2.5 Convergenza assoluta e non

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1 .5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello della covergeza assoluta. Defiizioe.5.1 Sia a ua serie a termii reali o complessi. Diciamo che la serie è assolutamete covergete se la serie a è covergete. Si oti che per verificare la covergeza assoluta di ua serie i criteri visti i precedeza soo tutti validi perché a è ua serie a termii positivi. Naturalmete, come suggerisce il loro ome, le serie assolutamete covergeti soo covergeti: vale ifatti il risultato seguete: Proposizioe.5. Ogi serie assolutamete covergete è covergete. Dimostrazioe Sia a covergete, e suppoiamo dapprima che gli a siao tutti reali. Poiamo b = a a N : chiaramete si ha 0 b a per ogi, cosicché b è covergete per il criterio del cofroto. Essedo a = a b N, la serie a coverge perché differeza di serie covergeti (esercizio..1). Suppoiamo adesso che gli a siao umeri complessi. Dalle relazioi Re z z, Im z z z C segue, per il criterio del cofroto, che le due serie reali Re a e Im a soo assolutamete covergeti; quidi, per quato già dimostrato, esse covergoo. Duque, applicado alle somme parziali k=0 a k il risultato dell esercizio.1., si ottiee che la serie a = Re a + i Im a è covergete. Come vedremo fra poco, il viceversa della proposizioe precedete è falso: esistoo serie covergeti che o soo assolutamete covergeti. Per le serie a termii reali di sego altero c è uo speciale criterio di covergeza. 146

2 Proposizioe.5.3 (criterio di Leibiz) Sia {a } ua successioe reale decrescete ed ifiitesima. Allora la serie ( 1) a è covergete e si ha ( 1) a a m+1 m N. =m+1 Dimostrazioe Siao s le somme parziali della serie ( 1) a ; se è pari, = m, dalla decresceza di {a } segue che s m+ = s m a m+1 + a m+ s m s s 0, metre se è dispari, = m + 1, si ha aalogamete s m+1 = s m 1 + a m a m+1 s m 1 s 3 s 1. Ioltre per la positività degli a i defiitiva s m+1 = s m a m+1 s m m N; s 1 s m 1 s m+1 s m s m s 0 m N +. Duque, le due successioi {s m+1 } m N e {s m } m N soo mootoe (crescete la prima e decrescete la secoda) e limitate; quidi covergoo etrambe e, posto D = lim m s m+1, P = lim m s m, dal teorema di cofroto (teorema.1.1) si ha s 1 D P s 0. D altra parte, essedo s m+1 s m = a m+1 per ogi m N, dall ipotesi che {a } è ifiitesima segue, al limite per m, che D = P. Poiamo 147

3 allora S = D = P, e proviamo che la serie ( 1) a ha somma S. Per ogi ε > 0 si ha s m S < ε defiitivamete, s m+1 S < ε defiitivamete; quidi se è abbastaza grade, pari o dispari che sia, risulterà s S < ε, e pertato s S per. Notiamo poi che si ha da cui se è pari, = m, s m+1 S s m+ s m m N, 0 s S = s m S s m s m+1 = a m+1 = a +1, metre se è dispari, = m + 1, 0 S s = S s m+1 s m+ s m+1 = a m+ = a +1 ; i ogi caso e ciò prova la tesi. s S a +1 N, Osservazioe.5.4 Il criterio di Leibiz è acora vero per le serie che e verificao le ipotesi soltato defiitivamete: ad esempio, la serie potrebbe essere a termii di sego altero solo da u certo idice i poi, ed i termii stessi, i valore assoluto, potrebbero essere decresceti solo da u certo altro idice i poi. I questo caso, però, la stima s S a +1 va opportuamete modificata. Esempi.5.5 (1) La serie ( 1) è covergete perché { 1 } è ua successioe decrescete ed ifiitesima. Questo è u esempio di serie covergete ma o assolutamete covergete (dato che la serie dei valori assoluti è la serie armoica). () La serie ( 1) 100 è covergete perché { 100 } è ifiitesima e defiitivamete decrescete (esercizio.5.6). (3) La serie ( 1) o coverge: il suo termie geerale o è ifiitesimo. 148

4 (4) La serie si x coverge per ogi x R: ifatti è assolutamete covergete, per cofroto co la serie 1 Vi è u altro importate criterio di covergeza o assoluta, il quale geeralizza il criterio di Leibiz; esso discede dall idetità di Abel (esercizio.3.8), che euciamo qui i forma lievemete più geerale: Proposizioe.5.6 (Idetità di Abel) Siao {a } e {b } due successioi di umeri reali o complessi. Fissati p, q N co q p e posto B N = N =q b, risulta. N N 1 a b = a N B N a p B p 1 + (a a +1 )B N > p, =p ove B p 1 = 0 el caso i cui q = p. Dimostrazioe Basta osservare che N a b = =p =p N a (B B 1 ) = =p N a B =p N 1 =p 1 N 1 = a N B N a p B p 1 + (a a +1 )B. =p U immediata cosegueza di questa idetità è il seguete a +1 B = Lemma.5.7 (di Abel) Siao {a } e {b } due successioi di umeri reali. Posto B N = N b, suppoiamo che (i) B N K N N, (ii) a a +1 0 e lim a = 0. Allora la serie Σa b coverge e vale la stima a b Ka N N N. =N Dimostrazioe Per M > N poiamo s MN = M =N a b. Dall idetità di Abel otteiamo M 1 s MN = a M B M a N B N 1 + (a a +1 )B ; 149 =N

5 poiché a M B M Ka M 0 per M, ed ioltre (a a +1 )B = =N (a a +1 ) B K =N (a a +1 ) = Ka N, =N al limite per M si ottiee a b a N B N 1 + Ka N Ka N, =N e duque si ha la tesi. Osservazioe.5.8 Alla stessa coclusioe si arriva quado B N M per ogi N N, a 0 per ogi N e, i luogo della decresceza di {a }, si fa l ipotesi che la serie a a +1 sia covergete. Più i geerale, vale questo risultato: Proposizioe.5.9 Siao {a } e {b } due successioi di umeri reali o egativi, co {a } decrescete e ifiitesima. Posto B N = N b, si ha a b < (a a +1 )B <. Dimostrazioe (= ) Dalla positività di a N B N e dall idetità di Abel N 1 N 1 (a a +1 )B (a a +1 )B + a N B N = da cui la tesi per cofroto. N a b N N +, ( =) Dall idetità sopra scritta segue che a N B N, essedo differeza di due somme di termii positivi ua delle quali covergete, ha limite λ [0, ]; se proviamo che λ R seguirà la tesi. A questo scopo basta osservare che a N B N = B N =N (a a +1 ) (a a +1 )B ; ma per ipotesi l ultimo membro è ifiitesimo per N, e duque λ = 0. =N 150

6 Osservazioe.5.10 Si oti che dalla dimostrazioe precedete segue addirittura l uguagliaza a b = (a a +1 )B, ove B = b k, per ogi successioe reale decrescete e ifiitesima {a } e per ogi successioe o egativa {b }. Il lemma di Abel si può applicare, i particolare, a serie della forma a cos x, a si x, suppoedo aturalmete che {a } sia ua successioe reale, decrescete e ifiitesima. Ifatti le somme di fuzioi trigoometriche hao la proprietà di essere limitate per 0 < t π: risulta i effetti N N cos t = Re e it 1 e i(n+1)t 1 e it = = cos(n + 1)t cos t = si N+1 si t k=1 1 si t, e similmete N N si t = Im e it 1 eint eit 1 cos Nt 1 e it si N = 1 cos t si t 1 si t. Esempio.5.11 Cosideriamo la serie z, ove z è u parametro complesso: utilizzado il criterio del rapporto si vede subito che essa coverge assolutamete quado z < 1, metre certamete o coverge, o essedo ifiitesimo il suo termie geerale, quado z > 1. Quado z = 1 o vi è covergeza assoluta, ma la serie potrebbe covergere i certi puti: ciò è vero per z = 1, come sappiamo dall esempio.5.5 (1), metre o è vero per z = 1. Cosa succede per gli altri z di modulo uitario? Cosideriamo le somme parziali s = k=1 z k k, N+, 151

7 ove z C e z = 1. Utilizziamo uovamete l idetità di Abel: scegliamo ed osserviamo che se z 1 si ha a k = z k, b k = 1 k, σ k = k h=1 z h = z(1 zk ) 1 z, σ k 1 z k N + ; quidi la successioe {σ k } k N + è limitata. Sostituedo ell idetità di Abel otteiamo per z = 1, z 1, s = k=1 z = σ + 1 k=1 ( 1 σ k k ) = σ k k=1 σ k k(k + 1). Il primo addedo ell ultimo membro tede a 0 per, i virtù della limitatezza delle σ k ; il secodo addedo è la somma parziale di ua serie assolutamete covergete, per cofroto co la serie 1. Se e coclude k(k+1) che le somme parziali s formao ua successioe covergete, e i defiitiva la serie z coverge per ogi z di modulo uitario, ad eccezioe del puto z = 1. Quado essu criterio di covergeza è applicabile, o rimae che tetare uo studio diretto della serie e delle sue somme parziali, co il quale, i certi casi, si riesce a determiare il comportameto. Cosideriamo ad esempio la serie ( 1) (+1) che o è assolutamete covergete. Essa o è a segi alteri: ifatti si ha (+1) = k=1 k (esercizio 1.6.1), per cui la parità dell espoete di 1 cambia quado si somma u itero dispari e o cambia quado si somma u itero pari. Il risultato è che la sequeza dei segi è 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... Per studiare il comportameto della serie, aalizziamoe direttamete le somme parziali: se N è pari, N = m, si ha (dato che gli iteri m(m+1) =, 15

8 m + m e (m 1)m = m m hao la stessa parità di m) s m = m ( 1) (+1) = = ( 1)m m 1 + ( 1)m m = m ( 1 = ( 1) h h 1 1 ). h h=1 Quest ultima espressioe è la somma parziale m-sima di ua serie che verifica le ipotesi del criterio di Leibiz e quidi è covergete. Perciò la successioe {s m } coverge ad u umero reale S. Se ora N è dispari, N = m + 1, si ha s m+1 = s m + (m+1)(m+) ( 1) m + 1 S per m ; quidi {s m+1 } coverge ach essa a S. Se e deduce, come ella dimostrazioe del criterio di Leibiz, che l itera successioe {s } coverge a S, e che quidi la serie data è covergete. Esercizi.5 1. Determiare il comportameto delle segueti serie: (i) (iv) (vii) ( 1) + 1, (ii) ( 1) 3/7, (v) = 5 ( 1) 101, (iii) ( 1) ( 3 1), ( 1), (viii) (si(si )), 1/ (vi) (ix) = 47 ( 1) + si, + ( 1), ( ) si( + 1)

9 . Determiare per quali x R covergoo, e per quali x R covergoo assolutamete, le segueti serie: (i) (iv) (vii) (x) x + 1, si x x 1/ 1+1/, (!) 3 x (3)!,, (v) (ii) x si 1, ( ) e x, (viii) x, (iii) (vi) (ix) (xi) 3 (4x), (xii)! + 1 (x 1), (l x), l (1 + x ), si 3x Quati addedi occorre sommare per approssimare la somma della serie ( 1) co u errore miore di 1? Provare che la serie +1 ( 1) (+1) somma. 5. Per quali α R la serie è covergete e calcolare la 1 1 α α α () α + è covergete? 6. Si provi che la successioe { α β } è defiitivamete decrescete per ogi α R e β > Sia x u umero reale. Si provi che: lim si x x = kπ, k Z; lim cos x x = kπ, k Z. [Traccia: si suppoga che L = lim si x esista: usado la formula di duplicazioe per il seo si mostri dapprima che L = 0 oppure L = ± 3; poi, usado la formula di addizioe per si(+1)x, si deduca che se L = 0 allora x è multiplo di π, metre se L 0 allora cos x = 1: da qui si ricavi u assurdo.] 154

10 8. Si cosideri la successioe defiita per ricorreza da a 0 = 0 a +1 = (a ) N. (i) Provare che {a } è crescete e limitata e calcolare il limite L. (ii) Provare che la serie (L a ) è covergete e determiare la somma. (iii) Discutere il comportameto per della successioe {a } quado il valore di a 0 è u umero α > 0 qualsiasi, aziché Descrivere il comportameto delle segueti serie: (i) 1 + i, (ii) si(π/4), (iii) ( 1) i + 1, (iv) + i i. 10. Stabilire il comportameto della serie z sul bordo del cerchio di covergeza. [Traccia: utilizzare il procedimeto dell esempio.5.5 (6).].6 Successioi di Cauchy U importate proprietà delle successioi reali o complesse, strettamete legata alla ozioe di limite, è quella espressa dalla defiizioe che segue. Defiizioe.6.1 Sia {a } ua successioe reale o complessa. Diciamo che {a } è ua successioe di Cauchy se vale la codizioe seguete: ε ν N : a a m < ε, m > ν. Come si vede, la codizioe di Cauchy è molto vicia alla defiizioe di successioe covergete: ivece che chiedere ai umeri a di essere defiitivamete vicii al limite L, si chiede loro di avviciarsi gli ui agli altri (sempre defiitivamete). Ma il legame co la ozioe di limite è strettissimo; ifatti: Proposizioe.6. Sia {a } ua successioe reale o complessa. {a } è ua successioe di Cauchy se e solo se essa è covergete. Allora 155