Algoritmi e Strutture Dati Esercizi Prima parte

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1 Algoritmi e Strutture Dati Esercizi Prima parte Esercizio 1 Si cosideri il seguete codice: 1 i 1 2 k 0 3 while i 4 do if A[i] s 5 the k k A[k] A[i] 7 i i + 1 e si dimostri la sua correttezza rispetto alla specifica seguete: Iput (Pre-codizioe): A[1..] è u array di iteri; s è u itero. Output (Post-codizioe): A[1..k] cotiee tutti gli elemeti iizialmete i A[1..] che soo maggiori di s. La correttezza si domostra tramite il seguete ivariate per il ciclo while: A[1..k] cotiee tutti gli elemeti iizialmete i A[1.. i 1] che soo maggiori di s. INIZIALIZZAZIONE: i = 1 e k = 0: A[1..0] cotiee tutti gli elemeti iizialmete i A[1.. 0] che soo maggiori di s è baalmete vero essedo vuote etrambe le porzioi di array. MANTENIMENTO: Assumiamo che l ivariate valga prima di eseguire il ciclo. La prima istruzioe è ua if, seguiamo le due possibilità: A[i] s. I questo caso dopo le due assegazioi, k k + 1 e A[k] A[i], vale che: A[1..k] cotiee tutti gli elemeti iizialmete i A[1.. i] che soo maggiori di s. A[i] < s. Allora A[1..k] cotiee tutti gli elemeti iizialmete i A[1.. i] che soo maggiori di s. Dopo l aggiorameto di i ritroviamo l ivariate. TERMINAZIONE: Al temie del ciclo while i = +1 e quidi l ivariate diviee proprio la post-codizioe desiderata: A[1..k] cotiee tutti gli elemeti iizialmete i A[1.. ] che soo maggiori di s. Esercizio 2 Si risolvao le segueti ricorreze, giustificado la risposta. T () = 3T ( 2 ) + 2 T () = 1 3 T ( 2 ) T ( 4 ) + T () = 3T ( 2 ) + 2 Possiamo applicare il MT (o Metodo dell Esperto). Abbiamo: a=3, b=2, 1 < log b a = lg 3 < 2 e quidi f() = 2 = O( 1 2 ) = O( log b a ε ). Siamo el caso 1, otteiamo T () = Θ( lg 3 ).

2 T () = 1 3 T ( 2 ) T ( 4 ) + Possiamo utilizzare l albero di ricorsioe per formulare la seguete ipotesi: T () = Θ() ovvero (1) T () = Ω() e (2) T () = O(). La prima è immediata essedo T () sempre maggiore di. Possiamo verificare la secoda co il metodo di sostituzioe: T () c T () 1 3 c c 4 + = 1 4 c + = ( 1 4 c + 1) c, quado c 4 3 Esercizio 3 (ASD) Si dimostri la verità o la falsità di ciascua delle segueti affermazioi. (a) lg = Θ( 2 ) (b) + 3 = Ω(lg ) (c) O( 2 ) = O( 3 ) (d) 4 lg() = O(4 + lg( 2 )). (a) lg = Θ( 2 ) Falso. Si dimostra per assurdo. Se fosse vero sarebbe ache lg = Ω( 2 ) e quidi dovrebbero esistere 0 e c > 0 tali che c lg 2 ovvero per ogi 0, c lg. Assurdo essedo lim lg =. (b) + 3 = Ω(lg ) Vero. E facile dimostrare che + 3 = Ω() e che = Ω(lg ). Il risultato segue per trasitività. (c) O( 2 ) = O( 3 ) Vero. E facile vedere che 5 3 3, 25, quidi 5 3 = O( 3 ). Il risultato segue dal fatto che la somma di ua fuzioe i O( 3 ) ed ua i O( 2 ) è ella classe O( 3 ). (d) Falso. E facile vedere che 4 + lg( 2 ) = 4 + 2lg() = Θ(). Dovrebbe quidi essere 4 lg() = O(). Assurdo perchè o possoo esistere c, 0 > 0 tali che 4 lg() c per ogi 0 Esercizio 4 Si vuole dimostrare la correttezza del programma seguete: 1 esercizio(a,, s) 2 i 1 3 k 0 4 while i 5 do k isert(a[i], s, A, k) 6 i i + 1 rispetto alla specifica: Iput (Pre-codizioe): A[1..] è u array di iteri; s è u itero. Output (Post-codizioe): A[1..k] è u array ordiato che cotiee tutti gli elemeti iizialmete i A[1..] che soo maggiori di s. Si propoga ua specifica per la procedura isert(x, s, A, m) che permetta di dimostrare la correttezza del programma esercizio. La procedura isert(x, s, A, m) deve essere corretta rispetto la seguete specifica: Iput (Pre-codizioe): x, s soo iteri; A[1..m] è u array ordiato di iteri maggiori di s. Output (Post-codizioe): se x s ritora k = m e lascia ialterata A[1..m]; altrimeti ritora k = m + 1 e u array ordiato A[1..k] che cotiee ache x oltre a tutti gli elemeti iizialmete i A[1..m]. Co questa specifica la correttezza di esercizio segue dall ivariate: A[1..k] è u array ordiato che cotiee tutti gli elemeti iizialmete i A[1..i 1] che soo maggiori di s.

3 Esercizio 5 Scrivere u algoritmo ricorsivo che, data ua sequeza di > 0 umeri positivi coteuta i u array A[1.. ], utilizzi la tecica divide-et-impera per determiare se la sequeza cotiee u umero pari di 2. Descrivere la complessità dell algoritmo proposto. Sviluppiamo u algoritmo PariDispari(A,p,r) che restituisce true se la sequeza i A[p.. r] cotiee u umero dispari di 2, false altrimeti. La chiamata iiziale sarà PariDispari(A,1,). Assumiamo che == deoti u test di uguagliaza applicabile sia a umeri iteri che a valori booleai. PariDispari(A,p,r)::= if p=r the retur (A[p]==2) else if p<r the q = (p+r) div 2; firstpart = PariDispari(A,p,q); secodpart = PariDispari(A,q+1,r); retur (firstpart==secodpart) Correttezza Termiazioe: L algoritmo termia perchè le chiamate ricorsive vegoo effettuate su parti sempre piu piccole dell array iiziale. Possiamo quidi utilizzare u ragioameto iduttivo. Base. Il caso di base si verifica quado l array cotiee u solo elemeto e la risposta è corretta. Passo iduttivo. Se assumiamo che firstpart sia true se e solo se l array A[p..q] cotiee u umero pari di 2 e secodpart sia true se e solo se l array A[q + 1..r] cotiee u umero pari di 2, allora A[p..r] cotiee u umero pari di 2 se e solo se firstpart e secodpart soo etrambi true oppure false. La risposta è quidi corretta. Esercizio 6 Diciamo che x i è u massimo locale i ua sequeza di iteri (x 1,..., x ) se 1 < i < e x i 1 x i e x i+1 x i. Esempio: ella sequeza (7, 5, 2, 8, 8, 4, 9, 4, 5) vi soo 3 massimi locali: 8,8,9. Si scriva lo pseudocodice di u algoritmo che data ua array A[1..], di iteri, co 2, restituisce il umero m dei massimi locali di A. Si dimostri la correttezza dell algoritmo e se e discuta la complessità. max_loc(a,) m <- 0 i <- 2 while i < do if (A[i-1] <= A[i]) ad (A[i+1] <= A[i]) the m <- m+1 i <- i+1 retur m La correttezza si dimostra utilizzado il seguete ivariate per il ciclo while: m e il umero di massimi locali di A[1.. i-1] Iizializzazioe: Prima della prima esecuzioe del ciclo i = 2 e, per la defiizioe data, o ci soo massimi locali i A[1..2]; pertato l ivariate è verificato. Mateimeto: Il test verifica se A[i] è u massimo locale e i caso di risposta affermativa icremeta il valore di m. Pertato l ivariate viee preservato co l icremeto di i. Termiazioe: Il ciclo termia co i =. L ivariate assicura che soo stati coteggiati tutti i massimi locali di A[1..-1]. Poichè, per la defiizioe data, A[] o può essere u massimo locale, tutti i massimi locali di A soo già stati coteggiati. La complessità e chiaramete lieare.

4 Esercizio 7 Date le segueti procedure A e B, si determii la complessità asitotica della procedura A() su iput N. A() 1 S 0 2 for i 1 to 3 do S S + B(i) 4 retur S B(m) 1 S 0 2 for i 1 to m 3 do S S + i 4 retur S Poichè A richiama B dobbiamo calcolare la complessità T B (m) di B su iput m. E facile vedere che tale complessià è uguale a cm per ua qualche costate c > 0 i quato la procedura cosiste di u ciclo for da 1 ad m. La complessità T A () di A su iput è quidi determiata dalla sommatoria: i=1 T B(i) = i=1 ci = c i=1 i = c 2 ( + 1) = Θ(2 ) Esercizio 8 Date le segueti procedure A e B, si determii la complessità asitotica della procedura A() su iput N. A() 1 s 0 2 for i 1 to 3 do s s + B() 4 retur s B(m) 1 if m = 1 2 the retur 0 3 else retur B(m/2) + m La complessità di B può essere espressa tramite la ricorreza T B () = T B (/2) + Θ(1) che si risolve facilmete co il master method otteedo T B () = Θ(log). Per la complessità di A abbiamo A() 1 s for i 1 to do s s + B() i=1 T B() = T B () 4 retur s 1 e quidi: T A () = i=1 T B() = i=1 Θ(log) = Θ(log)

5 Esercizio 9 Nell ipotesi che Proc(m) = Θ( m), determiare la complessità asitotica (caso peggiore) della seguete procedura Fu(A, ) al crescere di N. Fu(A, ) 1 if < 1 2 the retur 1 3 t Fu(A, /2) 4 if t > 2 5 the t t 1 2 Fu(A, /2) 6 for j 1 to 7 do t t + A[j] + Proc() 8 retur t Fu(A, ) 1 if < 1 retur 1 2 t Fu(A, /2) T Fu (/2) 3 if t > 2 4 the t t 1 2 Fu(A, /2) T Fu(/2) 5 for j 1 to 6 do t t + A[j] + Proc() 7 retur t Nel caso peggiore vegoo effettuate etrambe le chiamate ricorsive e quidi T Fu () soddisfa la ricorreza T Fu () = 2 T Fu (/2) + Θ( ) e la complessità asitotica della procedura Fu si trova risolvedo tale ricorreza. Questo si ottiee facilmete utilizzado il Master Method. Si ha a = 2, b = 2, log 2 2 = 1, = Ω( 1+ɛ ), e soddisfa la proprietà di regolarità. Quidi siamo el caso 3 ed abbiamo T Fu () = Θ( ) = Θ( 3 2 ). Esercizio 10 Cosiderata la ricorreza: si richiede di: risolverla utilizzado il teorema pricipale; dire se T () = O( 2 ), giustificado la risposta. T () = 10T ( 3 ) E facile vedere che f() = = Θ( 2 ). Possiamo quidi valutare lg 3 10 per verificare quale dei tre casi è applicabile. Notiamo che 2 < lg 3 10 e che pertato esiste ua costate positiva ɛ tale che 2 = lg 3 10 ɛ. Quidi f() = O( lg 3 10 ɛ ). Siamo el caso 1 del metodo pricipale e quidi T () = Θ( lg 3 10 ). No. Dovrebbero esistere c, 0 tali che lg 3 10 < c 2 per ogi 0, assurdo i quato si avrebbe c > ɛ, per ogi 0. Esercizio 11 Cosiderata la ricorreza: la si risolva utilizzado il teorema pricipale; si dica se T () = O( 3 ), giustificado la risposta. T () = 3T ( 2 ) + 42

6 Dobbiamo iazitutto valutare lg 2 3 per verificare quale dei tre casi è applicabile. Otteiamo 1 < lg 2 3 < 2. Possiamo poi otare che f() = Θ( 2 ) e quidi scartare subito i primi due casi. La prima codizioe di applicabilità del terzo caso si verifica facilmete osservado che f() = Ω( 2 ) e che esiste u ɛ > 0 tale che lg ɛ = 2, ovvero che f() = Ω( lg 2 3+ɛ ). La codizioe di regolarità (3 4( 2 )2 2 c 42 ) si verifica facilmete scegliedo c = 3/4: 3 4( 2 ) Pertato T () = Θ(f()) = Θ( 2 ) E facile verificare che 2 3, per ogi > 1, e quidi che 2 lg = O( 3 ). Dalla risposta precedete e dala proprietà trasitiva per la classe O si ottiee T () = O( 3 ). Esercizio 12 Cosiderata la ricorreza: la si risolva utilizzado il teorema pricipale; si dica se T () = O( 3 ), giustificado la risposta. T () = 8T ( 3 ) + 22 lg Dobbiamo iazitutto valutare lg 3 8 per verificare quale dei tre casi è applicabile. Otteiamo 1 < lg 3 8 < 2. Possiamo poi otare che f() = Θ( 2 lg ) e quidi scartare subito i primi due casi. La prima codizioe di applicabilità del terzo caso si verifica facilmete osservado che f() = Ω( 2 ) e che esiste u ɛ > 0 tale che lg ɛ = 2, ovvero che f() = Ω( lg 3 8+ɛ ). La codizioe di regolarità (8 2( 3 )2 lg 3 c22 lg ) si verifica facilmete scegliedo c = 8/9: 8 2( 3 )2 lg lg. Pertato T () = Θ(f()) = Θ( 2 lg ) E facile verificare che 2 lg 3 e quidi che 2 lg = O( 3 ). Dalla risposta precedete e dala proprietà trasitiva per la classe O si ottiee T () = O( 3 ). Esercizio 13 Si cosideri la ricorreza: T () = T ( 4 ) + T ( 8 ) + 4 e si dimostri la verità o falsità delle segueti affermazioi, utilizzado il metodo di sostituzioe o le proprietà delle classi di complessità. 1. T () = Θ() 2. T () = O( lg ) 3. T () = Θ( lg ) Si disegi ioltre l albero di ricorsioe relativo alla ricorreza data. E facile dimostrare che T () = Θ(). Dobbiamo dimostrare che esistoo c 1, c 2, 0 positive tali che c 1 T () c 2, per ogi 0. Procededo co il metodo di sotituzioe, verifichiamo che esiste 0 0 e (i) esiste c 1 > 0 tale che c 1 c c , per ogi 0. E sufficiete scegliere c 1 = 1 per otteere: , per ogi 0. (ii) esiste c 2 > 0 tale che c c c 2, per ogi 0. E sufficiete scegliere c 2 = 8 per otteere: = 7 8, per ogi 0. La verità della secoda affermazioe segue dalle segueti cosiderazioi: (a) T () = Θ() implica T () = O() e (b) poiché lg, per ogi > 1 si ha = O( lg ). Quidi T () = O( lg ) segue da (a) e (b) per la proprietà trasitiva relativa alla classe O. La terza affermazioe è ivece falsa perchè = o( lg ), come si dimostra facilmete calcolado il limite.

7 4 = 4 / \ 1/2 = 3/2 / \ / \ 1/4 1/8 1/8 1/16 = 9/16 / \ 1/16 1/32... = 27/128 Esercizio 14 Sia T () = 4T ( 2 ) + 3. Si discuta la verità o falsità delle segueti affermazioi. (a) T () = Θ( 2 lg ) (b) T () = Θ( 3 ) (c) T () = Ω( 2 ) Esiste ɛ tale che 3 = Ω( lg 4+ɛ ) = Ω( 2+ɛ ). Ioltre per 4 9 c < 1 si ha: 4( 2 )3 = c 3. Siamo el caso 3 del MT. Quidi T () = Θ( 3 ). Soo corrette le risposte 2 e 3 ( 3 = Ω( 2 )). E ivece errata la 1 i quato 2 lg = o( 3 ) come si può provare calcolado il limite lim 2 lg 3 = 0