. Usiamo la scrittura espoeziale sempre i base 2, per semplicità)! = 2 log 2!. Per l esercizio precedete, l espoete ell ultima espressioe diverge a + e quidi si ottiee la tesi.

24 24 LORENZO BRASCO Esercizio 7.8. Sia α >, calcolare il ite α!. Soluzioe. La successioe di cui dobbiamo calcolare il ite sembra prestarsi perfettamete per poter applicare il Criterio del rapporto, Teorema.5. Poedo a = α / + )! si ha a + a = α + + )!! α = α! + )! = α + = 0, e quidi, apputo grazie al Criterio del rapporto, la ostra successioe deve essere ifiitesima, ovvero α! = 0. Questo coclude l esercizio. Osservazioe 7.9 Espoeziale VS. fattoriale). Dall esercizio precedete, abbiamo quidi otteuto α = o!), per. Esercizio 7.0. Calcolare il ite 2 +. Soluzioe. L Esercizio è abbastaza semplice, ua volta che ci si accorga che per gradi, il termie domiate sotto la radice è il fattore 2 è u ordie di ifiito superiore rispetto al termie ), ovvero che i sostaza = 2, quidi ci aspettiamo che il valore del ite sia apputo 2. Formalizzado u po questo ragioameto, potremmo osservare che , dal mometo che 2 per ogi N lo si provi per iduzioe...), quidi = 2 2, e possiamo cocludere grazie dal Teorema.2, usado il fatto che 2. Esercizio 7.. Calcolare il ite Soluzioe. Ricordiamo che vale a = k = k= k. k= + ). 2

25 Usado questa espressioe, osserviamo che SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 25 a + a k= + ) + 2) = =, + ) e quidi per il IV Teorema di Cesàro, otteiamo k = a + a = =, a come richiesto. Esercizio 7.2. Calcolare il ite dove k N \ {0}. k+ i k, Soluzioe. Vogliamo sfruttare il Teorema di Stolz-Cesàro, usado le successioi {a } N e {b } N defiite da a = i k e b = k+, per ogi k N. i= Co questa otazioe ifatti, l Esercizio ci richiede di calcolare il ite a. b Osserviamo quidi che {b } N è strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata; ioltre a + a + ) k = b + b + ) k+ k+, quidi se questo ite esiste e lo sappiamo calcolare, possiamo cocludere grazie al Teorema di Stolz-Cesàro, ifatti i tal caso avremo i= a a + a + ) k = = b b + b + ) k+ k+. D altrode, dalla formula del Biomio di Newto, otteiamo 5 ) + ) k+ k+ = k+ + k + ) k + Θ k ) k+ = k + ) k + Θ k ), da cui quidi cocludedo così l Esercizio. + ) k + ) k+ = k+ k + Θ k ) k + ) k + Θ k ) = k +, 5 Co Θ k ) si itede che Θ k ) k = l 0, ±. Si dice che Θ k ) ha lo stesso ordie di k.

26 26 LORENZO BRASCO Esercizio 7.3. Calcolare dove k N \ {0}. k k)!, Soluzioe. Chiamiamo per semplicità a la successioe di cui vogliamo calcolare il ite ed calcoliamo Osserviamo che otteiamo quidi a + a = + )k +k k )! k k + k)! + ) k k )! + ) k = k + k)... k + ) k )! k + ) k = + k. k + k)... k + ) ) + ) k k e k + k)... k + ) k ) k, [ a + k a k) k + ) ] k. dove co il simbolo si itede che le quatità a destra ed a siistra soo asitotiche 6. Possiamo quidi ricavare che a + k [ = a k) k + ) ] k = ek e ) k k k =. k Osserviamo ifie che e k ) k > per k =, 2, metre e k ) k < per k 3. Utilizzado il Teorema.5 Criterio della rapporto) abbiamo { +, per k =, 2, a = 0, per k 3, che coclude l esercizio. 6 Due successioi {a} e {b } si dicoo asitotiche se a =. b

27 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 27 Osservazioe 7.4. Dall esercizio precedete, otteiamo che metre Esercizio 7.5. Calcolare k )! = o k ), se k = o k = 2, k = ok )!), se k 3. Soluzioe. Osserviamo iazitutto che posto a =!, N, questa successioe diverge a + basta predere k = ell esercizio precedete). Il ite che dobbiamo calcolare è quidi ua forma idetermiata del tipo 0. Vogliamo usare il IV Teorema di Cesàro, ovvero che Calcoliamo a + a! a + a =. a + ) + = + )! =! = + ) + ) + )! + ) = =! = + ) = e, dove abbiamo usato la defiizioe di costate di Nepero, vedi Lemma 6. e Defiizioe 6.2. Per il IV Teorema di Cesàro abbiamo quidi! = a + a = = e. a Abbiamo calcolato il ite, come richiesto. Osservazioe 7.6. Il precedete Esercizio implica che!, per, e ovvero! è comparabile a, per molto gradi. Esercizio 7.7. Dimostrare che la successioe {a } N defiita da è covergete e si ha a = 2 k=+ k, N \ {0}, 2 a.

28 28 LORENZO BRASCO Soluzioe. Verifichiamo che la successioe i questioe è mootoa crescete: si ha ifatti a + = 2+2 k=+2 k = 2 k=+ dove abbiamo usato il fatto che verificatelo!) k k=+ k = a, Ua volta otteuta la mootoia della successioe, grazie al Teorema. possiamo affermare che essa ammette ite evetualmete uguale a + ) e vale l = a = sup a. Cerchiamo di mostrare la stima richiesta sul umero l: osserviamo iazitutto che deve sicuramete essere l, dal mometo che 2 a = k = k=+ }{{} termii ed ovviamete / + ) tede ad per che tede a. crescete si ha a sup a = l. N\{0} Calcolado a, si ottiee la miorazioe richiesta su l. N = +, D altra parte, essedo a Osservazioe 7.8. La stima precedete 2 l, è piuttosto rozza e può essere raffiata. Per esempio, cosideriamo la sottosuccessioe {a 2 } N\{0} fatta prededo solo gli elemeti aveti idice pari: sappiamo che ach essa tede a l, ioltre a 2 = 4 k=2+ k = ) } {{ } termii , ) 4 }{{} termii da cui si ha l = a = = 5 6. Per otteere la stima dal basso su l, basterà usare che a 2 sup a = l, N\{0}

29 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 29 ed osservare che a 2 = 7/ Serie. Esercizio 7.9 Serie di Megoli). Dimostrare che la serie 7.4) k k + ), è covergete. Calcolare il suo ite. Dimostrazioe. Osserviamo iazitutto che per ogi k N \ {0} si ha k= k k + ) = k k +, otteiamo quidi che la serie di Megoli è u caso particolare di serie telescopica. È quidi facile calcolare la successioe delle somme parziali: per ogi si ha [ S = k k + ) = k ] k + k= k= [ = ] [ ] [ ] [ ] + = +, che è ua successioe covergete, il cui ite è uo. Si ha duque k k + ) =, cocludedo così l esercizio. k= Esercizio 7.20 Serie di Megoli geeralizzata). Sia β > 0, dimostrare che la serie [ ] 7.5) k β k + ) β, k= è covergete. Calcolare il suo ite. Dimostrazioe. Basta osservare che la serie è di uovo telescopica. Il suo ite è acora. Esercizio 7.2 Serie geometrica). Sia α <, si dimostri che la serie geometrica di ragioe α coverge e si ha α = α.

30 30 LORENZO BRASCO Soluzioe. Cosideriamo la successioe delle somme parziali k s k = α, sappiamo già che questa successioe ammette ua rappresetazioe esplicita, ovvero k s k = α = αk+ α. Adesso è sufficiete osservare che k αk+ = 0, grazie all ipotesi α <. Questo coclude l esercizio. Esercizio Dimostrare che la serie 7.6) k!, è covergete. Dare ua maggiorazioe del valore di questa serie. Dimostrazioe. È sufficiete osservare che7 k! k k + ), per ogi k 4, ovvero k!, per ogi k 4. k k + ) Per il criterio del cofroto, si ottiee quidi che la serie i questioe è covergete. Ioltre, si ha k! = k! k k + ) k=4 = [ = 3 2, k= k=4 k k + ) ] che stima il valore della serie. Esercizio 7.23 Serie armoica). Dimostrare che la serie, è divergete. = 7 Si dimostri questa disuguagliaza usado l iduzioe.

31 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 3 Dimostrazioe. Sia k, cosideriamo la successioe delle somme parziali S k = k = Suppoiamo per assurdo che la serie sia covergete, si ha duque. S k = l < +. k Cosideriamo quidi la sottosuccessioe {S 2k } k, si ha acora I particolare, si otterrebbe S 2k = l < +. k 7.7) k S 2k S k = l l = 0. D altra parte, dalla defiizioe si ottiee S 2k S k = 2k = k = = 2k =k+ Per l Esercizio 7.7, sappiamo che l ultima successioe è miorata da /2. Questo cotraddice 7.7) e quidi la serie armoica deve divergere. Esercizio 7.24 Serie armoica geeralizzata). Dimostrare che la serie α, = è divergete per 0 < α < e covergete per α >. Dimostrazioe. Si osservi iazitutto che si tratta di ua serie a termii a positivi. Per trattare il caso 0 < α <, ci basta usare il criterio del cofroto. Ifatti, per ogi si ha α, se 0 < α <, e quidi α. Usado l Esercizio 7.23 ed il criterio del cofroto, si coclude. Sia adesso α >, i tal caso si ha ovviamete α, per ogi, e dal criterio del cofroto o potremmo cocludere iete. Osserviarmo iazitutto che per α 2 si può usare il criterio del cofroto asitotico co la serie di Megoli vedi.

32 32 LORENZO BRASCO 4 3,2 2,4,6 0,8 0 0,25 0,5 0,75,25, Figura. Nell itervallo [0, ], il grafico della fuzioe t + t) α i tratto più scuro) sta sempre sopra quello della retta tratteggiato) che cogiuge i puti del grafico 0, 0) e, 2 α ). Esercizio 7.9). Si ha α + ) + ) = α = 0, se α 2. Questo permette di cocludere che la serie armoica geeralizzata coverge per α 2. Per < α < 2, vogliamo usare il criterio del cofroto co la serie di Megoli geeralizzata si ricordi l Esercizio 7.20). Sfruttiamo la seguete disuguagliaza si veda la Figura ) + t) α 2 α ) t, per ogi t [0, ]. Assumedo vera questa disuguagliaza ed usadola co t = /, si ottiee + ) α 2 α ), ovvero, moltiplicado ambo i membri per / + ) α α + ) α 2α + ) α.

33 = SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 33 Usado il criterio del cofroto e l Esercizio 7.20, si ottiee quidi + ) α [ ] 2 α α + ) α = < +. Per cocludere, ci basta adesso usare il criterio del cofroto asitotico co la serie scritta a siistra che è covergete a termii positivi). Si ha α + ) α = α =, + ) α e quidi se e coclude che ache la serie il cui termie esimo è dato da / α è covergete. Osservazioe Si può otteere ua più rapida dimostrazioe dell esercizio precedete usado il Criterio di codesazioe di Cauchy. Ifatti, quest ultimo afferma che α coverge 2 coverge. 2α = D altrode l ultima è ua serie geometrica di ragioe 2 α e quidi coverge se e soltato se 2 α < ovvero α >. Esercizio Sia α > 0, si dimostri che la serie α!, è covergete per 0 < α < e divergete per α. Dimostrazioe. Usiamo il criterio della radice esima. Si ha α α =! = e α!, dove abbiamo usato si veda l Osservazioe 7.6)! e. Si vede adesso facilmete che α! = 0, se 0 < α <, e, se α =, +, se α >. Dal criterio della radice esima, si ottiee quello che volevamo per il caso α =, si ricordi che e > ).

34 34 LORENZO BRASCO Esercizio Dimostrare che la serie a termii positivi è divergete. = ) + log 2, Dimostrazioe. Abbiamo dimostrato che si veda Osservazioe 6.4) log 2 + ) log 2 e, Quidi il termie esimo dela serie i questioe è asitotico a quello della serie armoica, che è divergete il fattore moltiplicativo log 2 e è iifluete ai fii del carattere della serie). Per il Criterio del cofroto asititotico, si ottiee la coclusioe. Soluzioe alterativa. telescopica, ifatti = Si poteva ache osservare che la serie i questioe è ua serie ) + log 2 = = [ ] log 2 + ) log 2. La successioe delle somme parziali può essere quidi determiata esplicitamete s k = k = [ ] log 2 + ) log 2 = [log 2 2 log 2 ] + [log 2 3 log 2 2] + + [log 2 k log 2 k )] + [log 2 k + ) log 2 k] = log 2 k + ) log 2 = log 2 k + ), e si vede direttamete che è divergete. Appedice A. Classificazioe di ifiiti I questa breve sezioe si raccolgoo alcui paragoi tra ifiiti che abbiamo dimostrato egli esercizi precedeti. A partire da questi, si ottiee ache la classificazioe per i

35 rispettivi ifiitesmi es. / α, / log b etc.) SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 35 log b = o α ), per ogi b >, α > 0, α = o β ), per ogi 0 < α < β, β = ob ), per ogi b >, β > 0, b = o!), per ogi b >,! e,! = o ), 2 )! = o 2 ), k = ok )!), per ogi k N \ {0,, 2}, + ) k k k k k, per ogi k N \ {0, }, = olog b!), per ogi b >. Appedice B. Successioi defiite per iduzioe Il seguete Teorercizio forisce u criterio molto utile per stabilire la covergeza per ua classe particolare di successioi defiite per iduzioe. Teorercizio B.. Sia f : R R ua fuzioe mootoa crescete, ovvero tale che x x 2 = fx ) fx 2 ). Cosideriamo la seguete successioe defiita per iduzioe { a0 = α a + = fa ). Provare che se a α, allora la successioe è mootoa crescete, metre se a α la successioe è mootoa decrescete. I particolare quidi, la successioe ammette ite. Soluzioe. Ovviamete dovremo usare il pricipio di iduzioe. Proviamo soltato la prima affermazioe: la secoda si prova esattamete ello stesso modo ed è lasciata alla buoa volotà dello studete. Suppoiamo quidi di essere el caso a α, vogliamo provare che B.) a + a, per ogi N. La B.) è ovviamete vera per = 0, visto che corrispode a a a 0 = α. Suppoiamo adesso che la B.) sia vera per u certo aturale 0, ovvero che risulti a 0 + a 0, vogliamo provare che questo implica ecessariamete a 0 +2 a 0 +. Ifatti dalla defiizioe

36 36 LORENZO BRASCO della successioe e sfruttado la mootoia di f si ottiee a 0 +2 = fa 0 +) fa 0 ) = a 0 +, che rappreseta la B.) per 0 + e possiamo quidi cocludere la dimostrazioe. Nel caso che la fuzioe f che compariva el Teorercizio precedete sia mootoa decrescete, possiamo acora dire qualcosa, ma le cose si fao decisamete più itricate: i particolare, quello che diremo è legato all aalisi dei primi 4 termii. Teorercizio B.2. Sia f : R R ua fuzioe mootoa decrescete, ovvero tale che x x 2 = fx ) fx 2 ). Cosideriamo la seguete successioe defiita per iduzioe { a0 = α a + = fa ). Provare che se a 2 α e a 3 a, allora la sottosuccessioe {a 2 } N è mootoa crescete e la sottosuccessioe {a 2+ } N è mootoa decrescete. Al cotrario se a 2 α e a 3 a, la sottosuccessioe {a 2 } N è mootoa decrescete e la sottosuccessioe {a 2+ } N è mootoa crescete. I particolare, sotto queste ipotesi la sottosuccessioe idicizzata dai umeri pari e quella idicizzata dai umeri dispari covergoo etrambe 8. Soluzioe. Nuovamete, utilizziamo il pricipio di iduzioe: stavolta sarà ecessaria u po di cautela. Suppoiamo ifatti di voler dimostrare la prima affermazioe, dobbiamo provare che se a 2 α e a 3 a, allora la seguete affermazioe è vera B.2) a 2 a 2+2 e a 2+ a 2+3, per ogi N. Ovviamete la B.2) è verificata per = 0, ifatti stiamo assumedo che a 2 α = a 0 e a 3 a. Suppoiamo quidi di sapere che la B.2) sia verificata per u certo umero aturale 0, quidi la ostra ipotesi iduttiva adesso sarà la seguete a 20 a e a 20 + a Vogliamo dimostrare che questa ipotesi implica la validità di B.2) ache per 0 +: ifatti, teedo presete la mootoia di f si ha a = fa 20 +3) fa 20 +) = a 20 +2, ed ache, sfruttado quato appea otteuto, a = fa 20 +4) fa 20 +2) = a 20 +3, ovvero abbiamo provato che la B.2) è vera ache per 0 + e quidi per il pricipio di iduzioe essa è vera per ogi N. Osservazioe B.3. Nel Teorercizio precedete, i casi evideziati, ovvero i) a 2 a 0 e a 3 a ii) a 2 a 0 e a 3 a 8 No ecessariamete allo stesso ite!

37 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 37 soo gli uici per cui è possibile trarre delle coclusioi sulla successioe. Esercizio B.4. Sia data la successioe defiita per iduzioe da { a = 0 a + = 2 + a Dire se esiste il ite per che tede a e calcolarlo. Soluzioe. Si vede subito che la successioe è tutta positiva dimostrarlo per iduzioe). Proviamo che è crescete, procededo per iduzioe: il primo passo è mostrare che la proposizioe B.3) a + a, è vera per =. Questo è immediato, dal mometo che a 2 = 2 + a = 2 a. Suppoiamo adesso che la proposizioe B.3) sia vera per u certo 0 N, ovvero suppoiamo di sapere che a 0 + a 0, allora otteiamo a 0 +2 = 2 + a a 0 = a 0 +, ovvero la B.3) è vera ache per il aturale successivo 0 + e quidi B.3) è vera per ogi. Abbiamo quidi che {a } N ammette sicuramete ite l e deve risultare l = a = sup a. Calcoliamo l: la sottosuccessioe {a + } N covergerà allo stesso ite ed ioltre dalla defiizioe di a si ottiee che l deve verificare l = a + = 2 + a = 2 + a = 2 + l, ovvero deve risultare l 2 = 2 + l, quidi abbiamo tre possibilità per l, ovvero l = + oppure l = 2 oppure l =. Possiamo subito escludere la terza perchè abbiamo detto che a 0, per ogi N, quidi dovrà essere ache l 0; se sapessimo che la successioe {a } N è itata, potremmo escludere ache la prima e cocludere quidi che deve essere l = 2. D altra parte, si vede facilmete che deve risultare B.4) a 2, per ogi : la dimostrazioe si fa di uovo per iduzioe, dal mometo che B.4) è sicuramete verificata per = ; ioltre, assumedo che B.4) valga per u certo 0 N, si ottiee a 0 + = 2 + a 0 4 = 2,

38 38 LORENZO BRASCO ovvero B.4) è valida ache per il aturale successivo 0 + e quidi è vera per ogi. I defiitiva a = 2, cocludedo così l esercizio. Esercizio B.5. Studiare il comportameto della successioe defiita per iduzioe a 0 = a + = a + 2 3a + 2 Soluzioe. È immediato osservare che la successioe deve essere tutta positiva e miore di. Ioltre l + ) esimo termie è della forma a + = fa ), co la fuzioe f defiita da fx) = x + 2 3x + 2, x 0. No è difficile covicersi che f è mootoa decrescete 9, quidi potremmo tetare di utilizzare il Teorercizio B.2 per cocludere qualcosa sulla ostra successioe: i effetti, calcolado i primi 4 termii della successioe otteiamo metre a 0 = 3 9 = a 2, a = = a 3, quidi per quato visto ell Esercizio precedete, otteiamo che {a 2 } N è mootoa decrescete, metre {a 2+ } N è mootoa crescete, i particolare esistoo l ed l 2 tali che a 2 = l e a 2+ = l 2. Cerchiamo di calcolare i iti l ed l 2 : dalla defiizioe, abbiamo a 2+2 = fa 2+ ) = a a = fa 2) + 2 3fa 2 ) + 2 = 7a a 2 + 0, e dal mometo che {a 2+2 } N è ua sottosuccessioe di {a 2 } N, si avrà ache a 2+2 l, ovvero l = a 7a = 9a = 7l + 6 9l + 0, abbiamo quidi trovato che il cadidato ite l deve soddisfare la precedete relazioe, ovvero l = 7l + 6 9l No è ecessario usare le derivate per vederlo.

39 SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE 39 D altra parte tale relazioe è soddisfatta solamete per l = oppure l = 2 3 : dal mometo che la successioe è tutta a termii positivi, dovremo scartare il primo valore e cocludere quidi che a 2 = 2 3. Co calcoli completamete aaloghi si prova che deve valere ache a 2+ = 2 3, da cui se e coclude 0 che la successioe di parteza ammette ite e questo è dato da Attezioe! Si ricordi che i geerale, se ua successioe {a} N possiede due sotto-successioi covergeti allo stesso ite l, questo o implica che ache a l. Quello che stiamo usado i questo caso, è che le due sotto-successioi i esame soo complemetari, el seso che {a 2+} N {a 2} N = {a } N, per cui dal comportameto delle due sotto-successioi, possiamo ricavare il comportameto di tutta la successioe.