Consideriamo un insieme di n oggetti di natura qualsiasi. Indicheremo questi oggetti con
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- Marta Fortunato
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1 Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 1 Calcolo combiatorio Cosideriamo u isieme di oggetti di atura qualsiasi. Idicheremo questi oggetti co a1 a2... a. Co questi oggetti si voglioo formare dei gruppi ciascuo formato da uo stesso umero di oggetti co. Disposizioi semplici di oggetti Defiizioe: Dati oggetti e detto u umero itero positivo miore o uguale a si chiamao disposizioi semplici di questi oggetti presi a a o della classe tutti i gruppi che si possoo formare co gli oggetti dati i modo che ogi gruppo cotega soltato degli oggetti dati e che due gruppi qualuque differiscao fra loro o per qualche oggetto oppure per l ordie co cui gli oggetti soo disposti. Esempio Dati tre oggetti idicati co le lettere ABC le disposizioi di classe 2 soo tutte le file realizzabili usado ogi volta due delle tre lettere: AB BA AC CA BC CB Si tratta quidi di sei file possibili. Idichiamo quidi co D il umero delle disposizioi semplici di oggetti di classe. Teorema Il umero delle disposizioi semplici di oggetti di classe è dato da: D ( ( 2)...( + 2)( D è uguale al prodotto dei umeri cosecutivi decresceti a partire da. Dimostrazioe Gli elemeti diversi a1 a2... a presi ad uo ad uo dao luogo ovviamete ad disposizioi di classe uo D ( 1 Per formare tutti i gruppi di classe 2 cosideriamo successivamete ciascu gruppo di classe 1 e di seguito poiamo uo alla volta ciascuo degli 1 elemeti estraei al gruppo cosiderato. Ogi gruppo di classe 1 geera così 1 gruppi di classe 2. Possiamo quidi scrivere D ( 2 D1 (2) Per formare tutti i gruppi di classe 3 cosideriamo successivamete ciascu gruppo di classe 2 e di seguito poiamo uo alla volta ciascuo degli 2 elemeti estraei al gruppo cosiderato. Ogi gruppo di classe 2 geera così 2 gruppi di classe 3. Possiamo quidi scrivere D ( 2) 3 D2 (3) e così via. Per formare i gruppi di classe 1 cosideriamo ciascu gruppo di classe 2 e poiamo uo alla volta ciascuo degli ( 2) + 2 elemeti estraei al gruppo cosiderato. Avremo quidi: D ( + 2) D (- 1 2 Per formare ifie tutti i gruppi di classe cosideriamo ciascu gruppo di classe 1 e poiamo di seguito uo alla volta ciascuo degli ( + 1 elemeti estraei al gruppo cosiderato. Avremo D ( + D 1 () Moltiplicado membro a membro le relazioi ( (2) () precedeti otteiam
2 Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 2 D D... D D ( D ( 2)... D ( + 2) D ( D D... D ( ( 2)...( + 2)( + D D... D Dividedo per i fattori comui coteuti ei due membri otteiamo D ( ( 2)...( + 2)( Disposizioi co ripetizioe Siao dati elemeti distiti a1 a2... a propoiamoci di calcolare il umero dei gruppi che si possoo formare prededo degli elemeti dati co qualuque e co l evetuale ripetizioe di qualche elemeto. Si ha i) Se è < si ritrovao le disposizioi semplici oltre a quelle elle quali u elemeto è ripetuto come el caso dei segueti 4 elemeti abcd presi a tre a tre abc; acd.aaa bbc. ii) Se > qualche elemeto dovrà essere ecessariamete ripetuto risultado così escluse le disposizioi semplici. E il caso del gioco del totocalcio i cui gli elemeti distiti soo 3 e specificamete i oti simboli 1X2 co i quali si debbao costruire coloe di 13 elemeti Defiizioe Si dicoo disposizioi co ripetizioe di elemeti presi a a (o di classe ) tutti i possibili gruppi che si possoo formare prededo degli elemeti co l evetuale ripetizioe di qualcuo di essi. Idicado co D il umero delle disposizioi di classe di elemeti ed essedo D ' 1 D D ' ' ' ' 3 D3 D2 ' D Esempio Calcolare quate coloe di ua schedia del totocalcio dovrao essere compilate per avere la certezza di otteere u 13. Si ha 3 13 ' 13 D coloe Permutazioi di oggetti Defiizioe Si chiamao permutazioi semplici di oggetti (elemeti) distiti le disposizioi semplici degli elemeti presi ad ad. I altre parole si può ache dire : Le permutazioi di oggetti distiti soo tutti i gruppi formati ciascuo da tutti gli oggetti dati e che differiscoo fra loro soltato per l ordie degli oggetti. Idicado co P il umero delle permutazioi di elemeti si ha P D e quidi avremo ( ) P ( ( 2) P (
3 Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 3 Il umero delle permutazioi semplici di oggetti distiti è uguale al prodotto dei primi umeri aturali. Defiizioe Se è u umero itero maggiore di 1 chiamasi fattoriale del umero e si idica co! il umero che risulta dal prodotto dei primi umeri iteri! ( Se è 1 o 0 si poe per defiizioe 1! 1 0! 1 Combiazioi semplici Defiizioe Si chiamao combiazioi semplici di elemeti distiti presi a a (o di classe ) tutti i possibili gruppi di oggetti che si possoo formare co gli elemeti i modo da cosiderare distiti solo quei gruppi che differiscoo per almeo u elemeto. Cofrotado la precedete defiizioe co quella delle disposizioi semplici potremo dire che per esempio i due gruppi abc; acb costituiscoo due disposizioi diverse (differiscoo per l ordie degli elemeti) ma formao la stessa combiazioe Risulta quidi evidete che ogi combiazioe può geerare tate disposizioi quate soo le permutazioi dei suoi elemeti Si ha quidi D C! e quidi D C! ( ( 2)...( + C! moltiplicado umeratore e deomiatore per ( )! 0 otteiamo ( ( 2)...( + ( )! ( ( 2)...( + ( )( C!( )!!( )! essedo il umeratore! avremo! C (*)!( )! che prede il ome di legge dei tre fattoriali. Coefficieti biomiali Diremo coefficiete biomiale e lo idichiamo co il simbolo che si legge sopra il umero delle combiazioi semplici di elemeti diversi di classe C
4 Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 4 Proprietà dei coefficieti biomiali 1 a Proprietà Legge delle classi complemetari il umero delle combiazioi semplici di elemeti di classe è eguale al umero delle combiazioi semplici degli stessi elemeti di classe. Ifatti applicado la (*) abbiamo! e quidi!( )!!!! ( )!( ( ))! ( )!( + )!!( )! e per la proprietà trasitiva dell uguagliaza si ha che vale ache per 0 purché si covega che a proprietà Legge di Stiefel Per 1 1 sussiste la relazioe Si ha 1 1 (! (! (!( 1 +!!( 1 )! (! (! + essedo p! pp (! (!( )! (!(! avremo (! (! + raccogliedo a fattor comue il termie (!( )(! (!(! (! otteiamo (!(! (! 1 1 (! + + (!(! (!(! ( ) (!! (!(! ( )!( )! 3 a proprietà Legge di ricorreza
5 Calcolo Combiatorio Adolfo Scimoe pag 5 Si ha ( ( 2)...( 1+ 1 ( ( 2)...( + ( ) + ( +! ( +! ( ( 2)...( +! Questa proprietà ci permette di calcolare il umero delle combiazioi di classe +1 ( della classe successiva) quado è oto il umero delle combiazioi di classe assegata.
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