Esercitazione 3 Sistemi lineari

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1 Esercitazioe 3 Sistemi lieari a.a Esercizio 1 (M) Scrivere ua M-fuctio che calcola l iversa di ua matrice triagolare iferiore L di ordie mediate ua tecica compatta, memorizzadola ella matrice stessa. La fuctio deve cotrollare che la matrice sia triagolare iferiore e o sigolare. Verificare la correttezza calcolado la orma ifiito del residuo LX I, ove X è la matrice calcolata. Risolvere lo stesso problema, risolvedo gli sistemi LX = I mediate ua M-fuctio file che implemeta l algoritmo di elimiazioe i avati. (T) Qual è la complessità computazioale el caso del calcolo dell iversa e per l algoritmo di elimiazioe i avati? Esercizio 2 (M) 1. Geerare ua matrice casuale quadrata A co elemeti iteri apparteeti all itervallo [ 20, 20]. Estrarre i RR la matrice triagolare superiore di A. 2. Scrivere ua fuctio MatLab che, utilizzado ua fuctio per la risoluzioe di u sistema triagolare co l algoritmo di sostituzioe all idietro, risolva sistemi associati alla stessa matrice R co termii oti uguali alle coloe di u altra matrice B di ordie : se B j è la j esima coloa di B, è richiesto di risolvere Rx = B j, j = 1,...,. 3. Verificare la correttezza della fuctio precedete usado la matrice geerata RR come triagolare superiore e risolvedo RR X = A. (T) Qual è la complessità computazioale el caso del calcolo dell iversa e per l algoritmo di elimiazioe i avati? 1

2 Esercizio 3 (M) Data ua matrice triagolare iferiore L di ordie e ua matrice A di dimesioi m, scrivere ua fuctio che determii L 1 A seza trovare l iversa della matrice L. La fuctio deve cotrollare che L sia triagolare iferiore e o sigolare. (T) Euciare le codizioi ecessarie e sufficieti affiché ua matrice quadrata ammetta fattorizzazioe LDU. Ci soo classi di matrici per cui queste codizioi soo sicuramete soddisfatte. Quali soo? Esercizio 4 (M) Verificare che la matrice A M (N) geerata co i segueti passi C ha elemeti iteri casuali ell itervallo [ 5, 5]: A = C C abbia tutti miori pricipali primi o ulli, cioè sia fattorizzabile. L ordie della matrice è itrodotto da tastiera. Nel caso la fattorizzazioe esista, usare la fuctio MatLab [L,R]=lu(A) per determiare la fattorizzazioe di Doolittle A = LR e, a partire da tale fattorizzazioe, calcolare quella di Crout. (T) Euciare la defiizioe di ua matrice defiita positiva e le proprietà che la caratterizzao. Esercizio 5 (T) Euciare le codizioi sufficieti affiché ua matrice A ammetta fattorizzazioe A = LDU co L triagolare iferiore, U triagolare superiore e D diagoale. (M) Data la matrice A A = verificare che tutti i suoi miori pricipale siao o ulli. Usare la fuctio ativa [L,R]=lu(A) 2

3 per determiare la fattorizzazioe A = LDU, co D diagoale, L e U rispettivamete triagolare iferiore e superiore co elemeti diagoali uguali a 1. Usare la fattorizzazioe per determiare la risoluzioe del sistema lieare Ax = b, dove b = (4, 8, 6, 10). Esercizio 6 (M) Sia A ua matrice fattorizzabile a bada co bada r. Si modifichi l algoritmo di fattorizzazioe di Gauss (gauss1.m) i modo da evitare operazioi iutili. La fuctio deve cotrollare che la bada sia r. Suggerimeto: se A ha bada r, la matrice L ha essa pure bada iferiore r e la R ha bada superiore r: o devoo essere calcolati gli elemeti fuori dalle bade perché soo ulli. (T) Quali soo le codizioi ecessarie e sufficieti affiché ua matrice quadrata sia fattorizzabile? Esercizio 7 (T) Elecare le proprietà delle matrici simmetriche defiite positive. Data la matrice A = verificare che sia simmetrica defiita positiva, calcolado il fattore di Cholesky. (M) Scrivere uo script MatLab i cui viee chiamata ua M-fuctio che determii la fattorizzazioe di Cholesky della matrice A, utilizzado l algoritmo di Gauss A = LR (usare la routie MatLab [L,R]=lu(A)) e determiado a partire da L e R il fattore di Cholesky. La fuctio deve cotrollare che la fattorizzazioe A = LR esista. Cotrollare la correttezza della fuctio e determiare la risoluzioe del sistema Ax = b, co b = (2, 25, 11). Esercizio 8 (M) Viee defiita matrice di Hessemberg superiore ua matrice quadrata che ha tutti gli elemeti sotto alla prima sottodiagoale pari a 0. Creare ua matrice A di elemeti radom apparteeti all itervallo [ 10, 10]. Estrarre da A la matrice H di Hessemberg superiore utilizzado il comado triu. Costruire ua M-fuctio che modifichi gauss1.m i modo da otteere la fattorizzazioe di Gauss co pivotig parziale per matrici di Hessemberg superiori, co il miimo umero di operazioi. Testare l algoritmo sulla matrice H. 3

4 Testare la correttezza della fuctio cofrotado i risultati otteuti co la fuzioe ativa lu. (T) La matrice A = è fattorizzabile mediate l algoritmo di Gauss co strategia diagoale? Giustificare la risposta. Costruire la fattorizzazioe A = LR, calcolare il determiate di A e risolvere il sistema associato alla matrice co termie oto b = (4, 6, 0) T. Esercizio 9 (T) Data la matrice A = verificare che sia strettamete diagoale domiate. (M) Calcolare l iversa X di A, risolvedo il sistema AX = I 5. Si usi la routie di MatLab lu per otteere la fattorizzazioe di A. Calcolare la matrice residuo R = I 5 AX, dove I 5 è la matrice idetità di ordie 5. Esercizio 10 (M) Data la matrice exp ( ) exp ( ) exp ( ) A() = ( ) exp 2( 1) exp ( ) 2 verificare che sia defiita positiva tramite l uso del comado chol per valori di = 2, 3,..., 9. Calcolare l iversa B() di A() per ogi valore di, usado la fattorizzazioe di Gauss seza pivotig (gauss1.m). Visualizzare u grafico plottado la orma 2 del residuo R() = I B()A() per = 2, 3,..., 9. 4

5 (T) Applicare il metodo di Gauss (versioe 0) alla seguete matrice A, calcolado i fattori L ed R della fattorizzazioe A = LR A = Calcolare la soluzioe del sistema associato alla matrice co termie oto b = (2, 3, 7) T. Calcolare il determiate della matrice. 5