RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI

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1 RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI L itelletto, duque, che o è la verità, o comprede mai la verità i modo così preciso da o poterla compredere (poi acora) più precisamete, all ifiito, perché sta alla verità come il poligoo sta al cerchio. Quati più agoli avrà il poligoo iscritto, tato più sarà simile al cerchio; tuttavia o sarà mai uguale ad esso, ache se avremo moltiplicato i suoi agoli all ifiito, a meo che o si risolva co l idetità co il circolo. Nicola Cusao La dotta igoraza, I-IV LA RISOLUZIONE MODERNA DELLA PROPOSIZIONE 1 Ogi cerchio è uguale ad u triagolo se ha il raggio uguale ad u cateto [del triagolo] e la circofereza uguale alla base [uguale all altro cateto]. c N R R C Il metodo di esaustioe, secodo l iterpretazioe modera, cosiste el dimostrare che due gradezze soo uguali perché è assurdo che la loro differeza abbia u valore diverso da zero. Per fare ciò si mettoo a cofroto due classi di gradezze, dette cotigue. Ricordiamo che due classi di gradezze si dicoo cotigue quado: -soo separate, ovvero ogi gradezza della prima classe è miore di ogi gradezza della secoda; -comuque si scelga ua gradezza ε, omogeea alle gradezze date e piccola a piacere, si possoo sempre trovare ua gradezza della prima classe e ua della secoda i modo che la loro differeza sia miore della gradezza ε; -l elemeto separatore delle due classi, che è uico ed è la gradezza cercata. Per determiare l area di u cerchio si cosiderao perciò le due classi cotigue costituite dalle aree dei poligoi iscritti e circoscritti al cerchio stesso; si dimostra che l area del cerchio è l elemeto separatore di tali classi. Ituitivamete ma mao che il umero dei lati dei poligoi cosiderati aumeta, la loro area si avvicia sempre più all area del cerchio. Per dimostrare che u cerchio è equivalete ad u triagolo che ha base cogruete alla circofereza rettificata e altezza cogruete al raggio, si cosiderao u cerchio di area C e u triagolo di area E e due classi cotigue costituite rispettivamete dalle aree dei poligoi iscritti el cerchio dato e dalle aree dei poligoi circoscritti al cerchio dato.

2 Si può dimostrare che ogi poligoo regolare è equivalete ad u triagolo che ha la base cogruete al suo perimetro e l altezza cogruete alla sua apotema; da questo segue che: -poiché ogi poligoo regolare iscritto el cerchio ha u perimetro miore della circofereza rettificata e apotema miore del raggio, allora la sua area è miore di quella del triagolo E; -poiché ogi poligoo regolare circoscritto al cerchio ha u perimetro maggiore della circofereza rettificata e apotema cogruete al raggio, allora la sua area è maggiore di quella del triagolo E; -l area E del triagolo è duque l elemeto separatore delle due classi cotigue cosiderate; poichè ache l area C del cerchio è elemeto separatore delle stesse due classi cotigue ( e sappiamo che l elemeto separatore è uico), allora C=E. RISOLUZIONE MODERNA DELLA PROPOSIZIONE 3 La circofereza di ogi cerchio è tripla del diametro e lo supera acora di meo di u settimo del diametro, e di più di dieci settatuesimi. Archimede per determiare la lughezza della circofereza e l area del cerchio cosidera di fatto la successioe dei perimetri e rispettivamete delle aree dei poligoi iscritti e circoscritti alla circofereza data, utilizzado solo le coosceze geometriche e aritmetiche che si avevao ai tempi di Pitagora ed Euclide. Oggi possiamo aalizzare gli stessi problemi utilizzado le relazioi trigoometriche a oi ote e determiare la lughezza della circofereza come il valore del limite a cui tede sia la successioi dei perimetri dei poligoi regolari di lati iscritti che quella dei perimetri dei poligoi regolari di lati circoscritti alla circofereza data, al crescere del umero dei lati. Possiamo poi visualizzare l approssimazioe di pigreco, calcolata da Archimede, co l utilizzo di moderi programmi iformatici come Excell. Perimetro di u poligoo iscritto Cosideriamo u poligoo regolare di lati iscritto i ua circofereza di raggio r=oa=ob. Sia AB u lato di tale poligoo. Sia l agolo al cetro della circofereza che isiste su AB. L agolo α può essere calcolato come rapporto tra il valore dell agolo di 360 espresso i radiati, ossia, e il umero di lati della figura iscritta ella circofereza: Calcoliamo quidi BH, ovvero la metà del lato della figura regolare iscritta, usado il Primo Teorema sui triagoli rettagoli:

3 Per calcolare il perimetro p del poligoo iscritto ella circofereza, moltiplichiamo il valore otteuto per il umero dei lati del poligoo stesso: Perimetro di u poligoo circoscritto Cosideriamo ora il poligoo regolare di lati circoscritto alla stessa circofereza di raggio r=oa=ob=op. Sia CD u lato di tale poligoo. Sia l agolo al cetro della circofereza idividuato dai lati CO e OD. L agolo α risulta acora dato da: Calcoliamo DP, ovvero la metà del lato di tale poligoo applicado il Secodo Teorema sui Triagoli rettagoli: Calcoliamo ifie il perimetro p del poligoo circoscritto alla circofereza: Osserviamo che p e p approssimao rispettivamete per difetto e per eccesso la lughezza della circofereza. Le due successioi, i cui termii geerali soo dati da p e p, covergoo allo stesso valore, che è proprio la lughezza della circofereza; ifatti se calcoliamo il limite a cui tedoo i valori di tali perimetri all aumetare del umero dei loro lati, si ottiee proprio la lughezza della circofereza C r set tgt (Nel fare i calcoli occorre ricordare il limite lim lim 1 ) t 0 t t0 t lim p se( / ) lim r se lim r / r lim p' tg( / ) lim r tg lim r / r Visualizziamo quato trovato co Excell. I ascissa abbiamo il umero dei lati dei poligoi iscritti e circoscritti ad ua circofereza di raggio r=1 e i ordiata i rispettivi perimetri p e p

4 Numero di lati Agolo α/ i radiati ( ) Lughezza dei lati ( ) Perimetro p 6 0, , , , , , , , , , , ,340 0, , , ,0053 0, , ,004 0, , , ,0068 0,0067 0, ,8755 perimetro Perimetro poligoi iscritti 6,3 6,5 6, 6,15 6,1 6,05 6 5, lati Numero di lati Agolo i radiati ( ) Lughezza dei lati ( ) Perimetro 6 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,004 0, , , ,0068 0,0071 0, ,84046 p

5 perimetro 7 Perimetro poligoi circoscritti 6,9 6,8 6,7 6,6 6,5 6,4 6,3 6, lati perimetro 7 Perimetri poligoi iscritti e circoscritti a cofroto 6,8 6,6 6,4 p iscr p circ 6, 6 5, lati Aalogamete possiamo determiare l area di u cerchio come il valore del limite a cui tede sia la successioi delle aree dei poligoi regolari di lati iscritti sia quella delle aree dei poligoi regolari di lati circoscritti alla circofereza data, al crescere del umero dei lati. Possiamo ache i questo caso visualizzare l approssimazioe di pigreco, calcolata da Archimede, co l utilizzo di Excell.

6 Area di u poligoo iscritto Co riferimeto alle figure precedeti, calcoliamo l area del triagolo come: Moltiplicado tale area per il umero dei lati si ottiee l area S del poligoo regolare di lati iscritto ella circofereza data: Area di u poligoo circoscritto Co riferimeto alle figure precedeti, calcoliamo l area del triagolo COD come: Moltiplicado tale area per il umero dei lati si ottiee l area S del poligoo regolare di lati iscritto ella circofereza data: Osserviamo che S e S approssimao rispettivamete per difetto e per eccesso l area del cerchio. Le due successioi, i cui termii geerali soo dati da S e S, covergoo allo stesso valore, che è proprio l area del cerchio; ifatti se calcoliamo il limite a cui tedoo i valori di tali aree all aumetare del umero dei loro lati, si ottiee proprio r lim S 1 lim r se lim r se( / ) / r lim S' lim r tg lim r tg( / ) / r Visualizziamo quato trovato co Excell. I ascissa abbiamo il umero dei lati dei poligoi iscritti e circoscritti ad ua circofereza di raggio r=1 e i ordiata le aree S e S. Numero lati Agolo α i radiati ( ) Lughezza lato Area (AOB) Area totale S =S(AOB) 6 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

7 area Area poligoi iscritti 3, 3,1 3,9,8,7,6, lati Numero lati Agolo i radiati ( ) Area (COD) Lughezza lato Area totale (poligoi circoscritti) Area totale S (poligoi iscritti) 6 0, , , , , , , , ,371033, , , , , , , , , ,757311, , , , , , , , , , , , , , , , perimetro 3,5 Area poligoi circoscritti 3,45 3,4 3,35 3,3 3,5 3, 3,15 3, lati

8 Area poligoi iscritti e circoscritti a cofroto area 3,5 3,4 3,3 3, 3,1 3,9,8,7,6, lati area iscr area circ Nel 1767 J.H. Lambert è riuscito a dimostrare che è u umero irrazioale, cioè o può essere scritto come quoziete tra due umeri iteri. Solo el 188, F.Lidema ha dimostrato che è ache u umero trascedete, cioè o è soluzioe di ua equazioe poliomiale a coefficieti iteri (come ivece lo è ad esempio che è comuque u umero irrazioale)