CONFRONTO TRA SUCCESSIONI DIVERGENTI. (2) Sia a>1. Allora lim =+ per ogni β>0.
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- Feliciano Pieri
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1 Lezioi CONFRONTO TRA SUCCESSIONI DIVERGENTI a ) Sia a>. Allora lim + per ogi β>0. β Dimostriamolo solo per a 4eβ. Si ha ricordado che 2 per ogi ) , per cui 4 e il limite risulta + per cofroto β 2) Sia a>. Allora lim + per ogi β>0. log a Lo mostriamo solo per β. Per defiizioe, dobbiamo mostrare che fissato M>0allora log a M, o equivaletemete M log a,per sufficietemete grade. Prededo l espoeziale di etambi i termii, si ha equivaletemete a a M a log a a M, ovvero a am. Ma questa disuguagliaza è vera per sufficietemete grade perche abbiamo visto sopra che a +. a 3) Sia a>. Allora lim! 0.
2 35 Lezioi -2 Per dimostrarlo otiamo che a! a a a a 2 ) a a 2 a a. Sia a u umero aturale che terremo fisso). Allora a a! a 2 a ) a a a ) a Il umero C a 2 a ) è ua costate che o dipede da. Per i umeri segueti vale la stima a, a +,,..., a. Quidi 0 a! C a Dato che a/ 0 ache a /! 0 per esempio usado il teorema dei due carabiieri). 4) lim! +. Per dimostrarlo otiamo che! 2 ) 2 eche 2, 3,..., Quidi! e /! + per il teorema del cofroto..
3 Lezioi LIMITI DI SUCCESSIONI MONOTONE Teorema. Sia {a } mootoa o decrescete allora {a } o oscilla e lim a sup a ; sia {a } mootoa o crescete allora {a } o oscilla e lim a if a. Dim. caso o crescete) sia L if a. Se mostriamo che L L m t.c. m si ha L a <L, allora L lim a. Per def. di if m t.c. a m <L. Per la o cresceza di {a }, si ha a a m m, e quidi L a a m <L m. Corollario Importate. Ogi successioe mootoa limitata coverge i R. Teorema. La successioe a e limitata. Dim. CRESCENZA) È a + ) 0 ) ; + ) è strettamete crescete a + + ) + + ) + + +). 0 Perchè sia a <a + basta duque vedere che, ) ) + ) +). Dimostriamolo per iduzioe su. Per 0 si ha ) ) + 0 ) 0 0 +) 0.
4 37 Lezioi -2 Suppoiamo ora che, e che valga ) ) + +). Allora ovvero ). 0 )!! )!! +) )! + )! ) +) ) + +) +) + )! +) )! + 2)! +) + )! +)! + )! +) +2) ) + +) +) +2) ) + +), LIMITATEZZA) Vediamo che a ) 3. + ) 3, ovvero
5 Lezioi Notiamo alcue cose: ) i),! Ifatti iduzioe su ) per 0 si ha u idetità ; suppoedo che si abbia ) )! )!! )! ), otteiamo:! +) )! + )! ) +) +) )!! Quidi a ; maggioriamo questa somma co u altra! 0 più facile da calcolare, usado la seguete osservazioe: ii) siha! 2, ifatti! ) Duque si ha a! j. 0 j0 Questa somma si può calcolare facilmete: iii) sia a ; allora a j a, ifatti basta ricordare a j0 che
6 39 Lezioi -2 a ) a) + a + a a ). I particolare a /2) j 2 j /2) 2) /2) 2 2. j0 j0 Tirado le somme a +2 2 < 3 Corollario. e lim + ). SOTTOSUCCESSIONI Def. {b } è sottosuccessioe di {a } se f : N N strettamete crescete tale che b a f). I geere si scrive ivece di f), per cui NOTA: si ha lim f) +. b a. ESEMPI: {4 2 } è sottosuccessioe della successioe { 2 } prededo f) 2); le successioi costati {} e { } soo sottosuccessioi della successioe oscillate { ) } prededo f) 2ef) 2+ ei due casi); la successioe costate {0} è sottosuccessioe della successioe {cosπ/4)} prededo per esempio f) 8 + 2). Quali soo i possibili limiti di sottosuccessioi di tale successioe? le successioi divergeti, rispettivamete a e, {2) 2 } e { 2 +) 2+ } soo sottosuccessioi della successioe oscillate { ) }. Ne esistoo sottosuccessioi covergeti?
7 Lezioi Teorema. a L a L sottosuccessioe {a } di {a }. Dim. Sia I itoro di L e m 0 t.c. m 0 si ha a I. Dato che lim +, m N t.c. m si ha m 0. Allora a I m. Corollario Importate. Se {a } e {a } due sottosuccessioi di {a } tali che a L a L e L L, allora {a } oscilla. ESEMPIO: per dimostrare che { ) } oscilla si può otare che ) 2, e ) 2+.
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