In linguaggio analitico parlare di tre tagli equivale ad individuare le equazioni di tre rette che intersecano il triangolo in questione.

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1 Tre tagli... sette parti Dividere u triagolo dato o tre tagli rettiliei i sette parti di ui quattro siao triagoli (e le rimaeti tre, petagoi). Ua delle parti triagolari è limitata dai tre tagli, iasua delle altre tre parti triagolari è ilusa da u erto lato del triagolo dato e da due tagli. Segliere i tre tagli i modo e le quattro parti triagolari risultio ogrueti. Quale frazioe dell'area del triagolo dato è l'area di ua delle parti triagolari i questa suddivisioe? Il problema osiste priipalmete ell idividuare il modo i ui eseguire i tre tagli. Vediamo se alue osiderazioi di ordie del tutto geerale i possoo idirizzare sulle modalità o ui ompiere questa operazioe. I liguaggio aalitio parlare di tre tagli equivale ad idividuare le equazioi di tre rette e iterseao il triagolo i questioe. Ora, i prima approssimazioe queste rette possoo essere disposte i qualsiasi modo quidi abbiamo le segueti equazioi: y m +. y m + y m + I parametri da idividuare soo periò sei e orrispodoo all isieme dei oeffieti agolari {m i } e delle iterette o l asse delle ordiate { i }. Come di regola ( Codizioe di Rouè Capelli ) abbiamo bisogo di sei equazioi affiè il problema sia risolubile. Tre odizioi derivao dall impostare la ogrueza dei 4 triagoli, i altre parole, poedo e la gradezza A (m i ; j ) rappreseti l area del triagolo i fuzioe dei 6 parametri, l uguagliaza a due a due porta alle equazioi : A (m i ; j ) A (m i ; j ). A (m i ; j ) A (m i ; j ) A (m i ; j ) A 4 (m i ; j ) Maao aora tre equazioi. Se leggiamo o attezioe il testo del problema possiamo però riavarle dalle odizioi di base o, ome si suole iamarle, dalle odizioi al otoro. I partiolare leggiamo el testo del quesito iasua delle altre tre parti triagolari è ilusa da u erto lato del triagolo dato e da due tagli.

2 Questo sigifia ovviamete e i 4 triagoli, geerati dall itersezioe delle tre rette, dovedo essere uguali e avedo, per ipotesi, i lati iliati ome i lati del triagolo dato soo i defiitiva simili o il triagolo grade. r á â r r Da quato asserito e dall esame della figura sopra si può oludere e le rette e rappresetao i tagli soo iliate ome i lati del triagolo dato e ao quidi oeffiieti agolari uguali od opposti alla tagete trigoometria degli agoli formati dai lati del triagolo o u sistema artesiao di riferimeto. Il sistema ora è risolubile ed è possibile sriverlo ella seguete maiera: m tag(0) 0 m tag( á). m -tag( â) A ( ; ; ) A ( ; ; ) A ( ; ; ) A ( ; ; ) A ( ; ; ) A 4 ( ; ; ) Quato sopra i permette di asserire e la soluzioe è uivoa e e la posizioe riiesta del taglio si ottiee faedo traslare le tre rette parallelamete a iasu lato seza ruotarle. A questo puto o rimae altro e trovare i valori umerii aratteristii del problema. Le strade da seguire soo due :

3 A) osiderazioi di ordie geometrio B) risoluzioe delle equazioi del sistema. Comiiamo ad esamiare la soluzioe più rigorosa esposta al puto B). y tg (á) r y tg (á) 4 á â r y 6 y -tg (â) + tg (â) r y tg (â) + Sriviamo le equazioi delle rette e formao i lati del triagolo e delle rette parallele e rappresetao i tre tagli dopodié, risolvedo gli opportui sistemi, idividuiamo le asisse { i } dei 6 puti e delimitao la base dei quattro triagoli disegati dai tagli. β ) + ) α ) β 4 α ) β ) 6 α ) Basta adesso imporre l uguagliaza ( a due a due ) delle basi dei quattro triagoli ed otterremo l isieme delle iogite rimaste { i }. X X X X X X 4 X X X X 4 X X 6 Naturalmete valgoo ae ombiazioi lieari delle equazioi sopra, per omodità risolviamo la :

4 X X 4 ( X X 6 ) o semplii aloli otteiamo: Risolvedo l equazioe X X X X 4 Troviamo la relazioe: + Sostituedo la relazioe trovata preedetemete riaviamo i valori di e i fuzioe del lato. ) tg ( α ) β Rimae solo da trovare l ultimo parametro, impoiamo l uguagliaza : Eseguedo semplii aloli otteiamo: X X 4 X X 6 + Ma disede da semplii osiderazioi trigoometrie l idetità: + Sostituedo questa relazioe ell equazioe preedete si arriva a srivere: Ora abbiamo tutti i valori e i permettoo di idividuare le dimesioi di uo qualsiasi dei 4 triagoli miori, i partiolare osideriamo quello evideziato ella figura sotto. La base sarà data dalla differeza delle asisse :

5 Base Χ Χ6 y Metre l altezza sarà pari alla metà del parametro : X 6 X Altezza I defiitiva l area di uo qualsiasi dei 4 triagoli evideziati sarà : Area 0 Per ui l area di uo qualsiasi dei 4 triagoli formati dal taglio è pari a / della superfiie del triagolo grade. CONSIDERAZIONI GEOMETRICHE Dall esame della figura a lato e da semplii appliazioi delle proprietà dei triagoli simili si può oludere e il triagolo dato è ostituito da triagoli uguali. Ioltre i petagoi risultati dal taglio soo ogrueti e formati dallo stesso umero di triagoli ( per la preisioe 7 ). Notiamo poi u altra osa iteressate. Ogi taglio divide il triagolo i due parti e stao el rapporto di due quadrati : A A sup if 9 6 ( ) ( 4)